Theorem rpmulgcd 12380

Description: If 𝐾 and 𝑀 are relatively prime, then the GCD of 𝐾 and 𝑀 · 𝑁 is the GCD of 𝐾 and 𝑁. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpmulgcd	⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd 𝑁))

Proof of Theorem rpmulgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdmultiple 12374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 gcd (𝐾 · 𝑁)) = 𝐾)
2	1	3adant2 1019	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 gcd (𝐾 · 𝑁)) = 𝐾)
3	2	oveq1d 5961	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 gcd (𝐾 · 𝑁)) gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))
4		nnz 9393	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	3ad2ant1 1021	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
6		nnz 9393	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
7		zmulcl 9428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 6, 7	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
9	8	3adant2 1019	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
10		nnz 9393	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
11		zmulcl 9428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
12	10, 6, 11	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
13	12	3adant1 1018	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
14		gcdass 12369	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝐾 · 𝑁)) gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁))))
15	5, 9, 13, 14	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 gcd (𝐾 · 𝑁)) gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁))))
16	3, 15	eqtr3d 2240	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁))))
17	16	adantr 276	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁))))
18		nnnn0 9304	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
19		mulgcdr 12372	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁))
20	4, 10, 18, 19	syl3an 1292	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁))
21		oveq1 5953	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 gcd 𝑀) = 1 → ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) = (1 · 𝑁))
22	20, 21	sylan9eq 2258	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁)) = (1 · 𝑁))
23		nncn 9046	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
24	23	3ad2ant3 1023	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
25	24	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → 𝑁 ∈ ℂ)
26	25	mulid2d 8093	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
27	22, 26	eqtrd 2238	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑁)
28	27	oveq2d 5962	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 gcd ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁))) = (𝐾 gcd 𝑁))
29	17, 28	eqtrd 2238	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  (class class class)co 5946  ℂcc 7925  1c1 7928   · cmul 7932  ℕcn 9038  ℕ₀cn0 9297  ℤcz 9374   gcd cgcd 12307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-sup 7088  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-fz 10133  df-fzo 10267  df-fl 10415  df-mod 10470  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-dvds 12132  df-gcd 12308

This theorem is referenced by:  rplpwr  12381  lgsquad2lem2  15592