Theorem gzsumsplit1r 13715

Description: Splitting off the rightmost summand of a group sum. This corresponds to the (inductive) definition of a (finite) product in [Lang] p. 4, first formula. (Contributed by AV, 26-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gzsumsplit1r.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gzsumsplit1r.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gzsumsplit1r.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
gzsumsplit1r.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gzsumsplit1r.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
gzsumsplit1r.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gzsumsplit1r	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz 𝐹) = ((𝐺 Σgz (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Proof of Theorem gzsumsplit1r

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzsumsplit1r.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gzsumsplit1r.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gzsumsplit1r.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
4		gzsumsplit1r.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		peano2uz 9983	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		gzsumsplit1r.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
8	1, 2, 3, 6, 7	gzsumval2 13714	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz 𝐹) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
9		gzsumsplit1r.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10		eluzelz 9931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	4, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	peano2zd 9771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
13	9, 12	fzfigd 10868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
14	7, 13	fexd 5948	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
15		vex 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
16		fvexg 5714	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
17	14, 15, 16	sylancl 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
18	17	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
19		plusgslid 13466	. . . . . . . 8 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
20	19	slotex 13379	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) ∈ V)
21	3, 20	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) ∈ V)
22	2, 21	eqeltrid 2325	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → + ∈ V)
23		vex 2824	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
24	23	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ V)
25		ovexg 6119	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ + ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥 + 𝑦) ∈ V)
26	15, 22, 24, 25	mp3an2i 1383	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 + 𝑦) ∈ V)
27	26	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ V)
28	4, 18, 27	seq3p1 10902	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
29		fzssp1 10473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...(𝑁 + 1))
30	29	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...(𝑁 + 1)))
31	7, 30	fssresd 5566	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
32	1, 2, 3, 4, 31	gzsumval2 13714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) = (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑁))
33	9	uzidd 9937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34		resexg 5103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)) ∈ V)
35	14, 34	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)) ∈ V)
36		fvexg 5714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)) ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑥) ∈ V)
37	35, 15, 36	sylancl 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑥) ∈ V)
38	37	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑥) ∈ V)
39	9, 38, 27	seq3-1 10899	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑀) = ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑀))
40		eluzfz1 10435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
41	4, 40	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
42	41	fvresd 5720	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
43	39, 42	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
44		fzp1ss 10480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
45	9, 44	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
46	45	sselda 3248	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
47	46	fvresd 5720	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
48	33, 43, 22, 35, 14, 4, 47	seqfveq2g 10914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
49	32, 48	eqtr2d 2272	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐺 Σgz (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))))
50	49	oveq1d 6100	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = ((𝐺 Σgz (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
51	8, 28, 50	3eqtrd 2275	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz 𝐹) = ((𝐺 Σgz (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220   ↾ cres 4776  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Fincfn 7022  1c1 8180   + caddc 8182  ℤcz 9644  ℤ_≥cuz 9921  ...cfz 10411  seqcseq 10884  Basecbs 13352  +_gcplusg 13431   Σ_gz cgzsu 13611

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-seqfrec 10885  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-0g 13612  df-gzsum 13613

This theorem is used by:  gzsumconst  14143  gzsumsplit0  14148