Theorem prmdvdsexp 12904

Description: A prime divides a positive power of an integer iff it divides the integer. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsexp	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))

Proof of Theorem prmdvdsexp

Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝐴↑𝑚) = (𝐴↑1))
2	1	breq2d 4137	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑1)))
3	2	bibi1d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
4	3	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 1 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
5		oveq2 6083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐴↑𝑚) = (𝐴↑𝑘))
6	5	breq2d 4137	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘)))
7	6	bibi1d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
8	7	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
9		oveq2 6083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑚) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
10	9	breq2d 4137	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1))))
11	10	bibi1d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
12	11	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
13		oveq2 6083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐴↑𝑚) = (𝐴↑𝑁))
14	13	breq2d 4137	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁)))
15	14	bibi1d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
16	15	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
17		zcn 9628	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
18	17	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	exp1d 11084	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑1) = 𝐴)
20	19	breq2d 4137	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
21		nnnn0 9549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
22		expp1 10961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
23	18, 21, 22	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
24	23	breq2d 4137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
25		simpll 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
26		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
27		zexpcl 10969	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
28	26, 21, 27	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
29		simplr 533	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
30		euclemma 12902	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)))
31	25, 28, 29, 30	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)))
32	24, 31	bitrd 188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)))
33		orbi1 804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ 𝐴 ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)))
34		oridm 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝐴 ∨ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)
35	33, 34	bitrdi 196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
36	35	bibi2d 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
37	32, 36	syl5ibcom 155	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
38	37	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
39	38	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
40	4, 8, 12, 16, 20, 39	nnind 9299	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
41	40	impcom 125	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
42	41	3impa 1225	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  1c1 8170   + caddc 8172   · cmul 8174  ℕcn 9283  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623  ↑cexp 10953   ∥ cdvds 12532  ℙcprime 12863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-er 6797  df-en 7013  df-sup 7314  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-dvds 12533  df-gcd 12709  df-prm 12864

This theorem is referenced by:  prmdvdsexpb  12905  rpexp  12909  pythagtriplem4  13025  lgslem4  16036  2sqlem3  16150