Theorem dignn0flhalflem2 47612

Description: Lemma 2 for dignn0flhalf 47614. (Contributed by AV, 7-Jun-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dignn0flhalflem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))))

Proof of Theorem dignn0flhalflem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rehalfcld 12481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	2	flcld 13787	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℤ)
4	3	zred 12688	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
5	4	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
6		2re 12308	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
8		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	7, 8	reexpcld 14151	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
11		2cnd 12312	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
12		2ne0 12338	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
14		nn0z 12605	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14	3ad2ant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
16	11, 13, 15	expne0d 14140	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ≠ 0)
17	5, 10, 16	redivcld 12064	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
18	17	flcld 13787	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ∈ ℤ)
19	1	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
20	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
21		simp3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		1nn0 12510	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
24	21, 23	nn0addcld 12558	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
25	20, 24	reexpcld 14151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
26	15	peano2zd 12691	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
27	11, 13, 26	expne0d 14140	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ≠ 0)
28	19, 25, 27	redivcld 12064	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
29	28	flcld 13787	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) ∈ ℤ)
30		nn0p1nn 12533	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
31		dignn0flhalflem1 47611	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) − 1)) < (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑(𝑁 + 1)))))
32	30, 31	syl3an3 1163	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) − 1)) < (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑(𝑁 + 1)))))
33		1zzd 12615	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
34		flsubz 47513	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) − 1)) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) − 1))
35	28, 33, 34	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) − 1)) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) − 1))
36	35	eqcomd 2733	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) − 1) = (⌊‘((𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) − 1)))
37		nnz 12601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ)
38		zob 16327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
39	37, 38	imbitrrid 245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
40	39	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ) → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ)
41		zofldiv2 47527	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = ((𝐴 − 1) / 2))
42	40, 41	syldan 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = ((𝐴 − 1) / 2))
43	42	3adant3 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = ((𝐴 − 1) / 2))
44	43	fvoveq1d 7436	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) = (⌊‘(((𝐴 − 1) / 2) / (2↑𝑁))))
45		zcn 12585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
46		1cnd 11231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
47	45, 46	subcld 11593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
48		2rp 13003	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ+
49	48	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
50	49	rpcnne0d 13049	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
51	48	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
52	51, 14	rpexpcld 14233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
53	52	rpcnne0d 13049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0))
54		divdiv1 11947	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0)) → (((𝐴 − 1) / 2) / (2↑𝑁)) = ((𝐴 − 1) / (2 · (2↑𝑁))))
55	47, 50, 53, 54	syl3an 1158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 − 1) / 2) / (2↑𝑁)) = ((𝐴 − 1) / (2 · (2↑𝑁))))
56	10	recnd 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
57	11, 56	mulcomd 11257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝑁)) = ((2↑𝑁) · 2))
58	11, 21	expp1d 14135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
59	57, 58	eqtr4d 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝑁)) = (2↑(𝑁 + 1)))
60	59	oveq2d 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1) / (2 · (2↑𝑁))) = ((𝐴 − 1) / (2↑(𝑁 + 1))))
61	55, 60	eqtrd 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 − 1) / 2) / (2↑𝑁)) = ((𝐴 − 1) / (2↑(𝑁 + 1))))
62	61	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(((𝐴 − 1) / 2) / (2↑𝑁))) = (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑(𝑁 + 1)))))
63	44, 62	eqtrd 2767	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) = (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑(𝑁 + 1)))))
64	32, 36, 63	3brtr4d 5174	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) − 1) < (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))))
65	19	rehalfcld 12481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
66	65, 10, 16	redivcld 12064	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
67		reflcl 13785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
68	65, 67	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
69	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
70	69, 15	rpexpcld 14233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
71		flle 13788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 2)) ≤ (𝐴 / 2))
72	65, 71	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ≤ (𝐴 / 2))
73	68, 65, 70, 72	lediv1dd 13098	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁)) ≤ ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁)))
74		flwordi 13801	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁)) ≤ ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁))) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ≤ (⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝑁))))
75	17, 66, 73, 74	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ≤ (⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝑁))))
76		divdiv1 11947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0)) → ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁)) = (𝐴 / (2 · (2↑𝑁))))
77	45, 50, 53, 76	syl3an 1158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁)) = (𝐴 / (2 · (2↑𝑁))))
78	52	rpcnd 13042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
79	78	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
80	11, 79	mulcomd 11257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝑁)) = ((2↑𝑁) · 2))
81	11, 13, 15	expp1zd 14143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
82	80, 81	eqtr4d 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝑁)) = (2↑(𝑁 + 1)))
83	82	oveq2d 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2 · (2↑𝑁))) = (𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))))
84	77, 83	eqtrd 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁)) = (𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))))
85	84	eqcomd 2733	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁)))
86	85	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) = (⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝑁))))
87	75, 86	breqtrrd 5170	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ≤ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))))
88		zgtp1leeq 47512	. . . 4 ⊢ (((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) ∈ ℤ) → ((((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) − 1) < (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ∧ (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ≤ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))))) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) = (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))))))
89	88	imp 406	. . 3 ⊢ ((((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) ∈ ℤ) ∧ (((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) − 1) < (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ∧ (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ≤ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))))) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) = (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))))
90	18, 29, 64, 87, 89	syl22anc 838	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) = (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))))
91	90	eqcomd 2733	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11128  ℝcr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   · cmul 11135   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11466   / cdiv 11893  ℕcn 12234  2c2 12289  ℕ₀cn0 12494  ℤcz 12580  ℝ⁺crp 12998  ⌊cfl 13779  ↑cexp 14050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051

This theorem is referenced by:  dignn0flhalf  47614