Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0dioph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0dioph 39253
Description: The null set is Diophantine. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
0dioph (𝐴 ∈ ℕ0 → ∅ ∈ (Dioph‘𝐴))

Proof of Theorem 0dioph
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 10594 . . . . 5 1 ≠ 0
21neii 3015 . . . 4 ¬ 1 = 0
32rgenw 3147 . . 3 𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ¬ 1 = 0
4 rabeq0 4335 . . 3 ({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 1 = 0} = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ¬ 1 = 0)
53, 4mpbir 232 . 2 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 1 = 0} = ∅
6 ovex 7178 . . . 4 (1...𝐴) ∈ V
7 1z 12000 . . . 4 1 ∈ ℤ
8 mzpconstmpt 39215 . . . 4 (((1...𝐴) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...𝐴)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...𝐴)))
96, 7, 8mp2an 688 . . 3 (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...𝐴)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...𝐴))
10 eq0rabdioph 39251 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...𝐴)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...𝐴))) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 1 = 0} ∈ (Dioph‘𝐴))
119, 10mpan2 687 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 1 = 0} ∈ (Dioph‘𝐴))
125, 11eqeltrrid 2915 1 (𝐴 ∈ ℕ0 → ∅ ∈ (Dioph‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  {crab 3139  Vcvv 3492  c0 4288  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  0cc0 10525  1c1 10526  0cn0 11885  cz 11969  ...cfz 12880  mzPolycmzp 39197  Diophcdioph 39230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-mzpcl 39198  df-mzp 39199  df-dioph 39231
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator