Theorem zlm1 34093

Description: Unity element of a ℤ-module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmlem2.1	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlm1.1	⊢ 1 = (1r‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlm1	⊢ 1 = (1r‘𝑊)

Proof of Theorem zlm1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlm1.1	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝐺)
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
4		zlmlem2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
5	4, 2	zlmbas 21486	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊))
7		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝐺)
8	4, 7	zlmmulr 21488	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊))
10	9	oveqd 7373	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(.r‘𝐺)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑊)𝑦))
11	3, 6, 10	rngidpropd 20384	. . 3 ⊢ (⊤ → (1r‘𝐺) = (1r‘𝑊))
12	11	mptru 1549	. 2 ⊢ (1r‘𝐺) = (1r‘𝑊)
13	1, 12	eqtri 2758	1 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6487  Basecbs 17168  ._rcmulr 17210  1_rcur 20151  ℤModczlm 21469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-0g 17393  df-mgp 20111  df-ur 20152  df-zlm 21473

This theorem is referenced by:  zrhnm  34099