Theorem absexpzap 11102

Description: Absolute value of integer exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
absexpzap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem absexpzap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 9280	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		absexp 11101	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
3	2	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
5		1cnd 7986	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℂ)
6		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		nnnn0 9196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
8	7	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
9	6, 8	expcld 10667	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
10		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 # 0)
11		nnz 9285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
12	11	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
13	6, 10, 12	expap0d 10673	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑁) # 0)
14		absdivap 11092	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑁) # 0) → (abs‘(1 / (𝐴↑-𝑁))) = ((abs‘1) / (abs‘(𝐴↑-𝑁))))
15	5, 9, 13, 14	syl3anc 1248	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(1 / (𝐴↑-𝑁))) = ((abs‘1) / (abs‘(𝐴↑-𝑁))))
16		abs1 11094	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) = 1
17	16	oveq1i 5898	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘1) / (abs‘(𝐴↑-𝑁))) = (1 / (abs‘(𝐴↑-𝑁)))
18		absexp 11101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑-𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑-𝑁))
19	6, 8, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴↑-𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑-𝑁))
20	19	oveq2d 5904	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / (abs‘(𝐴↑-𝑁))) = (1 / ((abs‘𝐴)↑-𝑁)))
21	17, 20	eqtrid 2232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((abs‘1) / (abs‘(𝐴↑-𝑁))) = (1 / ((abs‘𝐴)↑-𝑁)))
22	15, 21	eqtrd 2220	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(1 / (𝐴↑-𝑁))) = (1 / ((abs‘𝐴)↑-𝑁)))
23		simprl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
24	23	recnd 7999	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
25		expineg2 10542	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
26	6, 10, 24, 8, 25	syl22anc 1249	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
27	26	fveq2d 5531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = (abs‘(1 / (𝐴↑-𝑁))))
28		abscl 11073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
30	29	recnd 7999	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
31		abs00ap 11084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
32	31	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
33	10, 32	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘𝐴) # 0)
34		expineg2 10542	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((abs‘𝐴)↑𝑁) = (1 / ((abs‘𝐴)↑-𝑁)))
35	30, 33, 24, 8, 34	syl22anc 1249	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((abs‘𝐴)↑𝑁) = (1 / ((abs‘𝐴)↑-𝑁)))
36	22, 27, 35	3eqtr4d 2230	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
37	36	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
38	4, 37	jaod 718	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
39	38	3impia 1201	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ))) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
40	1, 39	syl3an3b 1286	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  ℂcc 7822  ℝcr 7823  0cc0 7824  1c1 7825  -cneg 8142   # cap 8551   / cdiv 8642  ℕcn 8932  ℕ₀cn0 9189  ℤcz 9266  ↑cexp 10532  abscabs 11019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-rp 9667  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021

This theorem is referenced by: (None)