Theorem gcdmultiplez 12188

Description: Extend gcdmultiple 12187 so 𝑁 can be an integer. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcdmultiplez	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)

Proof of Theorem gcdmultiplez

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9337	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		zdceq 9401	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 0)
4		exmiddc 837	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
5		nncn 8998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
6		mul01 8415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 · 0) = 0)
7	6	oveq2d 5938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = (𝑀 gcd 0))
8	5, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = (𝑀 gcd 0))
9	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = (𝑀 gcd 0))
10		nnnn0 9256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
11		nn0gcdid0 12148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
13	12	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
14	9, 13	eqtrd 2229	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = 𝑀)
15		oveq2 5930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
16	15	oveq2d 5938	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 gcd (𝑀 · 0)))
17	16	eqeq1d 2205	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = 𝑀))
18	14, 17	imbitrrid 156	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
19		df-ne 2368	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
20		zcn 9331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
21		absmul 11234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
22	5, 20, 21	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
23		nnre 8997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
24	10	nn0ge0d 9305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
25	23, 24	absidd 11332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (abs‘𝑀) = 𝑀)
26	25	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)) = (𝑀 · (abs‘𝑁)))
27	26	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)) = (𝑀 · (abs‘𝑁)))
28	22, 27	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 · (abs‘𝑁)))
29	28	oveq2d 5938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))))
30	29	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))))
31		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℕ)
32	31	nnzd 9447	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
33		nnz 9345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
34		zmulcl 9379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
35	33, 34	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
36	35	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
37		gcdabs2 12157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)))
38	32, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)))
39		nnabscl 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
40		gcdmultiple 12187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))) = 𝑀)
41	39, 40	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))) = 𝑀)
42	41	anassrs 400	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))) = 𝑀)
43	30, 38, 42	3eqtr3d 2237	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)
44	43	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
45	19, 44	sylbir 135	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
46	18, 45	jaoi 717	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
47	3, 4, 46	3syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
48	47	anabsi7 581	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  0cc0 7879   · cmul 7884  ℕcn 8990  ℕ₀cn0 9249  ℤcz 9326  abscabs 11162   gcd cgcd 12120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-sup 7050  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-dvds 11953  df-gcd 12121

This theorem is referenced by: (None)