Theorem zlm1 31485

Description: Unit of a ℤ-module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmlem2.1	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlm1.1	⊢ 1 = (1r‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlm1	⊢ 1 = (1r‘𝑊)

Proof of Theorem zlm1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlm1.1	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝐺)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
4		zlmlem2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
5	4, 2	zlmbas 20340	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊))
7		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝐺)
8	4, 7	zlmmulr 20342	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊))
10	9	oveqd 7189	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(.r‘𝐺)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑊)𝑦))
11	3, 6, 10	rngidpropd 19569	. . 3 ⊢ (⊤ → (1r‘𝐺) = (1r‘𝑊))
12	11	mptru 1549	. 2 ⊢ (1r‘𝐺) = (1r‘𝑊)
13	1, 12	eqtri 2761	1 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6339  Basecbs 16588  ._rcmulr 16671  1_rcur 19372  ℤModczlm 20323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-er 8322  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-5 11784  df-6 11785  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-sets 16595  df-plusg 16683  df-mulr 16684  df-sca 16686  df-vsca 16687  df-0g 16820  df-mgp 19361  df-ur 19373  df-zlm 20327

This theorem is referenced by:  zrhnm  31491