Theorem wrdpmtrlast 32906

Description: Reorder a word, so that the symbol given at index 𝐼 is at the end. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
wrdpmtrlast.1	⊢ 𝐽 = (0..^(♯‘𝑊))
wrdpmtrlast.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐽)
wrdpmtrlast.3	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
wrdpmtrlast.4	⊢ 𝑈 = ((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘𝑊) − 1))

Assertion

Ref	Expression
wrdpmtrlast	⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑊 ∘ 𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑠   𝐽,𝑠   𝑊,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝑈(𝑠)

Proof of Theorem wrdpmtrlast

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdpmtrlast.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (0..^(♯‘𝑊))
2		wrdpmtrlast.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐽)
3	1, 2	fzo0pmtrlast 32905	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼))
4		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽)
5		wrdpmtrlast.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘𝑊) − 1))
6		f1of 6838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 → 𝑠:𝐽⟶𝐽)
7	1	feq2i 6715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠:𝐽⟶𝐽 ↔ 𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽)
8	6, 7	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 → 𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽)
9	4, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽)
10		iswrdi 14504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽 → 𝑠 ∈ Word 𝐽)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑠 ∈ Word 𝐽)
12		eqidd 2726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
13		wrdpmtrlast.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
14	13	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
15	12, 14	wrdfd 32744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
16	1	feq2i 6715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊:𝐽⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
17	15, 16	sylibr 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑊:𝐽⟶𝑆)
18		lenco 14819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑊:𝐽⟶𝑆) → (♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) = (♯‘𝑠))
19	11, 17, 18	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) = (♯‘𝑠))
20	9	ffund 6727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → Fun 𝑠)
21		hashfundm 14437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ Word 𝐽 ∧ Fun 𝑠) → (♯‘𝑠) = (♯‘dom 𝑠))
22	11, 20, 21	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑠) = (♯‘dom 𝑠))
23	9	fdmd 6733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → dom 𝑠 = (0..^(♯‘𝑊)))
24	23	fveq2d 6900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘dom 𝑠) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
25	2, 1	eleqtrdi 2835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
26	25	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
27		elfzo0 13708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
28	27	simp2bi 1143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
29	26, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
30	29	nnnn0d 12565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
31		hashfzo0 14425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
33	22, 24, 32	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑠) = (♯‘𝑊))
34	19, 33	eqtr2d 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)))
35	34	oveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1))
36	35	oveq2d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1)))
37	5, 36	eqtrid 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑈 = ((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1)))
38	26	ne0d 4335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (0..^(♯‘𝑊)) ≠ ∅)
39		f0dom0 6781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽 → ((0..^(♯‘𝑊)) = ∅ ↔ 𝑠 = ∅))
40	39	necon3bid 2974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽 → ((0..^(♯‘𝑊)) ≠ ∅ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
41	40	biimpa 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽 ∧ (0..^(♯‘𝑊)) ≠ ∅) → 𝑠 ≠ ∅)
42	9, 38, 41	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑠 ≠ ∅)
43		lswco 14826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑠 ≠ ∅ ∧ 𝑊:𝐽⟶𝑆) → (lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠)) = (𝑊‘(lastS‘𝑠)))
44	11, 42, 17, 43	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠)) = (𝑊‘(lastS‘𝑠)))
45		lsw 14550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ Word 𝐽 → (lastS‘𝑠) = (𝑠‘((♯‘𝑠) − 1)))
46	11, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (lastS‘𝑠) = (𝑠‘((♯‘𝑠) − 1)))
47	33	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑠) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
48	47	fveq2d 6900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑠‘((♯‘𝑠) − 1)) = (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)))
49		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼)
50	46, 48, 49	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (lastS‘𝑠) = 𝐼)
51	50	fveq2d 6900	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊‘(lastS‘𝑠)) = (𝑊‘𝐼))
52	44, 51	eqtr2d 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊‘𝐼) = (lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠)))
53	52	s1eqd 14587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩ = ⟨“(lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠))”⟩)
54	37, 53	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑈 ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩) = (((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠))”⟩))
55	1, 4, 14	wrdpmcl 32748	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊 ∘ 𝑠) ∈ Word 𝑆)
56		fzo0end 13759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
57	29, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
58	57, 1	eleqtrrdi 2836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ 𝐽)
59	17	fdmd 6733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → dom 𝑊 = 𝐽)
60	58, 59	eleqtrrd 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ dom 𝑊)
61		dff1o5 6847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ↔ (𝑠:𝐽–1-1→𝐽 ∧ ran 𝑠 = 𝐽))
62	61	simprbi 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 → ran 𝑠 = 𝐽)
63	4, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ran 𝑠 = 𝐽)
64	58, 63	eleqtrrd 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ran 𝑠)
65	60, 64	elind 4192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (dom 𝑊 ∩ ran 𝑠))
66	65	ne0d 4335	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (dom 𝑊 ∩ ran 𝑠) ≠ ∅)
67		coeq0 6261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝑠) = ∅ ↔ (dom 𝑊 ∩ ran 𝑠) = ∅)
68	67	necon3bii 2982	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝑠) ≠ ∅ ↔ (dom 𝑊 ∩ ran 𝑠) ≠ ∅)
69	66, 68	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊 ∘ 𝑠) ≠ ∅)
70		pfxlswccat 14699	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∘ 𝑠) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑊 ∘ 𝑠) ≠ ∅) → (((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠))”⟩) = (𝑊 ∘ 𝑠))
71	55, 69, 70	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠))”⟩) = (𝑊 ∘ 𝑠))
72	54, 71	eqtr2d 2766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊 ∘ 𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩))
73	4, 72	jca 510	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑊 ∘ 𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)))
74	73	expl 456	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑊 ∘ 𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩))))
75	74	eximdv 1912	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑊 ∘ 𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩))))
76	3, 75	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑊 ∘ 𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929   ∩ cin 3943  ∅c0 4322   class class class wbr 5149  dom cdm 5678  ran crn 5679   ∘ ccom 5682  Fun wfun 6543  ⟶wf 6545  –1-1→wf1 6546  –1-1-onto→wf1o 6548  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11140  1c1 11141   < clt 11280   − cmin 11476  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12505  ..^cfzo 13662  ♯chash 14325  Word cword 14500  lastSclsw 14548   ++ cconcat 14556  ⟨“cs1 14581   prefix cpfx 14656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-hash 14326  df-word 14501  df-lsw 14549  df-concat 14557  df-s1 14582  df-substr 14627  df-pfx 14657  df-pmtr 19409

This theorem is referenced by:  1arithidom  33349