Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dignn0flhalflem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dignn0flhalflem2 43257
Description: Lemma 2 for dignn0flhalf 43259. (Contributed by AV, 7-Jun-2012.)
Assertion
Ref Expression
dignn0flhalflem2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))))

Proof of Theorem dignn0flhalflem2
StepHypRef Expression
1 zre 11708 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
21rehalfcld 11605 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
32flcld 12894 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℤ)
43zred 11810 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
543ad2ant1 1169 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
6 2re 11425 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
8 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
97, 8reexpcld 13319 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
1093ad2ant3 1171 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
11 2cnd 11429 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
12 2ne0 11462 . . . . . . 7 2 ≠ 0
1312a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
14 nn0z 11728 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
15143ad2ant3 1171 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
1611, 13, 15expne0d 13308 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ≠ 0)
175, 10, 16redivcld 11179 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
1817flcld 12894 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ∈ ℤ)
1913ad2ant1 1169 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
206a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
21 simp3 1174 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22 1nn0 11636 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
2421, 23nn0addcld 11682 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2520, 24reexpcld 13319 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
2615peano2zd 11813 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2711, 13, 26expne0d 13308 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ≠ 0)
2819, 25, 27redivcld 11179 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
2928flcld 12894 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) ∈ ℤ)
30 nn0p1nn 11659 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
31 dignn0flhalflem1 43256 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) − 1)) < (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑(𝑁 + 1)))))
3230, 31syl3an3 1211 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) − 1)) < (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑(𝑁 + 1)))))
33 1zzd 11736 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
34 flsubz 43159 . . . . . 6 (((𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) − 1)) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) − 1))
3528, 33, 34syl2anc 581 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) − 1)) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) − 1))
3635eqcomd 2831 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) − 1) = (⌊‘((𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) − 1)))
37 nnz 11727 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ)
38 zob 15457 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → (((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
3937, 38syl5ibr 238 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
4039imp 397 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ) → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ)
41 zofldiv2 43172 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = ((𝐴 − 1) / 2))
4240, 41syldan 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = ((𝐴 − 1) / 2))
43423adant3 1168 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = ((𝐴 − 1) / 2))
4443fvoveq1d 6927 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) = (⌊‘(((𝐴 − 1) / 2) / (2↑𝑁))))
45 zcn 11709 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
46 1cnd 10351 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
4745, 46subcld 10713 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
48 2rp 12117 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ+
4948a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
5049rpcnne0d 12165 . . . . . . . 8 (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
5148a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
5251, 14rpexpcld 13328 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
5352rpcnne0d 12165 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0))
54 divdiv1 11062 . . . . . . . 8 (((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0)) → (((𝐴 − 1) / 2) / (2↑𝑁)) = ((𝐴 − 1) / (2 · (2↑𝑁))))
5547, 50, 53, 54syl3an 1205 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 − 1) / 2) / (2↑𝑁)) = ((𝐴 − 1) / (2 · (2↑𝑁))))
5610recnd 10385 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
5711, 56mulcomd 10378 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝑁)) = ((2↑𝑁) · 2))
5811, 21expp1d 13303 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
5957, 58eqtr4d 2864 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝑁)) = (2↑(𝑁 + 1)))
6059oveq2d 6921 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1) / (2 · (2↑𝑁))) = ((𝐴 − 1) / (2↑(𝑁 + 1))))
6155, 60eqtrd 2861 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 − 1) / 2) / (2↑𝑁)) = ((𝐴 − 1) / (2↑(𝑁 + 1))))
6261fveq2d 6437 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(((𝐴 − 1) / 2) / (2↑𝑁))) = (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑(𝑁 + 1)))))
6344, 62eqtrd 2861 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) = (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑(𝑁 + 1)))))
6432, 36, 633brtr4d 4905 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) − 1) < (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))))
6519rehalfcld 11605 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
6665, 10, 16redivcld 11179 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
67 reflcl 12892 . . . . . . 7 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
6865, 67syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
6948a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
7069, 15rpexpcld 13328 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
71 flle 12895 . . . . . . 7 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 2)) ≤ (𝐴 / 2))
7265, 71syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ≤ (𝐴 / 2))
7368, 65, 70, 72lediv1dd 12214 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁)) ≤ ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁)))
74 flwordi 12908 . . . . 5 ((((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁)) ≤ ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁))) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ≤ (⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝑁))))
7517, 66, 73, 74syl3anc 1496 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ≤ (⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝑁))))
76 divdiv1 11062 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0)) → ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁)) = (𝐴 / (2 · (2↑𝑁))))
7745, 50, 53, 76syl3an 1205 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁)) = (𝐴 / (2 · (2↑𝑁))))
7852rpcnd 12158 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
79783ad2ant3 1171 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
8011, 79mulcomd 10378 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝑁)) = ((2↑𝑁) · 2))
8111, 13, 15expp1zd 13311 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
8280, 81eqtr4d 2864 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝑁)) = (2↑(𝑁 + 1)))
8382oveq2d 6921 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2 · (2↑𝑁))) = (𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))))
8477, 83eqtrd 2861 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁)) = (𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))))
8584eqcomd 2831 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝐴 / 2) / (2↑𝑁)))
8685fveq2d 6437 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) = (⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝑁))))
8775, 86breqtrrd 4901 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ≤ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))))
88 zgtp1leeq 43158 . . . 4 (((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) ∈ ℤ) → ((((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) − 1) < (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ∧ (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ≤ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))))) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) = (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1))))))
8988imp 397 . . 3 ((((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) ∈ ℤ) ∧ (((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) − 1) < (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ∧ (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) ≤ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))))) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) = (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))))
9018, 29, 64, 87, 89syl22anc 874 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))) = (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))))
9190eqcomd 2831 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑁 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2999   class class class wbr 4873  cfv 6123  (class class class)co 6905  cc 10250  cr 10251  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255   · cmul 10257   < clt 10391  cle 10392  cmin 10585   / cdiv 11009  cn 11350  2c2 11406  0cn0 11618  cz 11704  +crp 12112  cfl 12886  cexp 13154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155
This theorem is referenced by:  dignn0flhalf  43259
  Copyright terms: Public domain W3C validator