Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dignn0flhalflem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dignn0flhalflem2 46634
Description: Lemma 2 for dignn0flhalf 46636. (Contributed by AV, 7-Jun-2012.)
Assertion
Ref Expression
dignn0flhalflem2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1)))) = (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) / (2โ†‘๐‘))))

Proof of Theorem dignn0flhalflem2
StepHypRef Expression
1 zre 12499 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
21rehalfcld 12396 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„)
32flcld 13695 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) โˆˆ โ„ค)
43zred 12603 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) โˆˆ โ„)
543ad2ant1 1133 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) โˆˆ โ„)
6 2re 12223 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
76a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„)
8 id 22 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
97, 8reexpcld 14060 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
1093ad2ant3 1135 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
11 2cnd 12227 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
12 2ne0 12253 . . . . . . 7 2 โ‰  0
1312a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โ‰  0)
14 nn0z 12520 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
15143ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1611, 13, 15expne0d 14049 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘) โ‰  0)
175, 10, 16redivcld 11979 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) / (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
1817flcld 13695 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) / (2โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„ค)
1913ad2ant1 1133 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
206a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
21 simp3 1138 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
22 1nn0 12425 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•0
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
2421, 23nn0addcld 12473 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
2520, 24reexpcld 14060 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
2615peano2zd 12606 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
2711, 13, 26expne0d 14049 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰  0)
2819, 25, 27redivcld 11979 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1))) โˆˆ โ„)
2928flcld 13695 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1)))) โˆˆ โ„ค)
30 nn0p1nn 12448 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•)
31 dignn0flhalflem1 46633 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1))) โˆ’ 1)) < (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (2โ†‘(๐‘ + 1)))))
3230, 31syl3an3 1165 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1))) โˆ’ 1)) < (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (2โ†‘(๐‘ + 1)))))
33 1zzd 12530 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
34 flsubz 46535 . . . . . 6 (((๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1))) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1))) โˆ’ 1)) = ((โŒŠโ€˜(๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1)))) โˆ’ 1))
3528, 33, 34syl2anc 584 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1))) โˆ’ 1)) = ((โŒŠโ€˜(๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1)))) โˆ’ 1))
3635eqcomd 2742 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1)))) โˆ’ 1) = (โŒŠโ€˜((๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1))) โˆ’ 1)))
37 nnz 12516 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
38 zob 16233 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐ด + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
3937, 38syl5ibr 245 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
4039imp 407 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด + 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
41 zofldiv2 46549 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) = ((๐ด โˆ’ 1) / 2))
4240, 41syldan 591 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) = ((๐ด โˆ’ 1) / 2))
43423adant3 1132 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) = ((๐ด โˆ’ 1) / 2))
4443fvoveq1d 7375 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) / (2โ†‘๐‘))) = (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) / 2) / (2โ†‘๐‘))))
45 zcn 12500 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
46 1cnd 11146 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4745, 46subcld 11508 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
48 2rp 12912 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„+
4948a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
5049rpcnne0d 12958 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
5148a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
5251, 14rpexpcld 14142 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„+)
5352rpcnne0d 12958 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘๐‘) โ‰  0))
54 divdiv1 11862 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘๐‘) โ‰  0)) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) / 2) / (2โ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ 1) / (2 ยท (2โ†‘๐‘))))
5547, 50, 53, 54syl3an 1160 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) / 2) / (2โ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ 1) / (2 ยท (2โ†‘๐‘))))
5610recnd 11179 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
5711, 56mulcomd 11172 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท (2โ†‘๐‘)) = ((2โ†‘๐‘) ยท 2))
5811, 21expp1d 14044 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) = ((2โ†‘๐‘) ยท 2))
5957, 58eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท (2โ†‘๐‘)) = (2โ†‘(๐‘ + 1)))
6059oveq2d 7369 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / (2 ยท (2โ†‘๐‘))) = ((๐ด โˆ’ 1) / (2โ†‘(๐‘ + 1))))
6155, 60eqtrd 2776 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) / 2) / (2โ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ 1) / (2โ†‘(๐‘ + 1))))
6261fveq2d 6843 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) / 2) / (2โ†‘๐‘))) = (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (2โ†‘(๐‘ + 1)))))
6344, 62eqtrd 2776 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) / (2โ†‘๐‘))) = (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (2โ†‘(๐‘ + 1)))))
6432, 36, 633brtr4d 5135 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1)))) โˆ’ 1) < (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) / (2โ†‘๐‘))))
6519rehalfcld 12396 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„)
6665, 10, 16redivcld 11979 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด / 2) / (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
67 reflcl 13693 . . . . . . 7 ((๐ด / 2) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) โˆˆ โ„)
6865, 67syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) โˆˆ โ„)
6948a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
7069, 15rpexpcld 14142 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„+)
71 flle 13696 . . . . . . 7 ((๐ด / 2) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) โ‰ค (๐ด / 2))
7265, 71syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) โ‰ค (๐ด / 2))
7368, 65, 70, 72lediv1dd 13007 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) / (2โ†‘๐‘)) โ‰ค ((๐ด / 2) / (2โ†‘๐‘)))
74 flwordi 13709 . . . . 5 ((((โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) / (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด / 2) / (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง ((โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) / (2โ†‘๐‘)) โ‰ค ((๐ด / 2) / (2โ†‘๐‘))) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) / (2โ†‘๐‘))) โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐ด / 2) / (2โ†‘๐‘))))
7517, 66, 73, 74syl3anc 1371 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) / (2โ†‘๐‘))) โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐ด / 2) / (2โ†‘๐‘))))
76 divdiv1 11862 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘๐‘) โ‰  0)) โ†’ ((๐ด / 2) / (2โ†‘๐‘)) = (๐ด / (2 ยท (2โ†‘๐‘))))
7745, 50, 53, 76syl3an 1160 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด / 2) / (2โ†‘๐‘)) = (๐ด / (2 ยท (2โ†‘๐‘))))
7852rpcnd 12951 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
79783ad2ant3 1135 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
8011, 79mulcomd 11172 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท (2โ†‘๐‘)) = ((2โ†‘๐‘) ยท 2))
8111, 13, 15expp1zd 14052 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) = ((2โ†‘๐‘) ยท 2))
8280, 81eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท (2โ†‘๐‘)) = (2โ†‘(๐‘ + 1)))
8382oveq2d 7369 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด / (2 ยท (2โ†‘๐‘))) = (๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1))))
8477, 83eqtrd 2776 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด / 2) / (2โ†‘๐‘)) = (๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1))))
8584eqcomd 2742 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1))) = ((๐ด / 2) / (2โ†‘๐‘)))
8685fveq2d 6843 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1)))) = (โŒŠโ€˜((๐ด / 2) / (2โ†‘๐‘))))
8775, 86breqtrrd 5131 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) / (2โ†‘๐‘))) โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1)))))
88 zgtp1leeq 46534 . . . 4 (((โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) / (2โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1)))) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((โŒŠโ€˜(๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1)))) โˆ’ 1) < (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) / (2โ†‘๐‘))) โˆง (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) / (2โ†‘๐‘))) โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1))))) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) / (2โ†‘๐‘))) = (โŒŠโ€˜(๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1))))))
8988imp 407 . . 3 ((((โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) / (2โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1)))) โˆˆ โ„ค) โˆง (((โŒŠโ€˜(๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1)))) โˆ’ 1) < (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) / (2โ†‘๐‘))) โˆง (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) / (2โ†‘๐‘))) โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1)))))) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) / (2โ†‘๐‘))) = (โŒŠโ€˜(๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1)))))
9018, 29, 64, 87, 89syl22anc 837 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) / (2โ†‘๐‘))) = (โŒŠโ€˜(๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1)))))
9190eqcomd 2742 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / (2โ†‘(๐‘ + 1)))) = (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐ด / 2)) / (2โ†‘๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5103  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7353  โ„‚cc 11045  โ„cr 11046  0cc0 11047  1c1 11048   + caddc 11050   ยท cmul 11052   < clt 11185   โ‰ค cle 11186   โˆ’ cmin 11381   / cdiv 11808  โ„•cn 12149  2c2 12204  โ„•0cn0 12409  โ„คcz 12495  โ„+crp 12907  โŒŠcfl 13687  โ†‘cexp 13959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-rp 12908  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-fl 13689  df-mod 13767  df-seq 13899  df-exp 13960
This theorem is referenced by:  dignn0flhalf  46636
  Copyright terms: Public domain W3C validator