Theorem znsqcld 14105

Description: The square of a nonzero integer is a positive integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
znsqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
znsqcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
znsqcld	⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem znsqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znsqcld.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12617	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
3		znsqcld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
4		2z 12543	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
6	2, 3, 5	expne0d 14095	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ≠ 0)
7	6	neneqd 2930	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁↑2) = 0)
8		zsqcl2 14081	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℕ0)
9	1, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ0)
10		elnn0 12422	. . . . 5 ⊢ ((𝑁↑2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁↑2) ∈ ℕ ∨ (𝑁↑2) = 0))
11	9, 10	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) ∈ ℕ ∨ (𝑁↑2) = 0))
12	11	orcomd 871	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) = 0 ∨ (𝑁↑2) ∈ ℕ))
13	12	ord 864	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑁↑2) = 0 → (𝑁↑2) ∈ ℕ))
14	7, 13	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7369  0cc0 11046  ℕcn 12164  2c2 12219  ℕ₀cn0 12420  ℤcz 12507  ↑cexp 14004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-seq 13945  df-exp 14005

This theorem is referenced by:  2sqmod  27381