Theorem expsubap 10524

Description: Exponent subtraction law for integer exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
expsubap	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 − 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) / (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem expsubap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 9243	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
2		expaddzap 10520	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 + -𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑-𝑁)))
3	1, 2	sylanr2 403	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 + -𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑-𝑁)))
4		zcn 9217	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
5		zcn 9217	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
6		negsub 8167	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
7	4, 5, 6	syl2an 287	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
8	7	adantl 275	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
9	8	oveq2d 5869	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 + -𝑁)) = (𝐴↑(𝑀 − 𝑁)))
10		expnegzap 10510	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
11	10	3expa 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
12	11	adantrl 475	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
13	12	oveq2d 5869	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑-𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (1 / (𝐴↑𝑁))))
14		expclzap 10501	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
15	14	3expa 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
16	15	adantrr 476	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
17		expclzap 10501	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
18	17	3expa 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
19	18	adantrl 475	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
20		expap0i 10508	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) # 0)
21	20	3expa 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) # 0)
22	21	adantrl 475	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑𝑁) # 0)
23	16, 19, 22	divrecapd 8710	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴↑𝑀) / (𝐴↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (1 / (𝐴↑𝑁))))
24	13, 23	eqtr4d 2206	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑-𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) / (𝐴↑𝑁)))
25	3, 9, 24	3eqtr3d 2211	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 − 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) / (𝐴↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779   − cmin 8090  -cneg 8091   # cap 8500   / cdiv 8589  ℤcz 9212  ↑cexp 10475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-seqfrec 10402  df-exp 10476

This theorem is referenced by:  expm1ap  10526  ltexp2a  10528  leexp2a  10529  iexpcyc  10580  expsubapd  10620