MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcnp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metcnp2 23921
Description: Two ways to say a mapping from metric 𝐢 to metric 𝐷 is continuous at point 𝑃. The distance arguments are swapped compared to metcnp 23920 (and Munkres' metcn 23922) for compatibility with df-lm 22603. Definition 1.3-3 of [Kreyszig] p. 20. (Contributed by NM, 4-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metcn.4 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
metcnp2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑀𝐢𝑃) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑀,𝑧,𝐹   𝑀,𝐽,𝑦,𝑧   𝑀,𝐾,𝑦,𝑧   𝑀,𝑋,𝑦,𝑧   𝑀,π‘Œ,𝑦,𝑧   𝑀,𝐢,𝑦,𝑧   𝑀,𝐷,𝑦,𝑧   𝑀,𝑃,𝑦,𝑧

Proof of Theorem metcnp2
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
2 metcn.4 . . 3 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
31, 2metcnp 23920 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑃𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < 𝑦))))
4 simpl1 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
54ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
6 simpl3 1194 . . . . . . . . . . 11 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
76ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
8 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
9 xmetsym 23723 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐢𝑀) = (𝑀𝐢𝑃))
105, 7, 8, 9syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐢𝑀) = (𝑀𝐢𝑃))
1110breq1d 5119 . . . . . . . 8 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐢𝑀) < 𝑧 ↔ (𝑀𝐢𝑃) < 𝑧))
12 simpl2 1193 . . . . . . . . . . 11 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
14 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
1514, 7ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . 10 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ)
1614, 8ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . 10 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ π‘Œ)
17 xmetsym 23723 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ π‘Œ) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) = ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)))
1813, 15, 16, 17syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) = ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)))
1918breq1d 5119 . . . . . . . 8 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < 𝑦 ↔ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝑦))
2011, 19imbi12d 345 . . . . . . 7 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (((𝑃𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ ((𝑀𝐢𝑃) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝑦)))
2120ralbidva 3169 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑃𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑀𝐢𝑃) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝑦)))
2221anassrs 469 . . . . 5 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑃𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑀𝐢𝑃) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝑦)))
2322rexbidva 3170 . . . 4 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑃𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑀𝐢𝑃) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝑦)))
2423ralbidva 3169 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑃𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑀𝐢𝑃) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝑦)))
2524pm5.32da 580 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑃𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < 𝑦)) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑀𝐢𝑃) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝑦))))
263, 25bitrd 279 1 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑀𝐢𝑃) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5109  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   < clt 11197  β„+crp 12923  βˆžMetcxmet 20804  MetOpencmopn 20809   CnP ccnp 22599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cnp 22602
This theorem is referenced by:  metcnpi2  23924  rlimcnp  26338
  Copyright terms: Public domain W3C validator