Theorem metcnp2 23149

Description: Two ways to say a mapping from metric 𝐶 to metric 𝐷 is continuous at point 𝑃. The distance arguments are swapped compared to metcnp 23148 (and Munkres' metcn 23150) for compatibility with df-lm 21834. Definition 1.3-3 of [Kreyszig] p. 20. (Contributed by NM, 4-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
metcnp2	⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑤𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑤)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,𝑧,𝐹   𝑤,𝐽,𝑦,𝑧   𝑤,𝐾,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑦,𝑧   𝑤,𝑌,𝑦,𝑧   𝑤,𝐶,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃,𝑦,𝑧

Proof of Theorem metcnp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
2		metcn.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
3	1, 2	metcnp 23148	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦))))
4		simpl1 1188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
5	4	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
6		simpl3 1190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → 𝑃 ∈ 𝑋)
7	6	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝑋)
8		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝑋)
9		xmetsym 22954	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐶𝑤) = (𝑤𝐶𝑃))
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐶𝑤) = (𝑤𝐶𝑃))
11	10	breq1d 5040	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 ↔ (𝑤𝐶𝑃) < 𝑧))
12		simpl2 1189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
13	12	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
14		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
15	14, 7	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑌)
16	14, 8	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝑌)
17		xmetsym 22954	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑌 ∧ (𝐹‘𝑤) ∈ 𝑌) → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) = ((𝐹‘𝑤)𝐷(𝐹‘𝑃)))
18	13, 15, 16, 17	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) = ((𝐹‘𝑤)𝐷(𝐹‘𝑃)))
19	18	breq1d 5040	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦 ↔ ((𝐹‘𝑤)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝑦))
20	11, 19	imbi12d 348	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ((𝑤𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑤)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝑦)))
21	20	ralbidva 3161	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑤𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑤)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝑦)))
22	21	anassrs 471	. . . . 5 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑤𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑤)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝑦)))
23	22	rexbidva 3255	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑤𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑤)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝑦)))
24	23	ralbidva 3161	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑤𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑤)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝑦)))
25	24	pm5.32da 582	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦)) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑤𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑤)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝑦))))
26	3, 25	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑤𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑤)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   class class class wbr 5030  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   < clt 10664  ℝ⁺crp 12377  ∞Metcxmet 20076  MetOpencmopn 20081   CnP ccnp 21830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-topgen 16709  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551  df-cnp 21833

This theorem is referenced by:  metcnpi2  23152  rlimcnp  25551