Theorem 01sqrexlem4 15198

Description: Lemma for 01sqrex 15202. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
01sqrexlem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
01sqrexlem1.2	⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
01sqrexlem4	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≤ 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem 01sqrexlem4

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		01sqrexlem1.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
2		01sqrexlem1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
3	2, 1	01sqrexlem3 15197	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦))
4		suprcl 12107	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6	1, 5	eqeltrid 2841	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		rpgt0 12946	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 0 < 𝐴)
9	2, 1	01sqrexlem2 15196	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ 𝑆)
10		suprub 12108	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
11	3, 9, 10	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
12	11, 1	breqtrrdi 5128	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ≤ 𝐵)
13		0re 11137	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		rpre 12942	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
15		ltletr 11229	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 < 𝐵))
16	13, 14, 6, 15	mp3an2ani 1471	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 < 𝐵))
17	8, 12, 16	mp2and 700	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 0 < 𝐵)
18	6, 17	elrpd 12974	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ+)
19	2, 1	01sqrexlem1 15195	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 1)
20		1re 11135	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		suprleub 12113	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ 1 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 1 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 1))
22	3, 20, 21	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 1 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 1))
23	19, 22	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 1)
24	1, 23	eqbrtrid 5121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ≤ 1)
25	18, 24	jca 511	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≤ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  supcsup 9346  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   < clt 11170   ≤ cle 11171  2c2 12227  ℝ⁺crp 12933  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  01sqrexlem5  15199  01sqrexlem7  15201  01sqrex  15202