Theorem sqge0d 14161

Description: The square of a real is nonnegative, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqge0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sqge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑2))

Proof of Theorem sqge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqge0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		sqge0 14160	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴↑2))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088   ≤ cle 11232  2c2 12283  ↑cexp 14085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-seq 14026  df-exp 14086

This theorem is referenced by:  zzlesq  14230  cjmulge0  15185  01sqrexlem7  15287  absrele  15347  amgm2  15409  efgt0  16147  sinbnd  16224  cosbnd  16225  cphnmf  25311  ipge0  25314  csbren  25515  trirn  25516  rrxmet  25524  rrxdstprj1  25525  minveclem3b  25544  minveclem7  25551  pjthlem1  25553  dveflem  26095  loglesqrt  26880  2sq2  27551  2sqmod  27554  mulog2sumlem2  27653  log2sumbnd  27662  eqeelen  29159  brbtwn2  29160  colinearalglem4  29164  axcgrid  29171  axsegconlem3  29174  ax5seglem3  29186  minvecolem5  31138  minvecolem7  31140  normpyc  31403  pjhthlem1  31648  chscllem2  31895  pjige0i  31947  hstle1  32483  strlem3a  32509  receqid  32997  expevenpos  33087  cos9thpiminplylem1  34084  sqsscirc1  34210  areacirclem1  38214  areacirclem4  38217  rrnmet  38335  rrndstprj1  38336  rrndstprj2  38337  3cubeslem1  43272  pellexlem2  43414  pellexlem6  43418  int-sqgeq0d  44769  sqrlearg  46128  rrndistlt  46863  hoiqssbllem2  47196  flsqrt  48201  2sphere  49381  itsclc0yqsollem2  49395  2itscp  49413  itscnhlinecirc02plem3  49416  itscnhlinecirc02p  49417