Theorem fzo0 13686

Description: Half-open sets with equal endpoints are empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0	⊢ (𝐴..^𝐴) = ∅

Proof of Theorem fzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzonel 13676	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴..^𝐴)
2		fzon0 13680	. . 3 ⊢ ((𝐴..^𝐴) ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ (𝐴..^𝐴))
3	2	necon1bbii 3005	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ (𝐴..^𝐴) ↔ (𝐴..^𝐴) = ∅)
4	1, 3	mpbi 232	1 ⊢ (𝐴..^𝐴) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∅c0 4285  (class class class)co 7392  ..^cfzo 13656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657

This theorem is referenced by:  hashfzo  14439  iswrdi  14527  iswrddm0  14548  swrd00  14655  repswsymballbi  14790  0csh0  14803  cshw1  14832  telfsumo  15813  fsumparts  15817  pwdif  15881  0bits  16456  bitsinv1  16459  sadcadd  16475  sadadd2  16477  smumullem  16509  cshws0  17120  chnub  18637  gsmsymgrfix  19451  psgnunilem3  19519  efgs1  19758  volsup  25598  dchrisumlem1  27530  dchrisumlem3  27532  istrkg2ld  28606  wwlksn0s  30007  clwwlkn1  30189  1ewlk  30263  0wlk  30264  1pthdlem1  30283  1pthdlem2  30284  eupth0  30362  eupth2lemb  30385  f1ocnt  32952  fzo0opth  32955  1arithidom  33694  fiunelros  34432  signstfvneq0  34830  signsvf1  34839  repr0  34869  breprexp  34891  carageniuncllem1  47059  chnsubseqwl  47419  2ffzoeq  47886  iccpartiltu  47992  iccpartigtl  47993  0aryfvalel  49220