Theorem coprmdvds1 12071

Description: If two positive integers are coprime, i.e. their greatest common divisor is 1, the only positive integer that divides both of them is 1. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
coprmdvds1	⊢ ((𝐹 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ ℕ ∧ (𝐹 gcd 𝐺) = 1) → ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → 𝐼 = 1))

Proof of Theorem coprmdvds1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coprmgcdb 12068	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐹 ∧ 𝑖 ∥ 𝐺) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐹 gcd 𝐺) = 1))
2		breq1 4003	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ∥ 𝐹 ↔ 𝐼 ∥ 𝐹))
3		breq1 4003	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ∥ 𝐺 ↔ 𝐼 ∥ 𝐺))
4	2, 3	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖 ∥ 𝐹 ∧ 𝑖 ∥ 𝐺) ↔ (𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺)))
5		eqeq1 2184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 = 1 ↔ 𝐼 = 1))
6	4, 5	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (((𝑖 ∥ 𝐹 ∧ 𝑖 ∥ 𝐺) → 𝑖 = 1) ↔ ((𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → 𝐼 = 1)))
7	6	rspcv 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐹 ∧ 𝑖 ∥ 𝐺) → 𝑖 = 1) → ((𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → 𝐼 = 1)))
8	7	com23 78	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐹 ∧ 𝑖 ∥ 𝐺) → 𝑖 = 1) → 𝐼 = 1)))
9	8	3impib 1201	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐹 ∧ 𝑖 ∥ 𝐺) → 𝑖 = 1) → 𝐼 = 1))
10	9	com12 30	. . 3 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐹 ∧ 𝑖 ∥ 𝐺) → 𝑖 = 1) → ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → 𝐼 = 1))
11	1, 10	syl6bir 164	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ ℕ) → ((𝐹 gcd 𝐺) = 1 → ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → 𝐼 = 1)))
12	11	3impia 1200	1 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ ℕ ∧ (𝐹 gcd 𝐺) = 1) → ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → 𝐼 = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  1c1 7800  ℕcn 8905   ∥ cdvds 11775   gcd cgcd 11923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-mulass 7902  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-1rid 7906  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-precex 7909  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916  ax-pre-mulext 7917  ax-arch 7918  ax-caucvg 7919

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-sup 6977  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-reap 8519  df-ap 8526  df-div 8616  df-inn 8906  df-2 8964  df-3 8965  df-4 8966  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-q 9606  df-rp 9638  df-fz 9993  df-fzo 10126  df-fl 10253  df-mod 10306  df-seqfrec 10429  df-exp 10503  df-cj 10832  df-re 10833  df-im 10834  df-rsqrt 10988  df-abs 10989  df-dvds 11776  df-gcd 11924

This theorem is referenced by: (None)