ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gcdmultiplez GIF version

Theorem gcdmultiplez 12022
Description: Extend gcdmultiple 12021 so ๐‘ can be an integer. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
gcdmultiplez ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘€)

Proof of Theorem gcdmultiplez
StepHypRef Expression
1 0z 9264 . . . 4 0 โˆˆ โ„ค
2 zdceq 9328 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐‘ = 0)
31, 2mpan2 425 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ DECID ๐‘ = 0)
4 exmiddc 836 . . 3 (DECID ๐‘ = 0 โ†’ (๐‘ = 0 โˆจ ยฌ ๐‘ = 0))
5 nncn 8927 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
6 mul01 8346 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘€ ยท 0) = 0)
76oveq2d 5891 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท 0)) = (๐‘€ gcd 0))
85, 7syl 14 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท 0)) = (๐‘€ gcd 0))
98adantr 276 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท 0)) = (๐‘€ gcd 0))
10 nnnn0 9183 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
11 nn0gcdid0 11982 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ gcd 0) = ๐‘€)
1210, 11syl 14 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ gcd 0) = ๐‘€)
1312adantr 276 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd 0) = ๐‘€)
149, 13eqtrd 2210 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท 0)) = ๐‘€)
15 oveq2 5883 . . . . . . 7 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘€ ยท 0))
1615oveq2d 5891 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท 0)))
1716eqeq1d 2186 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘€ โ†” (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท 0)) = ๐‘€))
1814, 17imbitrrid 156 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘€))
19 df-ne 2348 . . . . 5 (๐‘ โ‰  0 โ†” ยฌ ๐‘ = 0)
20 zcn 9258 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
21 absmul 11078 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘)))
225, 20, 21syl2an 289 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘)))
23 nnre 8926 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
2410nn0ge0d 9232 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ๐‘€)
2523, 24absidd 11176 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (absโ€˜๐‘€) = ๐‘€)
2625oveq1d 5890 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘)) = (๐‘€ ยท (absโ€˜๐‘)))
2726adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘)) = (๐‘€ ยท (absโ€˜๐‘)))
2822, 27eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐‘€ ยท (absโ€˜๐‘)))
2928oveq2d 5891 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘))) = (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท (absโ€˜๐‘))))
3029adantr 276 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ gcd (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘))) = (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท (absโ€˜๐‘))))
31 simpll 527 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
3231nnzd 9374 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
33 nnz 9272 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
34 zmulcl 9306 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
3533, 34sylan 283 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
3635adantr 276 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
37 gcdabs2 11991 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘))) = (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)))
3832, 36, 37syl2anc 411 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ gcd (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘))) = (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)))
39 nnabscl 11109 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
40 gcdmultiple 12021 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท (absโ€˜๐‘))) = ๐‘€)
4139, 40sylan2 286 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท (absโ€˜๐‘))) = ๐‘€)
4241anassrs 400 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท (absโ€˜๐‘))) = ๐‘€)
4330, 38, 423eqtr3d 2218 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘€)
4443expcom 116 . . . . 5 (๐‘ โ‰  0 โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘€))
4519, 44sylbir 135 . . . 4 (ยฌ ๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘€))
4618, 45jaoi 716 . . 3 ((๐‘ = 0 โˆจ ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘€))
473, 4, 463syl 17 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘€))
4847anabsi7 581 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘€)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  0cc0 7811   ยท cmul 7816  โ„•cn 8919  โ„•0cn0 9176  โ„คcz 9253  abscabs 11006   gcd cgcd 11943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-sup 6983  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-gcd 11944
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator