Theorem zofldiv2 48381

Description: The floor of an odd integer divided by 2 is equal to the integer first decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zofldiv2	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem zofldiv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12616	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		npcan1 11686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3	2	eqcomd 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
5	4	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) = (((𝑁 − 1) + 1) / 2))
6		peano2zm 12658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12721	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
8		1cnd 11254	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
9		2cnne0 12474	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
11		divdir 11945	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) + 1) / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
13	5, 12	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
14	13	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))))
15	14	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))))
16		halfge0 12481	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
17		halflt1 12482	. . . 4 ⊢ (1 / 2) < 1
18	16, 17	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
19		zob 16393	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
20	19	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
21		halfre 12478	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
22		flbi2 13854	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
23	20, 21, 22	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
24	18, 23	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2))
25	15, 24	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  ℤcz 12611  ⌊cfl 13827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fl 13829

This theorem is referenced by:  nn0ofldiv2  48382  dignn0flhalflem2  48466  nn0sumshdiglemB  48470