Theorem gcdmultiplez 11954

Description: Extend gcdmultiple 11953 so 𝑁 can be an integer. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcdmultiplez	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)

Proof of Theorem gcdmultiplez

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9202	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		zdceq 9266	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
3	1, 2	mpan2 422	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 0)
4		exmiddc 826	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
5		nncn 8865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
6		mul01 8287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 · 0) = 0)
7	6	oveq2d 5858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = (𝑀 gcd 0))
8	5, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = (𝑀 gcd 0))
9	8	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = (𝑀 gcd 0))
10		nnnn0 9121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
11		nn0gcdid0 11914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
13	12	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
14	9, 13	eqtrd 2198	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = 𝑀)
15		oveq2 5850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
16	15	oveq2d 5858	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 gcd (𝑀 · 0)))
17	16	eqeq1d 2174	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = 𝑀))
18	14, 17	syl5ibr 155	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
19		df-ne 2337	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
20		zcn 9196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
21		absmul 11011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
22	5, 20, 21	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
23		nnre 8864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
24	10	nn0ge0d 9170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
25	23, 24	absidd 11109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (abs‘𝑀) = 𝑀)
26	25	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)) = (𝑀 · (abs‘𝑁)))
27	26	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)) = (𝑀 · (abs‘𝑁)))
28	22, 27	eqtrd 2198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 · (abs‘𝑁)))
29	28	oveq2d 5858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))))
30	29	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))))
31		simpll 519	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℕ)
32	31	nnzd 9312	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
33		nnz 9210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
34		zmulcl 9244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
35	33, 34	sylan 281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
36	35	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
37		gcdabs2 11923	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)))
38	32, 36, 37	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)))
39		nnabscl 11042	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
40		gcdmultiple 11953	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))) = 𝑀)
41	39, 40	sylan2 284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))) = 𝑀)
42	41	anassrs 398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))) = 𝑀)
43	30, 38, 42	3eqtr3d 2206	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)
44	43	expcom 115	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
45	19, 44	sylbir 134	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
46	18, 45	jaoi 706	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
47	3, 4, 46	3syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
48	47	anabsi7 571	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  0cc0 7753   · cmul 7758  ℕcn 8857  ℕ₀cn0 9114  ℤcz 9191  abscabs 10939   gcd cgcd 11875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-sup 6949  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-dvds 11728  df-gcd 11876

This theorem is referenced by: (None)