MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  01sqrex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 01sqrex 15143
Description: Existence of a square root for reals in the interval (0, 1]. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
01sqrex ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (๐‘ฅ โ‰ค 1 โˆง (๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem 01sqrex
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 {๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด} = {๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}
2 eqid 2733 . . 3 sup({๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}, โ„, < ) = sup({๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}, โ„, < )
31, 201sqrexlem4 15139 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (sup({๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}, โ„, < ) โˆˆ โ„+ โˆง sup({๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค 1))
4 eqid 2733 . . 3 {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ค โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}๐‘ง = (๐‘ค ยท ๐‘ฅ)} = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ค โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}๐‘ง = (๐‘ค ยท ๐‘ฅ)}
51, 2, 401sqrexlem7 15142 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (sup({๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}, โ„, < )โ†‘2) = ๐ด)
6 breq1 5112 . . . . 5 (๐‘ฅ = sup({๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}, โ„, < ) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค 1 โ†” sup({๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค 1))
7 oveq1 7368 . . . . . 6 (๐‘ฅ = sup({๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}, โ„, < ) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (sup({๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}, โ„, < )โ†‘2))
87eqeq1d 2735 . . . . 5 (๐‘ฅ = sup({๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}, โ„, < ) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โ†” (sup({๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}, โ„, < )โ†‘2) = ๐ด))
96, 8anbi12d 632 . . . 4 (๐‘ฅ = sup({๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}, โ„, < ) โ†’ ((๐‘ฅ โ‰ค 1 โˆง (๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด) โ†” (sup({๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค 1 โˆง (sup({๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}, โ„, < )โ†‘2) = ๐ด)))
109rspcev 3583 . . 3 ((sup({๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}, โ„, < ) โˆˆ โ„+ โˆง (sup({๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค 1 โˆง (sup({๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}, โ„, < )โ†‘2) = ๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (๐‘ฅ โ‰ค 1 โˆง (๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด))
1110anassrs 469 . 2 (((sup({๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}, โ„, < ) โˆˆ โ„+ โˆง sup({๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค 1) โˆง (sup({๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}, โ„, < )โ†‘2) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (๐‘ฅ โ‰ค 1 โˆง (๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด))
123, 5, 11syl2anc 585 1 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (๐‘ฅ โ‰ค 1 โˆง (๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2710  โˆƒwrex 3070  {crab 3406   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  supcsup 9384  โ„cr 11058  1c1 11060   ยท cmul 11064   < clt 11197   โ‰ค cle 11198  2c2 12216  โ„+crp 12923  โ†‘cexp 13976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977
This theorem is referenced by:  resqrex  15144
  Copyright terms: Public domain W3C validator