Theorem zlmodzxzldeplem2 47370

Description: Lemma 2 for zlmodzxzldep 47373. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem2	⊢ 𝐹 finSupp 0

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxzldep.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2		zlmodzxzldep.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
3		zlmodzxzldep.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
4		zlmodzxzldeplem.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
5	1, 2, 3, 4	zlmodzxzldeplem1 47369	. 2 ⊢ 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})
6		elmapi 8839	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
7		prfi 9318	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
9		c0ex 11205	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) → 0 ∈ V)
11	6, 8, 10	fdmfifsupp 9369	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) → 𝐹 finSupp 0)
12	5, 11	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹 finSupp 0

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  {cpr 4622  ⟨cop 4626   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401   ↑_m cmap 8816  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357  0cc0 11106  1c1 11107  -cneg 11442  2c2 12264  3c3 12265  4c4 12266  6c6 12268  ℤcz 12555  ℤ_ringczring 21301   freeLMod cfrlm 21609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  47373