Theorem znsqcld 14075

Description: The square of a nonzero integer is a positive integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
znsqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
znsqcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
znsqcld	⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem znsqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znsqcld.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
3		znsqcld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
4		2z 12510	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
6	2, 3, 5	expne0d 14065	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ≠ 0)
7	6	neneqd 2933	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁↑2) = 0)
8		zsqcl2 14051	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℕ0)
9	1, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ0)
10		elnn0 12389	. . . . 5 ⊢ ((𝑁↑2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁↑2) ∈ ℕ ∨ (𝑁↑2) = 0))
11	9, 10	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) ∈ ℕ ∨ (𝑁↑2) = 0))
12	11	orcomd 871	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) = 0 ∨ (𝑁↑2) ∈ ℕ))
13	12	ord 864	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑁↑2) = 0 → (𝑁↑2) ∈ ℕ))
14	7, 13	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7352  0cc0 11012  ℕcn 12131  2c2 12186  ℕ₀cn0 12387  ℤcz 12474  ↑cexp 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-seq 13915  df-exp 13975

This theorem is referenced by:  2sqmod  27380