Theorem 0dioph 41448

Description: The null set is Diophantine. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0dioph	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ∅ ∈ (Dioph‘𝐴))

Proof of Theorem 0dioph

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11174	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2943	. . . 4 ⊢ ¬ 1 = 0
3	2	rgenw 3066	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ¬ 1 = 0
4		rabeq0 4382	. . 3 ⊢ ({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 1 = 0} = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ¬ 1 = 0)
5	3, 4	mpbir 230	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 1 = 0} = ∅
6		ovex 7436	. . . 4 ⊢ (1...𝐴) ∈ V
7		1z 12587	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		mzpconstmpt 41410	. . . 4 ⊢ (((1...𝐴) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...𝐴)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...𝐴)))
9	6, 7, 8	mp2an 691	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...𝐴)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...𝐴))
10		eq0rabdioph 41446	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...𝐴)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...𝐴))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 1 = 0} ∈ (Dioph‘𝐴))
11	9, 10	mpan2 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 1 = 0} ∈ (Dioph‘𝐴))
12	5, 11	eqeltrrid 2839	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ∅ ∈ (Dioph‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475  ∅c0 4320   ↦ cmpt 5229  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403   ↑_m cmap 8815  0cc0 11105  1c1 11106  ℕ₀cn0 12467  ℤcz 12553  ...cfz 13479  mzPolycmzp 41392  Diophcdioph 41425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-fz 13480  df-mzpcl 41393  df-mzp 41394  df-dioph 41426

This theorem is referenced by: (None)