Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zofldiv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zofldiv2 48452
Description: The floor of an odd integer divided by 2 is equal to the integer first decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
zofldiv2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem zofldiv2
StepHypRef Expression
1 zcn 12618 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2 npcan1 11688 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
32eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
54oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) = (((𝑁 − 1) + 1) / 2))
6 peano2zm 12660 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
76zcnd 12723 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
8 1cnd 11256 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
9 2cnne0 12476 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
11 divdir 11947 . . . . . 6 (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
127, 8, 10, 11syl3anc 1373 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) + 1) / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
135, 12eqtrd 2777 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
1413fveq2d 6910 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))))
1514adantr 480 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))))
16 halfge0 12483 . . . 4 0 ≤ (1 / 2)
17 halflt1 12484 . . . 4 (1 / 2) < 1
1816, 17pm3.2i 470 . . 3 (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
19 zob 16396 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
2019biimpa 476 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
21 halfre 12480 . . . 4 (1 / 2) ∈ ℝ
22 flbi2 13857 . . . 4 ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
2320, 21, 22sylancl 586 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
2418, 23mpbiri 258 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2))
2515, 24eqtrd 2777 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  cz 12613  cfl 13830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fl 13832
This theorem is referenced by:  nn0ofldiv2  48453  dignn0flhalflem2  48537  nn0sumshdiglemB  48541
  Copyright terms: Public domain W3C validator