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Theorem wrdpmtrlast 33113
Description: Reorder a word, so that the symbol given at index 𝐼 is at the end. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
wrdpmtrlast.1 𝐽 = (0..^(♯‘𝑊))
wrdpmtrlast.2 (𝜑𝐼𝐽)
wrdpmtrlast.3 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
wrdpmtrlast.4 𝑈 = ((𝑊𝑠) prefix ((♯‘𝑊) − 1))
Assertion
Ref Expression
wrdpmtrlast (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽1-1-onto𝐽 ∧ (𝑊𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
Distinct variable groups:   𝐼,𝑠   𝐽,𝑠   𝑊,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝑈(𝑠)

Proof of Theorem wrdpmtrlast
StepHypRef Expression
1 wrdpmtrlast.1 . . 3 𝐽 = (0..^(♯‘𝑊))
2 wrdpmtrlast.2 . . 3 (𝜑𝐼𝐽)
31, 2fzo0pmtrlast 33112 . 2 (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽1-1-onto𝐽 ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼))
4 simplr 769 . . . . 5 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑠:𝐽1-1-onto𝐽)
5 wrdpmtrlast.4 . . . . . . . 8 𝑈 = ((𝑊𝑠) prefix ((♯‘𝑊) − 1))
6 f1of 6848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠:𝐽1-1-onto𝐽𝑠:𝐽𝐽)
71feq2i 6728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠:𝐽𝐽𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽)
86, 7sylib 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠:𝐽1-1-onto𝐽𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽)
94, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽)
10 iswrdi 14556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽𝑠 ∈ Word 𝐽)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑠 ∈ Word 𝐽)
12 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
13 wrdpmtrlast.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
1413ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
1512, 14wrdfd 32918 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
161feq2i 6728 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊:𝐽𝑆𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
1715, 16sylibr 234 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑊:𝐽𝑆)
18 lenco 14871 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ Word 𝐽𝑊:𝐽𝑆) → (♯‘(𝑊𝑠)) = (♯‘𝑠))
1911, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘(𝑊𝑠)) = (♯‘𝑠))
209ffund 6740 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → Fun 𝑠)
21 hashfundm 14481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ Word 𝐽 ∧ Fun 𝑠) → (♯‘𝑠) = (♯‘dom 𝑠))
2211, 20, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑠) = (♯‘dom 𝑠))
239fdmd 6746 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → dom 𝑠 = (0..^(♯‘𝑊)))
2423fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘dom 𝑠) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
252, 1eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
2625ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
27 elfzo0 13740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
2827simp2bi 1147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
3029nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
31 hashfzo0 14469 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
3322, 24, 323eqtrd 2781 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑠) = (♯‘𝑊))
3419, 33eqtr2d 2778 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝑊𝑠)))
3534oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((♯‘(𝑊𝑠)) − 1))
3635oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((𝑊𝑠) prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ((𝑊𝑠) prefix ((♯‘(𝑊𝑠)) − 1)))
375, 36eqtrid 2789 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑈 = ((𝑊𝑠) prefix ((♯‘(𝑊𝑠)) − 1)))
3826ne0d 4342 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (0..^(♯‘𝑊)) ≠ ∅)
39 f0dom0 6792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽 → ((0..^(♯‘𝑊)) = ∅ ↔ 𝑠 = ∅))
4039necon3bid 2985 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽 → ((0..^(♯‘𝑊)) ≠ ∅ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
4140biimpa 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽 ∧ (0..^(♯‘𝑊)) ≠ ∅) → 𝑠 ≠ ∅)
429, 38, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑠 ≠ ∅)
43 lswco 14878 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ Word 𝐽𝑠 ≠ ∅ ∧ 𝑊:𝐽𝑆) → (lastS‘(𝑊𝑠)) = (𝑊‘(lastS‘𝑠)))
4411, 42, 17, 43syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (lastS‘(𝑊𝑠)) = (𝑊‘(lastS‘𝑠)))
45 lsw 14602 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ Word 𝐽 → (lastS‘𝑠) = (𝑠‘((♯‘𝑠) − 1)))
4611, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (lastS‘𝑠) = (𝑠‘((♯‘𝑠) − 1)))
4733oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑠) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
4847fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑠‘((♯‘𝑠) − 1)) = (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)))
49 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼)
5046, 48, 493eqtrd 2781 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (lastS‘𝑠) = 𝐼)
5150fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊‘(lastS‘𝑠)) = (𝑊𝐼))
5244, 51eqtr2d 2778 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊𝐼) = (lastS‘(𝑊𝑠)))
5352s1eqd 14639 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ⟨“(𝑊𝐼)”⟩ = ⟨“(lastS‘(𝑊𝑠))”⟩)
5437, 53oveq12d 7449 . . . . . 6 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑈 ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩) = (((𝑊𝑠) prefix ((♯‘(𝑊𝑠)) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊𝑠))”⟩))
551, 4, 14wrdpmcl 32922 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊𝑠) ∈ Word 𝑆)
56 fzo0end 13797 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
5729, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
5857, 1eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ 𝐽)
5917fdmd 6746 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → dom 𝑊 = 𝐽)
6058, 59eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ dom 𝑊)
61 dff1o5 6857 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠:𝐽1-1-onto𝐽 ↔ (𝑠:𝐽1-1𝐽 ∧ ran 𝑠 = 𝐽))
6261simprbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠:𝐽1-1-onto𝐽 → ran 𝑠 = 𝐽)
634, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ran 𝑠 = 𝐽)
6458, 63eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ran 𝑠)
6560, 64elind 4200 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (dom 𝑊 ∩ ran 𝑠))
6665ne0d 4342 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (dom 𝑊 ∩ ran 𝑠) ≠ ∅)
67 coeq0 6275 . . . . . . . . 9 ((𝑊𝑠) = ∅ ↔ (dom 𝑊 ∩ ran 𝑠) = ∅)
6867necon3bii 2993 . . . . . . . 8 ((𝑊𝑠) ≠ ∅ ↔ (dom 𝑊 ∩ ran 𝑠) ≠ ∅)
6966, 68sylibr 234 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊𝑠) ≠ ∅)
70 pfxlswccat 14751 . . . . . . 7 (((𝑊𝑠) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑊𝑠) ≠ ∅) → (((𝑊𝑠) prefix ((♯‘(𝑊𝑠)) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊𝑠))”⟩) = (𝑊𝑠))
7155, 69, 70syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (((𝑊𝑠) prefix ((♯‘(𝑊𝑠)) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊𝑠))”⟩) = (𝑊𝑠))
7254, 71eqtr2d 2778 . . . . 5 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩))
734, 72jca 511 . . . 4 (((𝜑𝑠:𝐽1-1-onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑠:𝐽1-1-onto𝐽 ∧ (𝑊𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
7473expl 457 . . 3 (𝜑 → ((𝑠:𝐽1-1-onto𝐽 ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑠:𝐽1-1-onto𝐽 ∧ (𝑊𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩))))
7574eximdv 1917 . 2 (𝜑 → (∃𝑠(𝑠:𝐽1-1-onto𝐽 ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ∃𝑠(𝑠:𝐽1-1-onto𝐽 ∧ (𝑊𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩))))
763, 75mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽1-1-onto𝐽 ∧ (𝑊𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  cin 3950  c0 4333   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ran crn 5686  ccom 5689  Fun wfun 6555  wf 6557  1-1wf1 6558  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552  lastSclsw 14600   ++ cconcat 14608  ⟨“cs1 14633   prefix cpfx 14708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-pmtr 19460
This theorem is referenced by:  1arithidom  33565
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