Theorem prmdvdsexp 12926

Description: A prime divides a positive power of an integer iff it divides the integer. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsexp	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))

Proof of Theorem prmdvdsexp

Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝐴↑𝑚) = (𝐴↑1))
2	1	breq2d 4142	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑1)))
3	2	bibi1d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
4	3	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 1 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
5		oveq2 6093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐴↑𝑚) = (𝐴↑𝑘))
6	5	breq2d 4142	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘)))
7	6	bibi1d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
8	7	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
9		oveq2 6093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑚) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
10	9	breq2d 4142	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1))))
11	10	bibi1d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
12	11	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
13		oveq2 6093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐴↑𝑚) = (𝐴↑𝑁))
14	13	breq2d 4142	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁)))
15	14	bibi1d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
16	15	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
17		zcn 9649	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
18	17	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	exp1d 11106	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑1) = 𝐴)
20	19	breq2d 4142	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
21		nnnn0 9570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
22		expp1 10983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
23	18, 21, 22	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
24	23	breq2d 4142	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
25		simpll 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
26		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
27		zexpcl 10991	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
28	26, 21, 27	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
29		simplr 533	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
30		euclemma 12924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)))
31	25, 28, 29, 30	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)))
32	24, 31	bitrd 188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)))
33		orbi1 804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ 𝐴 ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)))
34		oridm 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝐴 ∨ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)
35	33, 34	bitrdi 196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
36	35	bibi2d 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
37	32, 36	syl5ibcom 155	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
38	37	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
39	38	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
40	4, 8, 12, 16, 20, 39	nnind 9320	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
41	40	impcom 125	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
42	41	3impa 1225	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184  ℕcn 9304  ℕ₀cn0 9563  ℤcz 9644  ↑cexp 10975   ∥ cdvds 12554  ℙcprime 12885

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-fl 10705  df-mod 10760  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-dvds 12555  df-gcd 12731  df-prm 12886

This theorem is used by:  prmdvdsexpb  12927  rpexp  12931  pythagtriplem4  13047  lgslem4  16122  2sqlem3  16236