Theorem sqge0d 14310

Description: The square of a real is nonnegative, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqge0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sqge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑2))

Proof of Theorem sqge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqge0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		sqge0 14309	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴↑2))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  0cc0 11230   ≤ cle 11374  2c2 12427  ↑cexp 14234

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-seq 14175  df-exp 14235

This theorem is used by:  zzlesq  14380  cjmulge0  15345  01sqrexlem7  15447  absrele  15507  amgm2  15569  efgt0  16303  sinbnd  16380  cosbnd  16381  cphnmf  25549  ipge0  25552  csbren  25753  trirn  25754  rrxmet  25762  rrxdstprj1  25763  minveclem3b  25782  minveclem7  25789  pjthlem1  25791  dveflem  26332  loglesqrt  27122  2sq2  27793  2sqmod  27796  mulog2sumlem2  27895  log2sumbnd  27904  eqeelen  29515  brbtwn2  29516  colinearalglem4  29520  axcgrid  29527  axsegconlem3  29530  ax5seglem3  29542  minvecolem5  31516  minvecolem7  31518  normpyc  31781  pjhthlem1  32026  chscllem2  32273  pjige0i  32325  hstle1  32861  strlem3a  32887  receqid  33409  expevenpos  33499  cos9thpiminplylem1  34497  sqsscirc1  34623  areacirclem1  38831  areacirclem4  38834  rrnmet  38966  rrndstprj1  38967  rrndstprj2  38968  3cubeslem1  43898  pellexlem2  44041  pellexlem6  44045  int-sqgeq0d  45389  sqrlearg  46780  rrndistlt  47515  hoiqssbllem2  47848  flsqrt  48893  2sphere  50076  itsclc0yqsollem2  50090  2itscp  50108  itscnhlinecirc02plem3  50111  itscnhlinecirc02p  50112