ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rplpwr GIF version

Theorem rplpwr 12027
Description: If ๐ด and ๐ต are relatively prime, then so are ๐ดโ†‘๐‘ and ๐ต. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
rplpwr ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1))

Proof of Theorem rplpwr
Dummy variables ๐‘› ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5882 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 1 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘1))
21oveq1d 5889 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต))
32eqeq1d 2186 . . . . . 6 (๐‘˜ = 1 โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = 1))
43imbi2d 230 . . . . 5 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = 1)))
5 oveq2 5882 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘›))
65oveq1d 5889 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต))
76eqeq1d 2186 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1))
87imbi2d 230 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1)))
9 oveq2 5882 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘(๐‘› + 1)))
109oveq1d 5889 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต))
1110eqeq1d 2186 . . . . . 6 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1))
1211imbi2d 230 . . . . 5 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1)))
13 oveq2 5882 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘))
1413oveq1d 5889 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต))
1514eqeq1d 2186 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1))
1615imbi2d 230 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1)))
17 nncn 8926 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1817exp1d 10648 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ†‘1) = ๐ด)
1918oveq1d 5889 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = (๐ด gcd ๐ต))
2019adantr 276 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = (๐ด gcd ๐ต))
2120eqeq1d 2186 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = 1 โ†” (๐ด gcd ๐ต) = 1))
2221biimpar 297 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = 1)
23 df-3an 980 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•))
24 simpl1 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
2524nncnd 8932 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
26 simpl3 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
2726nnnn0d 9228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
2825, 27expp1d 10654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘›) ยท ๐ด))
29 simp1 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
30 nnnn0 9182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
31303ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
3229, 31nnexpcld 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•)
3332nnzd 9373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค)
3433adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค)
3534zcnd 9375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
3635, 25mulcomd 7978 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘›) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))
3728, 36eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) = (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))
3837oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ต gcd (๐ดโ†‘(๐‘› + 1))) = (๐ต gcd (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘›))))
39 simpl2 1001 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
4032adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•)
41 nnz 9271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
42413ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
43 nnz 9271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
44433ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
45 gcdcom 11973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = (๐ต gcd ๐ด))
4642, 44, 45syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = (๐ต gcd ๐ด))
4746eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ†” (๐ต gcd ๐ด) = 1))
4847biimpa 296 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ต gcd ๐ด) = 1)
49 rpmulgcd 12026 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต gcd ๐ด) = 1) โ†’ (๐ต gcd (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘›))) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘๐‘›)))
5039, 24, 40, 48, 49syl31anc 1241 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ต gcd (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘›))) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘๐‘›)))
5138, 50eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ต gcd (๐ดโ†‘(๐‘› + 1))) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘๐‘›)))
52 peano2nn 8930 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
53523ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
5453adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
5554nnnn0d 9228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•0)
5624, 55nnexpcld 10675 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„•)
5756nnzd 9373 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„ค)
5844adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
59 gcdcom 11973 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘(๐‘› + 1))))
6057, 58, 59syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘(๐‘› + 1))))
61 gcdcom 11973 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘๐‘›)))
6234, 58, 61syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘๐‘›)))
6351, 60, 623eqtr4d 2220 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต))
6463eqeq1d 2186 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1))
6564biimprd 158 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1))
6623, 65sylanbr 285 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1))
6766an32s 568 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1))
6867expcom 116 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1)))
6968a2d 26 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1)))
704, 8, 12, 16, 22, 69nnind 8934 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1))
7170expd 258 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1)))
7271com12 30 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1)))
73723impia 1200 1 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  (class class class)co 5874  1c1 7811   + caddc 7813   ยท cmul 7815  โ„•cn 8918  โ„•0cn0 9175  โ„คcz 9252  โ†‘cexp 10518   gcd cgcd 11942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-sup 6982  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-fl 10269  df-mod 10322  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-dvds 11794  df-gcd 11943
This theorem is referenced by:  rppwr  12028  logbgcd1irr  14355  logbgcd1irraplemexp  14356  lgsne0  14409  2sqlem8  14440
  Copyright terms: Public domain W3C validator