Theorem 0dioph 43929

Description: The empty set is Diophantine. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0dioph	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ∅ ∈ (Dioph‘𝐴))

Proof of Theorem 0dioph

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11279	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2960	. . . 4 ⊢ ¬ 1 = 0
3	2	rgenw 3083	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ¬ 1 = 0
4		rabeq0 4340	. . 3 ⊢ ({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 1 = 0} = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ¬ 1 = 0)
5	3, 4	mpbir 234	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 1 = 0} = ∅
6		ovex 7460	. . . 4 ⊢ (1...𝐴) ∈ V
7		1z 12736	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		mzpconstmpt 43891	. . . 4 ⊢ (((1...𝐴) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...𝐴)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...𝐴)))
9	6, 7, 8	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...𝐴)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...𝐴))
10		eq0rabdioph 43927	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...𝐴)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...𝐴))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 1 = 0} ∈ (Dioph‘𝐴))
11	9, 10	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 1 = 0} ∈ (Dioph‘𝐴))
12	5, 11	eqeltrrid 2868	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ∅ ∈ (Dioph‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3079  {crab 3415  Vcvv 3453  ∅c0 4280   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   ↑_m cmap 8858  0cc0 11210  1c1 11211  ℕ₀cn0 12616  ℤcz 12703  ...cfz 13649  mzPolycmzp 43873  Diophcdioph 43906

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-fz 13650  df-mzpcl 43874  df-mzp 43875  df-dioph 43907

This theorem is used by: (None)