MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  01sqrexlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 01sqrexlem4 15199
Description: Lemma for 01sqrex 15203. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
01sqrexlem1.1 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
01sqrexlem1.2 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
01sqrexlem4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≤ 1))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem 01sqrexlem4
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 01sqrexlem1.2 . . . 4 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
2 01sqrexlem1.1 . . . . . 6 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
32, 101sqrexlem3 15198 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑦))
4 suprcl 12181 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑦) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
61, 5eqeltrid 2836 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 rpgt0 12993 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
87adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 0 < 𝐴)
92, 101sqrexlem2 15197 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐴𝑆)
10 suprub 12182 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑦) ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
113, 9, 10syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
1211, 1breqtrrdi 5190 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐴𝐵)
13 0re 11223 . . . . 5 0 ∈ ℝ
14 rpre 12989 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
15 ltletr 11313 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴𝐴𝐵) → 0 < 𝐵))
1613, 14, 6, 15mp3an2ani 1467 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((0 < 𝐴𝐴𝐵) → 0 < 𝐵))
178, 12, 16mp2and 696 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 0 < 𝐵)
186, 17elrpd 13020 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ+)
192, 101sqrexlem1 15196 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ∀𝑧𝑆 𝑧 ≤ 1)
20 1re 11221 . . . . 5 1 ∈ ℝ
21 suprleub 12187 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑦) ∧ 1 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 1 ↔ ∀𝑧𝑆 𝑧 ≤ 1))
223, 20, 21sylancl 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 1 ↔ ∀𝑧𝑆 𝑧 ≤ 1))
2319, 22mpbird 257 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 1)
241, 23eqbrtrid 5183 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ≤ 1)
2518, 24jca 511 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≤ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3431  wss 3948  c0 4322   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  supcsup 9441  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   < clt 11255  cle 11256  2c2 12274  +crp 12981  cexp 14034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-seq 13974  df-exp 14035
This theorem is referenced by:  01sqrexlem5  15200  01sqrexlem7  15202  01sqrex  15203
  Copyright terms: Public domain W3C validator