Theorem hashle00 14383

Description: If the size of a set is less than or equal to zero, the set must be empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 24-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashle00	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ 𝑉 = ∅))

Proof of Theorem hashle00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashge0 14370	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 0 ≤ (♯‘𝑉))
2	1	biantrud 531	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ ((♯‘𝑉) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (♯‘𝑉))))
3		hashxrcl 14340	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
4		0xr 11283	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5		xrletri3 13157	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑉) = 0 ↔ ((♯‘𝑉) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (♯‘𝑉))))
6	3, 4, 5	sylancl 585	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 0 ↔ ((♯‘𝑉) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (♯‘𝑉))))
7		hasheq0 14346	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
8	2, 6, 7	3bitr2d 307	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ 𝑉 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∅c0 4318   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  0cc0 11130  ℝ^*cxr 11269   ≤ cle 11271  ♯chash 14313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-hash 14314

This theorem is referenced by:  hashgt0elex  14384  rusgrnumwwlks  29772