Theorem pc11 16935

Description: The prime count function, viewed as a function from ℕ to (ℕ ↑_m ℙ), is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pc11	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝

Proof of Theorem pc11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7418	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵))
2	1	ralrimivw 3161	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵))
3		nn0z 12610	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
4		nn0z 12610	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
5		zq 12973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
6		pcxcl 16916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ*)
7	5, 6	sylan2 604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ*)
8		zq 12973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
9		pcxcl 16916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ*)
10	8, 9	sylan2 604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ*)
11	7, 10	anim12dan 630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ*))
12		xrletri3 13174	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
14	13	ancoms 463	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
15	14	ralbidva 3186	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
16		r19.26 3125	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
17	15, 16	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
18		pc2dvds 16934	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
19		pc2dvds 16934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
20	19	ancoms 463	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
21	18, 20	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
22	17, 21	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝐴)))
23	3, 4, 22	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝐴)))
24		dvdseq 16367	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
25	24	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → 𝐴 = 𝐵))
26	23, 25	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
27	2, 26	impbid2 229	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝ^*cxr 11237   ≤ cle 11239  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ℚcq 12967   ∥ cdvds 16305  ℙcprime 16724   pCnt cpc 16891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-prm 16725  df-pc 16892

This theorem is referenced by:  pcprod  16950  prmreclem2  16972  1arith  16982  isppw2  27279  sqf11  27303  bposlem3  27450  aks6d1c2p2  42886  aks6d1c7  42951