Theorem 01sqrexlem4 15263

Description: Lemma for 01sqrex 15267. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
01sqrexlem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
01sqrexlem1.2	⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
01sqrexlem4	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≤ 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem 01sqrexlem4

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		01sqrexlem1.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
2		01sqrexlem1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
3	2, 1	01sqrexlem3 15262	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦))
4		suprcl 12146	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6	1, 5	eqeltrid 2865	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		rpgt0 13000	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
8	7	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 0 < 𝐴)
9	2, 1	01sqrexlem2 15261	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ 𝑆)
10		suprub 12147	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
11	3, 9, 10	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
12	11, 1	breqtrrdi 5139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ≤ 𝐵)
13		0re 11177	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		rpre 12996	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
15		ltletr 11269	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 < 𝐵))
16	13, 14, 6, 15	mp3an2ani 1488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 < 𝐵))
17	8, 12, 16	mp2and 709	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 0 < 𝐵)
18	6, 17	elrpd 13028	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ+)
19	2, 1	01sqrexlem1 15260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 1)
20		1re 11175	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		suprleub 12152	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ 1 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 1 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 1))
22	3, 20, 21	sylancl 595	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 1 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 1))
23	19, 22	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 1)
24	1, 23	eqbrtrid 5132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ≤ 1)
25	18, 24	jca 519	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≤ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  {crab 3413   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283   class class class wbr 5097  (class class class)co 7391  supcsup 9380  ℝcr 11066  0cc0 11067  1c1 11068   < clt 11210   ≤ cle 11211  2c2 12266  ℝ⁺crp 12987  ↑cexp 14068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9382  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-seq 14009  df-exp 14069

This theorem is referenced by:  01sqrexlem5  15264  01sqrexlem7  15266  01sqrex  15267