Theorem zlm0 31906

Description: Zero of a ℤ-module. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmlem2.1	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlm0.1	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlm0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Proof of Theorem zlm0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlm0.1	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
2		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
4		zlmlem2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
5	4, 2	zlmbas 20718	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊))
7		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8	4, 7	zlmplusg 20720	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊))
10	9	oveqd 7288	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦))
11	3, 6, 10	grpidpropd 18344	. . 3 ⊢ (⊤ → (0g‘𝐺) = (0g‘𝑊))
12	11	mptru 1549	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝑊)
13	1, 12	eqtri 2768	1 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6432  Basecbs 16910  +_gcplusg 16960  0_gc0g 17148  ℤModczlm 20700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-plusg 16973  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-0g 17150  df-zlm 20704

This theorem is referenced by:  zrhnm  31915