Theorem prmdvdsexp 12286

Description: A prime divides a positive power of an integer iff it divides the integer. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsexp	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))

Proof of Theorem prmdvdsexp

Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝐴↑𝑚) = (𝐴↑1))
2	1	breq2d 4041	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑1)))
3	2	bibi1d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
4	3	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 1 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
5		oveq2 5926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐴↑𝑚) = (𝐴↑𝑘))
6	5	breq2d 4041	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘)))
7	6	bibi1d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
8	7	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
9		oveq2 5926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑚) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
10	9	breq2d 4041	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1))))
11	10	bibi1d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
12	11	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
13		oveq2 5926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐴↑𝑚) = (𝐴↑𝑁))
14	13	breq2d 4041	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁)))
15	14	bibi1d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
16	15	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
17		zcn 9322	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
18	17	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	exp1d 10739	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑1) = 𝐴)
20	19	breq2d 4041	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
21		nnnn0 9247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
22		expp1 10617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
23	18, 21, 22	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
24	23	breq2d 4041	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
25		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
26		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
27		zexpcl 10625	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
28	26, 21, 27	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
29		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
30		euclemma 12284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)))
31	25, 28, 29, 30	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)))
32	24, 31	bitrd 188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)))
33		orbi1 793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ 𝐴 ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)))
34		oridm 758	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝐴 ∨ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)
35	33, 34	bitrdi 196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
36	35	bibi2d 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
37	32, 36	syl5ibcom 155	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
38	37	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
39	38	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
40	4, 8, 12, 16, 20, 39	nnind 8998	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
41	40	impcom 125	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
42	41	3impa 1196	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877  ℕcn 8982  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  ↑cexp 10609   ∥ cdvds 11930  ℙcprime 12245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-er 6587  df-en 6795  df-sup 7043  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-dvds 11931  df-gcd 12080  df-prm 12246

This theorem is referenced by:  prmdvdsexpb  12287  rpexp  12291  pythagtriplem4  12406  lgslem4  15119  2sqlem3  15204