ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gcdmultiplez GIF version

Theorem gcdmultiplez 10876
Description: Extend gcdmultiple 10875 so 𝑁 can be an integer. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
gcdmultiplez ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)

Proof of Theorem gcdmultiplez
StepHypRef Expression
1 0z 8686 . . . 4 0 ∈ ℤ
2 zdceq 8747 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
31, 2mpan2 416 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 0)
4 exmiddc 780 . . 3 (DECID 𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
5 nncn 8357 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
6 mul01 7803 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 · 0) = 0)
76oveq2d 5622 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = (𝑀 gcd 0))
85, 7syl 14 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = (𝑀 gcd 0))
98adantr 270 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = (𝑀 gcd 0))
10 nnnn0 8605 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
11 nn0gcdid0 10838 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
1210, 11syl 14 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
1312adantr 270 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
149, 13eqtrd 2117 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = 𝑀)
15 oveq2 5614 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
1615oveq2d 5622 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 gcd (𝑀 · 0)))
1716eqeq1d 2093 . . . . 5 (𝑁 = 0 → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = 𝑀))
1814, 17syl5ibr 154 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
19 df-ne 2252 . . . . 5 (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
20 zcn 8680 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
21 absmul 10389 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
225, 20, 21syl2an 283 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
23 nnre 8356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
2410nn0ge0d 8654 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
2523, 24absidd 10487 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (abs‘𝑀) = 𝑀)
2625oveq1d 5621 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)) = (𝑀 · (abs‘𝑁)))
2726adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)) = (𝑀 · (abs‘𝑁)))
2822, 27eqtrd 2117 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 · (abs‘𝑁)))
2928oveq2d 5622 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))))
3029adantr 270 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))))
31 simpll 496 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℕ)
3231nnzd 8792 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
33 nnz 8694 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
34 zmulcl 8728 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
3533, 34sylan 277 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
3635adantr 270 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
37 gcdabs2 10847 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)))
3832, 36, 37syl2anc 403 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)))
39 nnabscl 10420 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
40 gcdmultiple 10875 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))) = 𝑀)
4139, 40sylan2 280 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))) = 𝑀)
4241anassrs 392 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))) = 𝑀)
4330, 38, 423eqtr3d 2125 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)
4443expcom 114 . . . . 5 (𝑁 ≠ 0 → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
4519, 44sylbir 133 . . . 4 𝑁 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
4618, 45jaoi 669 . . 3 ((𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
473, 4, 463syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
4847anabsi7 546 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wo 662  DECID wdc 778   = wceq 1287  wcel 1436  wne 2251  cfv 4977  (class class class)co 5606  cc 7284  0cc0 7286   · cmul 7291  cn 8349  0cn0 8598  cz 8675  abscabs 10317   gcd cgcd 10804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3927  ax-sep 3930  ax-nul 3938  ax-pow 3982  ax-pr 4008  ax-un 4232  ax-setind 4324  ax-iinf 4374  ax-cnex 7372  ax-resscn 7373  ax-1cn 7374  ax-1re 7375  ax-icn 7376  ax-addcl 7377  ax-addrcl 7378  ax-mulcl 7379  ax-mulrcl 7380  ax-addcom 7381  ax-mulcom 7382  ax-addass 7383  ax-mulass 7384  ax-distr 7385  ax-i2m1 7386  ax-0lt1 7387  ax-1rid 7388  ax-0id 7389  ax-rnegex 7390  ax-precex 7391  ax-cnre 7392  ax-pre-ltirr 7393  ax-pre-ltwlin 7394  ax-pre-lttrn 7395  ax-pre-apti 7396  ax-pre-ltadd 7397  ax-pre-mulgt0 7398  ax-pre-mulext 7399  ax-arch 7400  ax-caucvg 7401
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3416  df-sn 3436  df-pr 3437  df-op 3439  df-uni 3636  df-int 3671  df-iun 3714  df-br 3820  df-opab 3874  df-mpt 3875  df-tr 3910  df-id 4092  df-po 4095  df-iso 4096  df-iord 4165  df-on 4167  df-ilim 4168  df-suc 4170  df-iom 4377  df-xp 4415  df-rel 4416  df-cnv 4417  df-co 4418  df-dm 4419  df-rn 4420  df-res 4421  df-ima 4422  df-iota 4942  df-fun 4979  df-fn 4980  df-f 4981  df-f1 4982  df-fo 4983  df-f1o 4984  df-fv 4985  df-riota 5562  df-ov 5609  df-oprab 5610  df-mpt2 5611  df-1st 5861  df-2nd 5862  df-recs 6017  df-frec 6103  df-sup 6615  df-pnf 7460  df-mnf 7461  df-xr 7462  df-ltxr 7463  df-le 7464  df-sub 7591  df-neg 7592  df-reap 7985  df-ap 7992  df-div 8071  df-inn 8350  df-2 8408  df-3 8409  df-4 8410  df-n0 8599  df-z 8676  df-uz 8944  df-q 9029  df-rp 9059  df-fz 9349  df-fzo 9474  df-fl 9597  df-mod 9650  df-iseq 9772  df-iexp 9845  df-cj 10163  df-re 10164  df-im 10165  df-rsqrt 10318  df-abs 10319  df-dvds 10663  df-gcd 10805
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator