Theorem zlmodzxzldeplem2 45376

Description: Lemma 2 for zlmodzxzldep 45379. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem2	⊢ 𝐹 finSupp 0

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxzldep.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2		zlmodzxzldep.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
3		zlmodzxzldep.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
4		zlmodzxzldeplem.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
5	1, 2, 3, 4	zlmodzxzldeplem1 45375	. 2 ⊢ 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})
6		elmapi 8459	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
7		prfi 8867	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
9		c0ex 10713	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) → 0 ∈ V)
11	6, 8, 10	fdmfifsupp 8916	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) → 𝐹 finSupp 0)
12	5, 11	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹 finSupp 0

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3398  {cpr 4518  ⟨cop 4522   class class class wbr 5030  (class class class)co 7170   ↑_m cmap 8437  Fincfn 8555   finSupp cfsupp 8906  0cc0 10615  1c1 10616  -cneg 10949  2c2 11771  3c3 11772  4c4 11773  6c6 11775  ℤcz 12062  ℤ_ringzring 20289   freeLMod cfrlm 20562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-n0 11977  df-z 12063

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  45379