Theorem prmdvdsexp 11862

Description: A prime divides a positive power of an integer iff it divides the integer. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsexp	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))

Proof of Theorem prmdvdsexp

Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝐴↑𝑚) = (𝐴↑1))
2	1	breq2d 3949	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑1)))
3	2	bibi1d 232	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
4	3	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 1 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
5		oveq2 5790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐴↑𝑚) = (𝐴↑𝑘))
6	5	breq2d 3949	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘)))
7	6	bibi1d 232	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
8	7	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
9		oveq2 5790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑚) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
10	9	breq2d 3949	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1))))
11	10	bibi1d 232	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
12	11	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
13		oveq2 5790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐴↑𝑚) = (𝐴↑𝑁))
14	13	breq2d 3949	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁)))
15	14	bibi1d 232	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
16	15	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
17		zcn 9083	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
18	17	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	exp1d 10450	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑1) = 𝐴)
20	19	breq2d 3949	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
21		nnnn0 9008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
22		expp1 10331	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
23	18, 21, 22	syl2an 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
24	23	breq2d 3949	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
25		simpll 519	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
26		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
27		zexpcl 10339	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
28	26, 21, 27	syl2an 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
29		simplr 520	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
30		euclemma 11860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)))
31	25, 28, 29, 30	syl3anc 1217	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)))
32	24, 31	bitrd 187	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)))
33		orbi1 782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ 𝐴 ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)))
34		oridm 747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝐴 ∨ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)
35	33, 34	syl6bb 195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
36	35	bibi2d 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
37	32, 36	syl5ibcom 154	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
38	37	expcom 115	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
39	38	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
40	4, 8, 12, 16, 20, 39	nnind 8760	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
41	40	impcom 124	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
42	41	3impa 1177	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782  ℂcc 7642  1c1 7645   + caddc 7647   · cmul 7649  ℕcn 8744  ℕ₀cn0 9001  ℤcz 9078  ↑cexp 10323   ∥ cdvds 11529  ℙcprime 11824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-1o 6321  df-2o 6322  df-er 6437  df-en 6643  df-sup 6879  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-fl 10074  df-mod 10127  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-dvds 11530  df-gcd 11672  df-prm 11825

This theorem is referenced by:  prmdvdsexpb  11863  rpexp  11867