Theorem 01sqrex 15194

Description: Existence of a square root for reals in the interval (0, 1]. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
01sqrex	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ≤ 1 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem 01sqrex

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2724	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴} = {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}
2		eqid 2724	. . 3 ⊢ sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) = sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < )
3	1, 2	01sqrexlem4 15190	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 1))
4		eqid 2724	. . 3 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}𝑧 = (𝑤 · 𝑥)} = {𝑧 ∣ ∃𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}𝑧 = (𝑤 · 𝑥)}
5	1, 2, 4	01sqrexlem7 15193	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < )↑2) = 𝐴)
6		breq1 5142	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 ≤ 1 ↔ sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 1))
7		oveq1 7409	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥↑2) = (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < )↑2))
8	7	eqeq1d 2726	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) → ((𝑥↑2) = 𝐴 ↔ (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < )↑2) = 𝐴))
9	6, 8	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑥 = sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) → ((𝑥 ≤ 1 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴) ↔ (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 1 ∧ (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < )↑2) = 𝐴)))
10	9	rspcev 3604	. . 3 ⊢ ((sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 1 ∧ (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < )↑2) = 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ≤ 1 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
11	10	anassrs 467	. 2 ⊢ (((sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 1) ∧ (sup({𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}, ℝ, < )↑2) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ≤ 1 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
12	3, 5, 11	syl2anc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ≤ 1 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2701  ∃wrex 3062  {crab 3424   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402  supcsup 9432  ℝcr 11106  1c1 11108   · cmul 11112   < clt 11246   ≤ cle 11247  2c2 12265  ℝ⁺crp 12972  ↑cexp 14025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-rp 12973  df-seq 13965  df-exp 14026

This theorem is referenced by:  resqrex  15195