Theorem pfx1s2 33602

Description: The prefix of length 1 of a length 2 word. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pfx1s2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix 1) = ⟨“𝐴”⟩)

Proof of Theorem pfx1s2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2cl 15071	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
2		2re 12457	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	leidi 11890	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 2
4		s2len 15082	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
5	3, 4	breqtrri 5138	. . . 4 ⊢ 2 ≤ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)
6		wrdlenge2n0 14738	. . . 4 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ≠ ∅)
7	5, 6	mpan2 704	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ≠ ∅)
8		pfx1 14894	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐴𝐵”⟩ ≠ ∅) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix 1) = ⟨“(⟨“𝐴𝐵”⟩‘0)”⟩)
9	1, 7, 8	syl2anc2 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix 1) = ⟨“(⟨“𝐴𝐵”⟩‘0)”⟩)
10		s2fv0 15080	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘0) = 𝐴)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘0) = 𝐴)
12	11	s1eqd 14789	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨“(⟨“𝐴𝐵”⟩‘0)”⟩ = ⟨“𝐴”⟩)
13	9, 12	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix 1) = ⟨“𝐴”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   ≤ cle 11383  2c2 12437  ♯chash 14515  Word cword 14699  ⟨“cs1 14783   prefix cpfx 14862  ⟨“cs2 15034

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-concat 14757  df-s1 14784  df-substr 14831  df-pfx 14863  df-s2 15041

This theorem is used by:  cshw1s2  33617