Theorem 01sqrex 14961

Description: Existence of a square root for reals in the interval (0, 1]. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
01sqrex	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ≤ 1 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem 01sqrex

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴} = {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) = sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < )
3	1, 2	sqrlem4 14957	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 1))
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}𝑧 = (𝑤 · 𝑥)} = {𝑧 ∣ ∃𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}𝑧 = (𝑤 · 𝑥)}
5	1, 2, 4	sqrlem7 14960	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < )↑2) = 𝐴)
6		breq1 5077	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 ≤ 1 ↔ sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 1))
7		oveq1 7282	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥↑2) = (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < )↑2))
8	7	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) → ((𝑥↑2) = 𝐴 ↔ (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < )↑2) = 𝐴))
9	6, 8	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑥 = sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) → ((𝑥 ≤ 1 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴) ↔ (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 1 ∧ (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < )↑2) = 𝐴)))
10	9	rspcev 3561	. . 3 ⊢ ((sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 1 ∧ (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < )↑2) = 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ≤ 1 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
11	10	anassrs 468	. 2 ⊢ (((sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 1) ∧ (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < )↑2) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ≤ 1 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
12	3, 5, 11	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ≤ 1 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715  ∃wrex 3065  {crab 3068   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  supcsup 9199  ℝcr 10870  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010  2c2 12028  ℝ⁺crp 12730  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  resqrex  14962