Theorem pfxccatpfx2 11454

Description: A prefix of a concatenation of two words being the first word concatenated with a prefix of the second word. (Contributed by AV, 10-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
swrdccatin2.l	⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)
pfxccatpfx2.m	⊢ 𝑀 = (♯‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatpfx2	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))

Proof of Theorem pfxccatpfx2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatcl 11306	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉)
2	1	3adant3 1044	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉)
3		swrdccatin2.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)
4		lencl 11253	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
5	3, 4	eqeltrid 2321	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → 𝐿 ∈ ℕ0)
6		elfzuz 10374	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐿 + 1)))
7		peano2nn0 9553	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 + 1) ∈ ℕ0)
8	7	anim1i 340	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐿 + 1))) → ((𝐿 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐿 + 1))))
9	5, 6, 8	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐿 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐿 + 1))))
10	9	3adant2 1043	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐿 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐿 + 1))))
11		eluznn0 9949	. . . 4 ⊢ (((𝐿 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐿 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		pfxval 11391	. . 3 ⊢ (((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩))
14	2, 12, 13	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩))
15		3simpa 1021	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
16	5	3ad2ant1 1045	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
17		0elfz 10474	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝐿))
18	16, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 0 ∈ (0...𝐿))
19	4	nn0zd 9716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
20	3, 19	eqeltrid 2321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → 𝐿 ∈ ℤ)
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐿 ∈ ℤ)
22		uzid 9886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
23		peano2uz 9933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝐿 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐿))
24		fzss1 10418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐿) → ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) ⊆ (𝐿...(𝐿 + 𝑀)))
25	21, 22, 23, 24	4syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) ⊆ (𝐿...(𝐿 + 𝑀)))
26		pfxccatpfx2.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (♯‘𝐵)
27	26	eqcomi 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐵) = 𝑀
28	27	oveq2i 6069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 + (♯‘𝐵)) = (𝐿 + 𝑀)
29	28	oveq2i 6069	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) = (𝐿...(𝐿 + 𝑀))
30	25, 29	sseqtrrdi 3291	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) ⊆ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
31	30	sseld 3241	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
32	31	3impia 1227	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
33	18, 32	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
34	3	pfxccatin12 11450	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))
35	15, 33, 34	sylc 62	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))
36	3	opeq2i 3892	. . . . . 6 ⊢ ⟨0, 𝐿⟩ = ⟨0, (♯‘𝐴)⟩
37	36	oveq2i 6069	. . . . 5 ⊢ (𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝐴 substr ⟨0, (♯‘𝐴)⟩)
38		pfxval 11391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) → (𝐴 prefix (♯‘𝐴)) = (𝐴 substr ⟨0, (♯‘𝐴)⟩))
39	4, 38	mpdan 421	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 prefix (♯‘𝐴)) = (𝐴 substr ⟨0, (♯‘𝐴)⟩))
40		pfxid 11403	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 prefix (♯‘𝐴)) = 𝐴)
41	39, 40	eqtr3d 2269	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 substr ⟨0, (♯‘𝐴)⟩) = 𝐴)
42	37, 41	eqtrid 2279	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) = 𝐴)
43	42	3ad2ant1 1045	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) = 𝐴)
44	43	oveq1d 6073	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))) = (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))
45	14, 35, 44	3eqtrd 2271	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3214  ⟨cop 3697  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   − cmin 8460  ℕ₀cn0 9513  ℤcz 9594  ℤ_≥cuz 9871  ...cfz 10361  ♯chash 11163  Word cword 11249   ++ cconcat 11303   substr csubstr 11362   prefix cpfx 11389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250  df-concat 11304  df-substr 11363  df-pfx 11390

This theorem is referenced by:  pfxccat3a  11455