Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zofldiv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zofldiv2 46624
Description: The floor of an odd integer divided by 2 is equal to the integer first decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
zofldiv2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem zofldiv2
StepHypRef Expression
1 zcn 12505 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2 npcan1 11581 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
32eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
54oveq1d 7373 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) = (((𝑁 − 1) + 1) / 2))
6 peano2zm 12547 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
76zcnd 12609 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
8 1cnd 11151 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
9 2cnne0 12364 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
11 divdir 11839 . . . . . 6 (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
127, 8, 10, 11syl3anc 1372 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) + 1) / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
135, 12eqtrd 2777 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
1413fveq2d 6847 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))))
1514adantr 482 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))))
16 halfge0 12371 . . . 4 0 ≤ (1 / 2)
17 halflt1 12372 . . . 4 (1 / 2) < 1
1816, 17pm3.2i 472 . . 3 (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
19 zob 16242 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
2019biimpa 478 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
21 halfre 12368 . . . 4 (1 / 2) ∈ ℝ
22 flbi2 13723 . . . 4 ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
2320, 21, 22sylancl 587 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
2418, 23mpbiri 258 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2))
2515, 24eqtrd 2777 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944   class class class wbr 5106  cfv 6497  (class class class)co 7358  cc 11050  cr 11051  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   < clt 11190  cle 11191  cmin 11386   / cdiv 11813  2c2 12209  cz 12500  cfl 13696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fl 13698
This theorem is referenced by:  nn0ofldiv2  46625  dignn0flhalflem2  46709  nn0sumshdiglemB  46713
  Copyright terms: Public domain W3C validator