Theorem gcdmultiplez 12585

Description: Extend gcdmultiple 12584 so 𝑁 can be an integer. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcdmultiplez	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)

Proof of Theorem gcdmultiplez

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9483	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		zdceq 9548	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 0)
4		exmiddc 841	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
5		nncn 9144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
6		mul01 8561	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 · 0) = 0)
7	6	oveq2d 6029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = (𝑀 gcd 0))
8	5, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = (𝑀 gcd 0))
9	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = (𝑀 gcd 0))
10		nnnn0 9402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
11		nn0gcdid0 12545	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
13	12	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
14	9, 13	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = 𝑀)
15		oveq2 6021	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
16	15	oveq2d 6029	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 gcd (𝑀 · 0)))
17	16	eqeq1d 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = 𝑀))
18	14, 17	imbitrrid 156	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
19		df-ne 2401	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
20		zcn 9477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
21		absmul 11623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
22	5, 20, 21	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
23		nnre 9143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
24	10	nn0ge0d 9451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
25	23, 24	absidd 11721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (abs‘𝑀) = 𝑀)
26	25	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)) = (𝑀 · (abs‘𝑁)))
27	26	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)) = (𝑀 · (abs‘𝑁)))
28	22, 27	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 · (abs‘𝑁)))
29	28	oveq2d 6029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))))
30	29	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))))
31		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℕ)
32	31	nnzd 9594	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
33		nnz 9491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
34		zmulcl 9526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
35	33, 34	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
36	35	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
37		gcdabs2 12554	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)))
38	32, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)))
39		nnabscl 11654	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
40		gcdmultiple 12584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))) = 𝑀)
41	39, 40	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))) = 𝑀)
42	41	anassrs 400	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))) = 𝑀)
43	30, 38, 42	3eqtr3d 2270	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)
44	43	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
45	19, 44	sylbir 135	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
46	18, 45	jaoi 721	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
47	3, 4, 46	3syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
48	47	anabsi7 581	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8023  0cc0 8025   · cmul 8030  ℕcn 9136  ℕ₀cn0 9395  ℤcz 9472  abscabs 11551   gcd cgcd 12517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-sup 7177  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-fl 10523  df-mod 10578  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-dvds 12342  df-gcd 12518

This theorem is referenced by: (None)