Theorem wrdpmtrlast 33753

Description: Reorder a word, so that the symbol given at index 𝐼 is at the end. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
wrdpmtrlast.1	⊢ 𝐽 = (0..^(♯‘𝑊))
wrdpmtrlast.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐽)
wrdpmtrlast.3	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
wrdpmtrlast.4	⊢ 𝑈 = ((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘𝑊) − 1))

Assertion

Ref	Expression
wrdpmtrlast	⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽 ∧ (𝑊 ∘ 𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑠   𝐽,𝑠   𝑊,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝑈(𝑠)

Proof of Theorem wrdpmtrlast

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdpmtrlast.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (0..^(♯‘𝑊))
2		wrdpmtrlast.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐽)
3	1, 2	fzo0pmtrlast 33752	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽 ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼))
4		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽)
5		wrdpmtrlast.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘𝑊) − 1))
6		f1of 6854	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽 → 𝑠:𝐽⟶𝐽)
7	1	feq2i 6731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠:𝐽⟶𝐽 ↔ 𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽)
8	6, 7	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽 → 𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽)
9	4, 8	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽)
10		iswrdi 14703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽 → 𝑠 ∈ Word 𝐽)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑠 ∈ Word 𝐽)
12		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
13		wrdpmtrlast.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
14	13	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
15	12, 14	wrdfd 14705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
16	1	feq2i 6731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊:𝐽⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
17	15, 16	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑊:𝐽⟶𝑆)
18		lenco 15025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑊:𝐽⟶𝑆) → (♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) = (♯‘𝑠))
19	11, 17, 18	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) = (♯‘𝑠))
20	9	ffund 6744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → Fun 𝑠)
21		hashfundm 14628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ Word 𝐽 ∧ Fun 𝑠) → (♯‘𝑠) = (♯‘dom 𝑠))
22	11, 20, 21	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑠) = (♯‘dom 𝑠))
23	9	fdmd 6750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → dom 𝑠 = (0..^(♯‘𝑊)))
24	23	fveq2d 6920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘dom 𝑠) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
25	2, 1	eleqtrdi 2874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
26	25	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
27		elfzo0 13875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
28	27	simp2bi 1164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
29	26, 28	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
30	29	nnnn0d 12707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
31		hashfzo0 14616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
33	22, 24, 32	3eqtrd 2802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑠) = (♯‘𝑊))
34	19, 33	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)))
35	34	oveq1d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1))
36	35	oveq2d 7467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1)))
37	5, 36	eqtrid 2810	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑈 = ((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1)))
38	26	ne0d 4291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (0..^(♯‘𝑊)) ≠ ∅)
39		f0dom0 6796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽 → ((0..^(♯‘𝑊)) = ∅ ↔ 𝑠 = ∅))
40	39	necon3bid 3003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽 → ((0..^(♯‘𝑊)) ≠ ∅ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
41	40	biimpa 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐽 ∧ (0..^(♯‘𝑊)) ≠ ∅) → 𝑠 ≠ ∅)
42	9, 38, 41	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → 𝑠 ≠ ∅)
43		lswco 15032	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑠 ≠ ∅ ∧ 𝑊:𝐽⟶𝑆) → (lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠)) = (𝑊‘(lastS‘𝑠)))
44	11, 42, 17, 43	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠)) = (𝑊‘(lastS‘𝑠)))
45		lsw 14750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ Word 𝐽 → (lastS‘𝑠) = (𝑠‘((♯‘𝑠) − 1)))
46	11, 45	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (lastS‘𝑠) = (𝑠‘((♯‘𝑠) − 1)))
47	33	oveq1d 7466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑠) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
48	47	fveq2d 6920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑠‘((♯‘𝑠) − 1)) = (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)))
49		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼)
50	46, 48, 49	3eqtrd 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (lastS‘𝑠) = 𝐼)
51	50	fveq2d 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊‘(lastS‘𝑠)) = (𝑊‘𝐼))
52	44, 51	eqtr2d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊‘𝐼) = (lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠)))
53	52	s1eqd 14789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩ = ⟨“(lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠))”⟩)
54	37, 53	oveq12d 7469	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑈 ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩) = (((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠))”⟩))
55	1, 4, 14	wrdpmcl 33601	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊 ∘ 𝑠) ∈ Word 𝑆)
56		fzo0end 13933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
57	29, 56	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
58	57, 1	eleqtrrdi 2875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ 𝐽)
59	17	fdmd 6750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → dom 𝑊 = 𝐽)
60	58, 59	eleqtrrd 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ dom 𝑊)
61		dff1o5 6864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽 ↔ (𝑠:𝐽⟶1-1𝐽 ∧ ran 𝑠 = 𝐽))
62	61	simprbi 503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽 → ran 𝑠 = 𝐽)
63	4, 62	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ran 𝑠 = 𝐽)
64	58, 63	eleqtrrd 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ran 𝑠)
65	60, 64	elind 4100	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (dom 𝑊 ∩ ran 𝑠))
66	65	ne0d 4291	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (dom 𝑊 ∩ ran 𝑠) ≠ ∅)
67		coeq0 6276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝑠) = ∅ ↔ (dom 𝑊 ∩ ran 𝑠) = ∅)
68	67	necon3bii 3011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝑠) ≠ ∅ ↔ (dom 𝑊 ∩ ran 𝑠) ≠ ∅)
69	66, 68	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊 ∘ 𝑠) ≠ ∅)
70		pfxlswccat 14904	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∘ 𝑠) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑊 ∘ 𝑠) ≠ ∅) → (((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠))”⟩) = (𝑊 ∘ 𝑠))
71	55, 69, 70	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (((𝑊 ∘ 𝑠) prefix ((♯‘(𝑊 ∘ 𝑠)) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 ∘ 𝑠))”⟩) = (𝑊 ∘ 𝑠))
72	54, 71	eqtr2d 2799	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑊 ∘ 𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩))
73	4, 72	jca 521	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽) ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽 ∧ (𝑊 ∘ 𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)))
74	73	expl 463	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽 ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → (𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽 ∧ (𝑊 ∘ 𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩))))
75	74	eximdv 1952	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠(𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽 ∧ (𝑠‘((♯‘𝑊) − 1)) = 𝐼) → ∃𝑠(𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽 ∧ (𝑊 ∘ 𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩))))
76	3, 75	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽⟶1-1onto𝐽 ∧ (𝑊 ∘ 𝑠) = (𝑈 ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∩ cin 4092  ∅c0 4281   class class class wbr 5108  dom cdm 5658  ran crn 5659   ∘ ccom 5662  Fun wfun 6560  ⟶wf 6562  ⟶1-1wf1 6563  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   < clt 11382   − cmin 11580  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ..^cfzo 13828  ♯chash 14515  Word cword 14699  lastSclsw 14748   ++ cconcat 14756  ⟨“cs1 14783   prefix cpfx 14862

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-lsw 14749  df-concat 14757  df-s1 14784  df-substr 14831  df-pfx 14863  df-pmtr 19707

This theorem is used by:  1arithidom  34173