Theorem znsqcld 14113

Description: The square of a nonzero integer is a positive integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
znsqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
znsqcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
znsqcld	⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem znsqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znsqcld.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
3		znsqcld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
4		2z 12548	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
6	2, 3, 5	expne0d 14103	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ≠ 0)
7	6	neneqd 2935	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁↑2) = 0)
8		zsqcl2 14089	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℕ0)
9	1, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ0)
10		elnn0 12428	. . . . 5 ⊢ ((𝑁↑2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁↑2) ∈ ℕ ∨ (𝑁↑2) = 0))
11	9, 10	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) ∈ ℕ ∨ (𝑁↑2) = 0))
12	11	orcomd 872	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) = 0 ∨ (𝑁↑2) ∈ ℕ))
13	12	ord 865	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑁↑2) = 0 → (𝑁↑2) ∈ ℕ))
14	7, 13	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930  (class class class)co 7356  0cc0 11027  ℕcn 12163  2c2 12225  ℕ₀cn0 12426  ℤcz 12513  ↑cexp 14012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-seq 13953  df-exp 14013

This theorem is referenced by:  2sqmod  27387