ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gcdmultiplez GIF version

Theorem gcdmultiplez 12035
Description: Extend gcdmultiple 12034 so ๐‘ can be an integer. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
gcdmultiplez ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘€)

Proof of Theorem gcdmultiplez
StepHypRef Expression
1 0z 9277 . . . 4 0 โˆˆ โ„ค
2 zdceq 9341 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐‘ = 0)
31, 2mpan2 425 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ DECID ๐‘ = 0)
4 exmiddc 837 . . 3 (DECID ๐‘ = 0 โ†’ (๐‘ = 0 โˆจ ยฌ ๐‘ = 0))
5 nncn 8940 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
6 mul01 8359 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘€ ยท 0) = 0)
76oveq2d 5904 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท 0)) = (๐‘€ gcd 0))
85, 7syl 14 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท 0)) = (๐‘€ gcd 0))
98adantr 276 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท 0)) = (๐‘€ gcd 0))
10 nnnn0 9196 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
11 nn0gcdid0 11995 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ gcd 0) = ๐‘€)
1210, 11syl 14 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ gcd 0) = ๐‘€)
1312adantr 276 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd 0) = ๐‘€)
149, 13eqtrd 2220 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท 0)) = ๐‘€)
15 oveq2 5896 . . . . . . 7 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘€ ยท 0))
1615oveq2d 5904 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท 0)))
1716eqeq1d 2196 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘€ โ†” (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท 0)) = ๐‘€))
1814, 17imbitrrid 156 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘€))
19 df-ne 2358 . . . . 5 (๐‘ โ‰  0 โ†” ยฌ ๐‘ = 0)
20 zcn 9271 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
21 absmul 11091 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘)))
225, 20, 21syl2an 289 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘)))
23 nnre 8939 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
2410nn0ge0d 9245 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ๐‘€)
2523, 24absidd 11189 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (absโ€˜๐‘€) = ๐‘€)
2625oveq1d 5903 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘)) = (๐‘€ ยท (absโ€˜๐‘)))
2726adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘)) = (๐‘€ ยท (absโ€˜๐‘)))
2822, 27eqtrd 2220 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐‘€ ยท (absโ€˜๐‘)))
2928oveq2d 5904 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘))) = (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท (absโ€˜๐‘))))
3029adantr 276 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ gcd (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘))) = (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท (absโ€˜๐‘))))
31 simpll 527 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
3231nnzd 9387 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
33 nnz 9285 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
34 zmulcl 9319 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
3533, 34sylan 283 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
3635adantr 276 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
37 gcdabs2 12004 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘))) = (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)))
3832, 36, 37syl2anc 411 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ gcd (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘))) = (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)))
39 nnabscl 11122 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
40 gcdmultiple 12034 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท (absโ€˜๐‘))) = ๐‘€)
4139, 40sylan2 286 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท (absโ€˜๐‘))) = ๐‘€)
4241anassrs 400 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท (absโ€˜๐‘))) = ๐‘€)
4330, 38, 423eqtr3d 2228 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘€)
4443expcom 116 . . . . 5 (๐‘ โ‰  0 โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘€))
4519, 44sylbir 135 . . . 4 (ยฌ ๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘€))
4618, 45jaoi 717 . . 3 ((๐‘ = 0 โˆจ ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘€))
473, 4, 463syl 17 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘€))
4847anabsi7 581 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘€)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   โ‰  wne 2357  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7822  0cc0 7824   ยท cmul 7829  โ„•cn 8932  โ„•0cn0 9189  โ„คcz 9266  abscabs 11019   gcd cgcd 11956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-sup 6996  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-fl 10283  df-mod 10336  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-dvds 11808  df-gcd 11957
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator