Theorem rpmulgcd 12166

Description: If 𝐾 and 𝑀 are relatively prime, then the GCD of 𝐾 and 𝑀 · 𝑁 is the GCD of 𝐾 and 𝑁. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpmulgcd	⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd 𝑁))

Proof of Theorem rpmulgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdmultiple 12160	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 gcd (𝐾 · 𝑁)) = 𝐾)
2	1	3adant2 1018	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 gcd (𝐾 · 𝑁)) = 𝐾)
3	2	oveq1d 5934	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 gcd (𝐾 · 𝑁)) gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))
4		nnz 9339	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	3ad2ant1 1020	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
6		nnz 9339	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
7		zmulcl 9373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 6, 7	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
9	8	3adant2 1018	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
10		nnz 9339	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
11		zmulcl 9373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
12	10, 6, 11	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
13	12	3adant1 1017	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
14		gcdass 12155	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝐾 · 𝑁)) gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁))))
15	5, 9, 13, 14	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 gcd (𝐾 · 𝑁)) gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁))))
16	3, 15	eqtr3d 2228	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁))))
17	16	adantr 276	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁))))
18		nnnn0 9250	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
19		mulgcdr 12158	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁))
20	4, 10, 18, 19	syl3an 1291	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁))
21		oveq1 5926	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 gcd 𝑀) = 1 → ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) = (1 · 𝑁))
22	20, 21	sylan9eq 2246	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁)) = (1 · 𝑁))
23		nncn 8992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
24	23	3ad2ant3 1022	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
25	24	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → 𝑁 ∈ ℂ)
26	25	mulid2d 8040	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
27	22, 26	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑁)
28	27	oveq2d 5935	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 gcd ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁))) = (𝐾 gcd 𝑁))
29	17, 28	eqtrd 2226	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  1c1 7875   · cmul 7879  ℕcn 8984  ℕ₀cn0 9243  ℤcz 9320   gcd cgcd 12082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-sup 7045  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-fl 10342  df-mod 10397  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-dvds 11934  df-gcd 12083

This theorem is referenced by:  rplpwr  12167  lgsquad2lem2  15239