Theorem wrdpmtrlast 33647

Description: Reorder a word, so that the symbol given at index 𝐼 is at the end. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
wrdpmtrlast.1	⊢ 𝐽 = (0..^(♯‘𝑊))
wrdpmtrlast.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐽)
wrdpmtrlast.3	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
wrdpmtrlast.4	⊢ 𝑈 = ((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘𝑊) − 1))

Assertion

Ref	Expression
wrdpmtrlast	⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑊 ∘ 𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑠   𝐽,𝑠   𝑊,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝑈(𝑠)

Proof of Theorem wrdpmtrlast

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdpmtrlast.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (0..^(♯‘𝑊))
2		wrdpmtrlast.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐽)
3	1, 2	fzo0pmtrlast 33646	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼))
4		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽)
5		wrdpmtrlast.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘𝑊) − 1))
6		f1of 6822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 → 𝑠:𝐽⟶𝐽)
7	1	feq2i 6699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠:𝐽⟶𝐽 ↔ 𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽)
8	6, 7	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 → 𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽)
9	4, 8	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽)
10		iswrdi 14655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽 → 𝑠 ∈ Word 𝐽)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑠 ∈ Word 𝐽)
12		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
13		wrdpmtrlast.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
14	13	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
15	12, 14	wrdfd 14657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
16	1	feq2i 6699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊:𝐽⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
17	15, 16	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑊:𝐽⟶𝑆)
18		lenco 14976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑊:𝐽⟶𝑆) → (♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) = (♯‘𝑠))
19	11, 17, 18	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) = (♯‘𝑠))
20	9	ffund 6712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → Fun 𝑠)
21		hashfundm 14580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ Word 𝐽 ∧ Fun 𝑠) → (♯‘𝑠) = (♯‘dom 𝑠))
22	11, 20, 21	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑠) = (♯‘dom 𝑠))
23	9	fdmd 6718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → dom 𝑠 = (0..^(♯‘𝑊)))
24	23	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘dom 𝑠) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
25	2, 1	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
26	25	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
27		elfzo0 13828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
28	27	simp2bi 1164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
29	26, 28	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
30	29	nnnn0d 12660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
31		hashfzo0 14568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
33	22, 24, 32	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑠) = (♯‘𝑊))
34	19, 33	eqtr2d 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)))
35	34	oveq1d 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1))
36	35	oveq2d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1)))
37	5, 36	eqtrid 2808	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑈 = ((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1)))
38	26	ne0d 4288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (0..^(♯‘𝑊)) ≠ ∅)
39		f0dom0 6764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽 → ((0..^(♯‘𝑊)) = ∅ ↔ 𝑠 = ∅))
40	39	necon3bid 3000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽 → ((0..^(♯‘𝑊)) ≠ ∅ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
41	40	biimpa 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽 ∧ (0..^(♯‘𝑊)) ≠ ∅) → 𝑠 ≠ ∅)
42	9, 38, 41	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑠 ≠ ∅)
43		lswco 14983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑠 ≠ ∅ ∧ 𝑊:𝐽⟶𝑆) → (lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠)) = (𝑊‘(lastS‘𝑠)))
44	11, 42, 17, 43	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠)) = (𝑊‘(lastS‘𝑠)))
45		lsw 14702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ Word 𝐽 → (lastS‘𝑠) = (𝑠‘((♯‘𝑠) − 1)))
46	11, 45	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (lastS‘𝑠) = (𝑠‘((♯‘𝑠) − 1)))
47	33	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑠) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
48	47	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑠‘((♯‘𝑠) − 1)) = (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)))
49		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼)
50	46, 48, 49	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (lastS‘𝑠) = 𝐼)
51	50	fveq2d 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊‘(lastS‘𝑠)) = (𝑊‘𝐼))
52	44, 51	eqtr2d 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊‘𝐼) = (lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠)))
53	52	s1eqd 14741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩ = ⟨“(lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠))”⟩)
54	37, 53	oveq12d 7436	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑈 ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩) = (((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠))”⟩))
55	1, 4, 14	wrdpmcl 33498	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊 ∘ 𝑠) ∈ Word 𝑆)
56		fzo0end 13886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
57	29, 56	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
58	57, 1	eleqtrrdi 2872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ 𝐽)
59	17	fdmd 6718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → dom 𝑊 = 𝐽)
60	58, 59	eleqtrrd 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ dom 𝑊)
61		dff1o5 6832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ↔ (𝑠:𝐽–1-1→𝐽 ∧ ran 𝑠 = 𝐽))
62	61	simprbi 503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 → ran 𝑠 = 𝐽)
63	4, 62	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ran 𝑠 = 𝐽)
64	58, 63	eleqtrrd 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ran 𝑠)
65	60, 64	elind 4146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (dom 𝑊 ∩ ran 𝑠))
66	65	ne0d 4288	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (dom 𝑊 ∩ ran 𝑠) ≠ ∅)
67		coeq0 6256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝑠) = ∅ ↔ (dom 𝑊 ∩ ran 𝑠) = ∅)
68	67	necon3bii 3008	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝑠) ≠ ∅ ↔ (dom 𝑊 ∩ ran 𝑠) ≠ ∅)
69	66, 68	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊 ∘ 𝑠) ≠ ∅)
70		pfxlswccat 14855	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∘ 𝑠) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑊 ∘ 𝑠) ≠ ∅) → (((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠))”⟩) = (𝑊 ∘ 𝑠))
71	55, 69, 70	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠))”⟩) = (𝑊 ∘ 𝑠))
72	54, 71	eqtr2d 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊 ∘ 𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩))
73	4, 72	jca 521	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑊 ∘ 𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)))
74	73	expl 463	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑊 ∘ 𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩))))
75	74	eximdv 1950	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑊 ∘ 𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩))))
76	3, 75	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑊 ∘ 𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∩ cin 3898  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  ran crn 5652   ∘ ccom 5655  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  0cc0 11193  1c1 11194   < clt 11336   − cmin 11534  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  ..^cfzo 13781  ♯chash 14467  Word cword 14651  lastSclsw 14700   ++ cconcat 14708  ⟨“cs1 14735   prefix cpfx 14813

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-dju 9975  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-hash 14468  df-word 14652  df-lsw 14701  df-concat 14709  df-s1 14736  df-substr 14782  df-pfx 14814  df-pmtr 19649

This theorem is used by:  1arithidom  34062