Theorem expsubap 10570

Description: Exponent subtraction law for integer exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
expsubap	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 − 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) / (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem expsubap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 9286	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
2		expaddzap 10566	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 + -𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑-𝑁)))
3	1, 2	sylanr2 405	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 + -𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑-𝑁)))
4		zcn 9260	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
5		zcn 9260	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
6		negsub 8207	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
8	7	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
9	8	oveq2d 5893	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 + -𝑁)) = (𝐴↑(𝑀 − 𝑁)))
10		expnegzap 10556	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
11	10	3expa 1203	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
12	11	adantrl 478	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
13	12	oveq2d 5893	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑-𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (1 / (𝐴↑𝑁))))
14		expclzap 10547	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
15	14	3expa 1203	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
16	15	adantrr 479	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
17		expclzap 10547	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
18	17	3expa 1203	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
19	18	adantrl 478	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
20		expap0i 10554	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) # 0)
21	20	3expa 1203	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) # 0)
22	21	adantrl 478	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑𝑁) # 0)
23	16, 19, 22	divrecapd 8752	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴↑𝑀) / (𝐴↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (1 / (𝐴↑𝑁))))
24	13, 23	eqtr4d 2213	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑-𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) / (𝐴↑𝑁)))
25	3, 9, 24	3eqtr3d 2218	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 − 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) / (𝐴↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   · cmul 7818   − cmin 8130  -cneg 8131   # cap 8540   / cdiv 8631  ℤcz 9255  ↑cexp 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-exp 10522

This theorem is referenced by:  expm1ap  10572  ltexp2a  10574  leexp2a  10575  iexpcyc  10627  expsubapd  10667