Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dignn0flhalflem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dignn0flhalflem2 48537
Description: Lemma 2 for dignn0flhalf 48539. (Contributed by AV, 7-Jun-2012.)
Assertion
Ref Expression
dignn0flhalflem2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))))

Proof of Theorem dignn0flhalflem2
StepHypRef Expression
1 zre 12617 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
21rehalfcld 12513 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
32flcld 13838 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℤ)
43zred 12722 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
543ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
6 2re 12340 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
8 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
97, 8reexpcld 14203 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
1093ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
11 2cnd 12344 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
12 2ne0 12370 . . . . . . 7 2 ≠ 0
1312a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
14 nn0z 12638 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
15143ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
1611, 13, 15expne0d 14192 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ≠ 0)
175, 10, 16redivcld 12095 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
1817flcld 13838 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ∈ ℤ)
1913ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
206a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
21 simp3 1139 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22 1nn0 12542 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
2421, 23nn0addcld 12591 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2520, 24reexpcld 14203 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
2615peano2zd 12725 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2711, 13, 26expne0d 14192 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ≠ 0)
2819, 25, 27redivcld 12095 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
2928flcld 13838 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) ∈ ℤ)
30 nn0p1nn 12565 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
31 dignn0flhalflem1 48536 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) − 1)) < (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑(𝑁 + 1)))))
3230, 31syl3an3 1166 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) − 1)) < (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑(𝑁 + 1)))))
33 1zzd 12648 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
34 flsubz 48439 . . . . . 6 (((𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) − 1)) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) − 1))
3528, 33, 34syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) − 1)) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) − 1))
3635eqcomd 2743 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) − 1) = (⌊‘((𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) − 1)))
37 nnz 12634 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ)
38 zob 16396 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → (((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
3937, 38imbitrrid 246 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
4039imp 406 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ) → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ)
41 zofldiv2 48452 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = ((𝐴 − 1) / 2))
4240, 41syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = ((𝐴 − 1) / 2))
43423adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = ((𝐴 − 1) / 2))
4443fvoveq1d 7453 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) = (⌊‘(((𝐴 − 1) / 2) / (2↑𝑁))))
45 zcn 12618 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
46 1cnd 11256 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
4745, 46subcld 11620 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
48 2rp 13039 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ+
4948a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
5049rpcnne0d 13086 . . . . . . . 8 (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
5148a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
5251, 14rpexpcld 14286 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
5352rpcnne0d 13086 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0))
54 divdiv1 11978 . . . . . . . 8 (((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0)) → (((𝐴 − 1) / 2) / (2↑𝑁)) = ((𝐴 − 1) / (2 · (2↑𝑁))))
5547, 50, 53, 54syl3an 1161 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 − 1) / 2) / (2↑𝑁)) = ((𝐴 − 1) / (2 · (2↑𝑁))))
5610recnd 11289 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
5711, 56mulcomd 11282 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝑁)) = ((2↑𝑁) · 2))
5811, 21expp1d 14187 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
5957, 58eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝑁)) = (2↑(𝑁 + 1)))
6059oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1) / (2 · (2↑𝑁))) = ((𝐴 − 1) / (2↑(𝑁 + 1))))
6155, 60eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 − 1) / 2) / (2↑𝑁)) = ((𝐴 − 1) / (2↑(𝑁 + 1))))
6261fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(((𝐴 − 1) / 2) / (2↑𝑁))) = (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑(𝑁 + 1)))))
6344, 62eqtrd 2777 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) = (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑(𝑁 + 1)))))
6432, 36, 633brtr4d 5175 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) − 1) < (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))))
6519rehalfcld 12513 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
6665, 10, 16redivcld 12095 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
67 reflcl 13836 . . . . . . 7 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
6865, 67syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
6948a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
7069, 15rpexpcld 14286 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
71 flle 13839 . . . . . . 7 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 2)) ≤ (𝐴 / 2))
7265, 71syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ≤ (𝐴 / 2))
7368, 65, 70, 72lediv1dd 13135 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁)) ≤ ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁)))
74 flwordi 13852 . . . . 5 ((((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁)) ≤ ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁))) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ≤ (⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝑁))))
7517, 66, 73, 74syl3anc 1373 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ≤ (⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝑁))))
76 divdiv1 11978 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0)) → ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁)) = (𝐴 / (2 · (2↑𝑁))))
7745, 50, 53, 76syl3an 1161 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁)) = (𝐴 / (2 · (2↑𝑁))))
7852rpcnd 13079 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
79783ad2ant3 1136 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
8011, 79mulcomd 11282 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝑁)) = ((2↑𝑁) · 2))
8111, 13, 15expp1zd 14195 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
8280, 81eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝑁)) = (2↑(𝑁 + 1)))
8382oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2 · (2↑𝑁))) = (𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))))
8477, 83eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁)) = (𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))))
8584eqcomd 2743 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁)))
8685fveq2d 6910 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) = (⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝑁))))
8775, 86breqtrrd 5171 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ≤ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))))
88 zgtp1leeq 48438 . . . 4 (((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) ∈ ℤ) → ((((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) − 1) < (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ∧ (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ≤ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))))) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) = (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))))))
8988imp 406 . . 3 ((((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) ∈ ℤ) ∧ (((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) − 1) < (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ∧ (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ≤ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))))) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) = (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))))
9018, 29, 64, 87, 89syl22anc 839 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) = (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))))
9190eqcomd 2743 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  +crp 13034  cfl 13830  cexp 14102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103
This theorem is referenced by:  dignn0flhalf  48539
  Copyright terms: Public domain W3C validator