ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rplpwr GIF version

Theorem rplpwr 11994
Description: If ๐ด and ๐ต are relatively prime, then so are ๐ดโ†‘๐‘ and ๐ต. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
rplpwr ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1))

Proof of Theorem rplpwr
Dummy variables ๐‘› ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5873 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 1 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘1))
21oveq1d 5880 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต))
32eqeq1d 2184 . . . . . 6 (๐‘˜ = 1 โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = 1))
43imbi2d 230 . . . . 5 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = 1)))
5 oveq2 5873 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘›))
65oveq1d 5880 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต))
76eqeq1d 2184 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1))
87imbi2d 230 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1)))
9 oveq2 5873 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘(๐‘› + 1)))
109oveq1d 5880 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต))
1110eqeq1d 2184 . . . . . 6 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1))
1211imbi2d 230 . . . . 5 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1)))
13 oveq2 5873 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘))
1413oveq1d 5880 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต))
1514eqeq1d 2184 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1))
1615imbi2d 230 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1)))
17 nncn 8898 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1817exp1d 10616 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ†‘1) = ๐ด)
1918oveq1d 5880 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = (๐ด gcd ๐ต))
2019adantr 276 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = (๐ด gcd ๐ต))
2120eqeq1d 2184 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = 1 โ†” (๐ด gcd ๐ต) = 1))
2221biimpar 297 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = 1)
23 df-3an 980 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•))
24 simpl1 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
2524nncnd 8904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
26 simpl3 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
2726nnnn0d 9200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
2825, 27expp1d 10622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘›) ยท ๐ด))
29 simp1 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
30 nnnn0 9154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
31303ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
3229, 31nnexpcld 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•)
3332nnzd 9345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค)
3433adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค)
3534zcnd 9347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
3635, 25mulcomd 7953 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘›) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))
3728, 36eqtrd 2208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) = (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))
3837oveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ต gcd (๐ดโ†‘(๐‘› + 1))) = (๐ต gcd (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘›))))
39 simpl2 1001 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
4032adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•)
41 nnz 9243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
42413ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
43 nnz 9243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
44433ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
45 gcdcom 11940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = (๐ต gcd ๐ด))
4642, 44, 45syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = (๐ต gcd ๐ด))
4746eqeq1d 2184 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ†” (๐ต gcd ๐ด) = 1))
4847biimpa 296 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ต gcd ๐ด) = 1)
49 rpmulgcd 11993 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต gcd ๐ด) = 1) โ†’ (๐ต gcd (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘›))) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘๐‘›)))
5039, 24, 40, 48, 49syl31anc 1241 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ต gcd (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘›))) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘๐‘›)))
5138, 50eqtrd 2208 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ต gcd (๐ดโ†‘(๐‘› + 1))) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘๐‘›)))
52 peano2nn 8902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
53523ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
5453adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
5554nnnn0d 9200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•0)
5624, 55nnexpcld 10643 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„•)
5756nnzd 9345 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„ค)
5844adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
59 gcdcom 11940 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘(๐‘› + 1))))
6057, 58, 59syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘(๐‘› + 1))))
61 gcdcom 11940 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘๐‘›)))
6234, 58, 61syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘๐‘›)))
6351, 60, 623eqtr4d 2218 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต))
6463eqeq1d 2184 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1))
6564biimprd 158 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1))
6623, 65sylanbr 285 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1))
6766an32s 568 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1))
6867expcom 116 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1)))
6968a2d 26 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1)))
704, 8, 12, 16, 22, 69nnind 8906 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1))
7170expd 258 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1)))
7271com12 30 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1)))
73723impia 1200 1 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2146  (class class class)co 5865  1c1 7787   + caddc 7789   ยท cmul 7791  โ„•cn 8890  โ„•0cn0 9147  โ„คcz 9224  โ†‘cexp 10487   gcd cgcd 11909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-sup 6973  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-fl 10238  df-mod 10291  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10818  df-re 10819  df-im 10820  df-rsqrt 10974  df-abs 10975  df-dvds 11762  df-gcd 11910
This theorem is referenced by:  rppwr  11995  logbgcd1irr  13878  logbgcd1irraplemexp  13879  lgsne0  13932  2sqlem8  13952
  Copyright terms: Public domain W3C validator