Theorem hashle00 14497

Description: If the size of a set is less than or equal to zero, the set must be empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 24-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashle00	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ 𝑉 = ∅))

Proof of Theorem hashle00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashge0 14484	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 0 ≤ (♯‘𝑉))
2	1	biantrud 541	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ ((♯‘𝑉) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (♯‘𝑉))))
3		hashxrcl 14454	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
4		0xr 11313	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5		xrletri3 13238	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑉) = 0 ↔ ((♯‘𝑉) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (♯‘𝑉))))
6	3, 4, 5	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 0 ↔ ((♯‘𝑉) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (♯‘𝑉))))
7		hasheq0 14460	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
8	2, 6, 7	3bitr2d 310	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ 𝑉 = ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528  0cc0 11157  ℝ^*cxr 11299   ≤ cle 11301  ♯chash 14427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-n0 12562  df-xnn0 12635  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595  df-hash 14428

This theorem is used by:  hashgt0elex  14498  rusgrnumwwlks  30485