Proof of Theorem wrdpmtrlast
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | wrdpmtrlast.1 |
. . 3
⊢ 𝐽 = (0..^(♯‘𝑊)) |
| 2 | | wrdpmtrlast.2 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐽) |
| 3 | 1, 2 | fzo0pmtrlast 33112 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼)) |
| 4 | | simplr 769 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) |
| 5 | | wrdpmtrlast.4 |
. . . . . . . 8
⊢ 𝑈 = ((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘𝑊) − 1)) |
| 6 | | f1of 6848 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 → 𝑠:𝐽⟶𝐽) |
| 7 | 1 | feq2i 6728 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑠:𝐽⟶𝐽 ↔ 𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽) |
| 8 | 6, 7 | sylib 218 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 → 𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽) |
| 9 | 4, 8 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽) |
| 10 | | iswrdi 14556 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽 → 𝑠 ∈ Word 𝐽) |
| 11 | 9, 10 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑠 ∈ Word 𝐽) |
| 12 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) |
| 13 | | wrdpmtrlast.3 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆) |
| 14 | 13 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑊 ∈ Word 𝑆) |
| 15 | 12, 14 | wrdfd 32918 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆) |
| 16 | 1 | feq2i 6728 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑊:𝐽⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆) |
| 17 | 15, 16 | sylibr 234 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑊:𝐽⟶𝑆) |
| 18 | | lenco 14871 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑠 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑊:𝐽⟶𝑆) → (♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) = (♯‘𝑠)) |
| 19 | 11, 17, 18 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) = (♯‘𝑠)) |
| 20 | 9 | ffund 6740 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → Fun 𝑠) |
| 21 | | hashfundm 14481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑠 ∈ Word 𝐽 ∧ Fun 𝑠) → (♯‘𝑠) = (♯‘dom 𝑠)) |
| 22 | 11, 20, 21 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑠) = (♯‘dom 𝑠)) |
| 23 | 9 | fdmd 6746 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → dom 𝑠 = (0..^(♯‘𝑊))) |
| 24 | 23 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘dom 𝑠) =
(♯‘(0..^(♯‘𝑊)))) |
| 25 | 2, 1 | eleqtrdi 2851 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) |
| 26 | 25 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) |
| 27 | | elfzo0 13740 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐼 ∈
(0..^(♯‘𝑊))
↔ (𝐼 ∈
ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊))) |
| 28 | 27 | simp2bi 1147 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐼 ∈
(0..^(♯‘𝑊))
→ (♯‘𝑊)
∈ ℕ) |
| 29 | 26, 28 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ) |
| 30 | 29 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑊) ∈
ℕ0) |
| 31 | | hashfzo0 14469 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((♯‘𝑊)
∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊)) |
| 32 | 30, 31 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) →
(♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊)) |
| 33 | 22, 24, 32 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑠) = (♯‘𝑊)) |
| 34 | 19, 33 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝑊 ∘ 𝑠))) |
| 35 | 34 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1)) |
| 36 | 35 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1))) |
| 37 | 5, 36 | eqtrid 2789 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑈 = ((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1))) |
| 38 | 26 | ne0d 4342 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (0..^(♯‘𝑊)) ≠
∅) |
| 39 | | f0dom0 6792 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽 → ((0..^(♯‘𝑊)) = ∅ ↔ 𝑠 = ∅)) |
| 40 | 39 | necon3bid 2985 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽 → ((0..^(♯‘𝑊)) ≠ ∅ ↔ 𝑠 ≠ ∅)) |
| 41 | 40 | biimpa 476 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽 ∧ (0..^(♯‘𝑊)) ≠ ∅) → 𝑠 ≠ ∅) |
| 42 | 9, 38, 41 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑠 ≠ ∅) |
| 43 | | lswco 14878 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑠 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑠 ≠ ∅ ∧ 𝑊:𝐽⟶𝑆) → (lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠)) = (𝑊‘(lastS‘𝑠))) |
| 44 | 11, 42, 17, 43 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠)) = (𝑊‘(lastS‘𝑠))) |
| 45 | | lsw 14602 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑠 ∈ Word 𝐽 → (lastS‘𝑠) = (𝑠‘((♯‘𝑠) − 1))) |
| 46 | 11, 45 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (lastS‘𝑠) = (𝑠‘((♯‘𝑠) − 1))) |
| 47 | 33 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑠) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1)) |
| 48 | 47 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑠‘((♯‘𝑠) − 1)) = (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1))) |
| 49 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) |
| 50 | 46, 48, 49 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (lastS‘𝑠) = 𝐼) |
| 51 | 50 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊‘(lastS‘𝑠)) = (𝑊‘𝐼)) |
| 52 | 44, 51 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊‘𝐼) = (lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠))) |
| 53 | 52 | s1eqd 14639 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 〈“(𝑊‘𝐼)”〉 =
〈“(lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠))”〉) |
| 54 | 37, 53 | oveq12d 7449 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑈 ++ 〈“(𝑊‘𝐼)”〉) = (((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1)) ++
〈“(lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠))”〉)) |
| 55 | 1, 4, 14 | wrdpmcl 32922 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊 ∘ 𝑠) ∈ Word 𝑆) |
| 56 | | fzo0end 13797 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((♯‘𝑊)
∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈
(0..^(♯‘𝑊))) |
| 57 | 29, 56 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈
(0..^(♯‘𝑊))) |
| 58 | 57, 1 | eleqtrrdi 2852 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ 𝐽) |
| 59 | 17 | fdmd 6746 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → dom 𝑊 = 𝐽) |
| 60 | 58, 59 | eleqtrrd 2844 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ dom 𝑊) |
| 61 | | dff1o5 6857 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ↔ (𝑠:𝐽–1-1→𝐽 ∧ ran 𝑠 = 𝐽)) |
| 62 | 61 | simprbi 496 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 → ran 𝑠 = 𝐽) |
| 63 | 4, 62 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ran 𝑠 = 𝐽) |
| 64 | 58, 63 | eleqtrrd 2844 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ran 𝑠) |
| 65 | 60, 64 | elind 4200 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (dom 𝑊 ∩ ran 𝑠)) |
| 66 | 65 | ne0d 4342 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (dom 𝑊 ∩ ran 𝑠) ≠ ∅) |
| 67 | | coeq0 6275 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑊 ∘ 𝑠) = ∅ ↔ (dom 𝑊 ∩ ran 𝑠) = ∅) |
| 68 | 67 | necon3bii 2993 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑊 ∘ 𝑠) ≠ ∅ ↔ (dom 𝑊 ∩ ran 𝑠) ≠ ∅) |
| 69 | 66, 68 | sylibr 234 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊 ∘ 𝑠) ≠ ∅) |
| 70 | | pfxlswccat 14751 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑊 ∘ 𝑠) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑊 ∘ 𝑠) ≠ ∅) → (((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1)) ++
〈“(lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠))”〉) = (𝑊 ∘ 𝑠)) |
| 71 | 55, 69, 70 | syl2anc 584 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1)) ++
〈“(lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠))”〉) = (𝑊 ∘ 𝑠)) |
| 72 | 54, 71 | eqtr2d 2778 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊 ∘ 𝑠) = (𝑈 ++ 〈“(𝑊‘𝐼)”〉)) |
| 73 | 4, 72 | jca 511 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑊 ∘ 𝑠) = (𝑈 ++ 〈“(𝑊‘𝐼)”〉))) |
| 74 | 73 | expl 457 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑊 ∘ 𝑠) = (𝑈 ++ 〈“(𝑊‘𝐼)”〉)))) |
| 75 | 74 | eximdv 1917 |
. 2
⊢ (𝜑 → (∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑊 ∘ 𝑠) = (𝑈 ++ 〈“(𝑊‘𝐼)”〉)))) |
| 76 | 3, 75 | mpd 15 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑊 ∘ 𝑠) = (𝑈 ++ 〈“(𝑊‘𝐼)”〉))) |