Theorem pc11 16812

Description: The prime count function, viewed as a function from ℕ to (ℕ ↑_m ℙ), is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pc11	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝

Proof of Theorem pc11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7416	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵))
2	1	ralrimivw 3150	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵))
3		nn0z 12582	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
4		nn0z 12582	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
5		zq 12937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
6		pcxcl 16793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ*)
7	5, 6	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ*)
8		zq 12937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
9		pcxcl 16793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ*)
10	8, 9	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ*)
11	7, 10	anim12dan 619	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ*))
12		xrletri3 13132	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
14	13	ancoms 459	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
15	14	ralbidva 3175	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
16		r19.26 3111	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
17	15, 16	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
18		pc2dvds 16811	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
19		pc2dvds 16811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
20	19	ancoms 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
21	18, 20	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
22	17, 21	bitr4d 281	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝐴)))
23	3, 4, 22	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝐴)))
24		dvdseq 16256	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
25	24	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → 𝐴 = 𝐵))
26	23, 25	sylbid 239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
27	2, 26	impbid2 225	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  ℝ^*cxr 11246   ≤ cle 11248  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557  ℚcq 12931   ∥ cdvds 16196  ℙcprime 16607   pCnt cpc 16768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608  df-pc 16769

This theorem is referenced by:  pcprod  16827  prmreclem2  16849  1arith  16859  isppw2  26616  sqf11  26640  bposlem3  26786  aks6d1c2p2  40952