Theorem 01sqrex 15396

Description: Existence of a square root for reals in the interval (0, 1]. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
01sqrex	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ≤ 1 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem 01sqrex

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴} = {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) = sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < )
3	1, 2	01sqrexlem4 15392	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 1))
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}𝑧 = (𝑤 · 𝑥)} = {𝑧 ∣ ∃𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}𝑧 = (𝑤 · 𝑥)}
5	1, 2, 4	01sqrexlem7 15395	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < )↑2) = 𝐴)
6		breq1 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 ≤ 1 ↔ sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 1))
7		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥↑2) = (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < )↑2))
8	7	eqeq1d 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) → ((𝑥↑2) = 𝐴 ↔ (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < )↑2) = 𝐴))
9	6, 8	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑥 = sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) → ((𝑥 ≤ 1 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴) ↔ (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 1 ∧ (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < )↑2) = 𝐴)))
10	9	rspcev 3577	. . 3 ⊢ ((sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 1 ∧ (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < )↑2) = 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ≤ 1 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
11	10	anassrs 473	. 2 ⊢ (((sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 1) ∧ (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < )↑2) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ≤ 1 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
12	3, 5, 11	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ≤ 1 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739  ∃wrex 3087  {crab 3413   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  supcsup 9416  ℝcr 11180  1c1 11182   · cmul 11186   < clt 11324   ≤ cle 11325  2c2 12378  ℝ⁺crp 13101  ↑cexp 14184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-seq 14125  df-exp 14185

This theorem is used by:  resqrex  15397