ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absexpzap GIF version

Theorem absexpzap 10338
Description: Absolute value of integer exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
absexpzap ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem absexpzap
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 8658 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2 absexp 10337 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
32ex 113 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
43adantr 270 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
5 1cnd 7405 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℂ)
6 simpll 496 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7 nnnn0 8570 . . . . . . . . . 10 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
87ad2antll 475 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
96, 8expcld 9919 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
10 simplr 497 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 # 0)
11 nnz 8663 . . . . . . . . . 10 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
1211ad2antll 475 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
136, 10, 12expap0d 9925 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑁) # 0)
14 absdivap 10328 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑁) # 0) → (abs‘(1 / (𝐴↑-𝑁))) = ((abs‘1) / (abs‘(𝐴↑-𝑁))))
155, 9, 13, 14syl3anc 1170 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(1 / (𝐴↑-𝑁))) = ((abs‘1) / (abs‘(𝐴↑-𝑁))))
16 abs1 10330 . . . . . . . . 9 (abs‘1) = 1
1716oveq1i 5599 . . . . . . . 8 ((abs‘1) / (abs‘(𝐴↑-𝑁))) = (1 / (abs‘(𝐴↑-𝑁)))
18 absexp 10337 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑-𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑-𝑁))
196, 8, 18syl2anc 403 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴↑-𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑-𝑁))
2019oveq2d 5605 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / (abs‘(𝐴↑-𝑁))) = (1 / ((abs‘𝐴)↑-𝑁)))
2117, 20syl5eq 2127 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((abs‘1) / (abs‘(𝐴↑-𝑁))) = (1 / ((abs‘𝐴)↑-𝑁)))
2215, 21eqtrd 2115 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(1 / (𝐴↑-𝑁))) = (1 / ((abs‘𝐴)↑-𝑁)))
23 simprl 498 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2423recnd 7417 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
25 expineg2 9799 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝐴𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
266, 10, 24, 8, 25syl22anc 1171 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
2726fveq2d 5255 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴𝑁)) = (abs‘(1 / (𝐴↑-𝑁))))
28 abscl 10309 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2928ad2antrr 472 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3029recnd 7417 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
31 abs00ap 10320 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
3231ad2antrr 472 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
3310, 32mpbird 165 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘𝐴) # 0)
34 expineg2 9799 . . . . . . 7 ((((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((abs‘𝐴)↑𝑁) = (1 / ((abs‘𝐴)↑-𝑁)))
3530, 33, 24, 8, 34syl22anc 1171 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((abs‘𝐴)↑𝑁) = (1 / ((abs‘𝐴)↑-𝑁)))
3622, 27, 353eqtr4d 2125 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
3736ex 113 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
384, 37jaod 670 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
39383impia 1136 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ))) → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
401, 39syl3an3b 1208 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3811  cfv 4967  (class class class)co 5589  cc 7249  cr 7250  0cc0 7251  1c1 7252  -cneg 7555   # cap 7956   / cdiv 8035  cn 8314  0cn0 8563  cz 8644  cexp 9789  abscabs 10255
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-mulrcl 7345  ax-addcom 7346  ax-mulcom 7347  ax-addass 7348  ax-mulass 7349  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-1rid 7353  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-precex 7356  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-apti 7361  ax-pre-ltadd 7362  ax-pre-mulgt0 7363  ax-pre-mulext 7364  ax-arch 7365  ax-caucvg 7366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-recs 6000  df-frec 6086  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-reap 7950  df-ap 7957  df-div 8036  df-inn 8315  df-2 8373  df-3 8374  df-4 8375  df-n0 8564  df-z 8645  df-uz 8913  df-rp 9028  df-iseq 9739  df-iexp 9790  df-cj 10101  df-re 10102  df-im 10103  df-rsqrt 10256  df-abs 10257
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator