Theorem gzsumsubmcl 14142

Description: Closure of a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gzsumsubmcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gzsumsubmcl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gzsumsubmcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gzsumsubmcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gzsumsubmcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gzsumsubmcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gzsumsubmcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		gzsumsubmcl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
5		gzsumsubmcl.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		gzsumsubmcl.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7		gzsumsubmcl.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝑆)
8		gzsumsubmcl.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
9	1	submss 13783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11	7, 10	fssd 5547	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶(Base‘𝐺))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11	gzsumfzval 13711	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
13	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σgz 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
14		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
15	14	iftrued 3647	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = (0g‘𝐺))
16	13, 15	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σgz 𝐹) = (0g‘𝐺))
17	2	subm0cl 13785	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
18	8, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
19	18	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
20	16, 19	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σgz 𝐹) ∈ 𝑆)
21	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σgz 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
22		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
23	22	iffalsed 3650	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
24	21, 23	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σgz 𝐹) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
25	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
27	25	zred 9768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
28	26	zred 9768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
29	27, 28, 22	nltled 8447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
30		eluz2 9927	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
31	25, 26, 29, 30	syl3anbrc 1212	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝑆)
33	32	ffvelcdmda 5843	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
34	8	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
35		simprl 535	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
36		simprr 537	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
37	3	submcl 13786	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
38	34, 35, 36, 37	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
39	5, 6	fzfigd 10868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
40	39	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
41	32, 40	fexd 5948	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ V)
42		plusgslid 13466	. . . . . . 7 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
43	42	slotex 13379	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (+g‘𝐺) ∈ V)
44	4, 43	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) ∈ V)
45	44	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (+g‘𝐺) ∈ V)
46	31, 33, 38, 41, 45	seqclg 10909	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)
47	24, 46	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σgz 𝐹) ∈ 𝑆)
48		zdclt 9722	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝑀)
49	6, 5, 48	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 < 𝑀)
50		exmiddc 848	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 < 𝑀 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
51	49, 50	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
52	20, 47, 51	mpjaodan 810	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz 𝐹) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ifcif 3638   class class class wbr 4130  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Fincfn 7022   < clt 8360   ≤ cle 8361  ℤcz 9644  ℤ_≥cuz 9921  ...cfz 10411  seqcseq 10884  Basecbs 13352  +_gcplusg 13431  0_gc0g 13610   Σ_gz cgzsu 13611  Mndcmnd 13729  SubMndcsubmnd 13765

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-0g 13612  df-gzsum 13613  df-submnd 13767

This theorem is used by: (None)