Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4t3lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4t3lem 12192
 Description: Lemma for 4t3e12 12193 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
4t3lem.1 𝐴 ∈ ℕ0
4t3lem.2 𝐵 ∈ ℕ0
4t3lem.3 𝐶 = (𝐵 + 1)
4t3lem.4 (𝐴 · 𝐵) = 𝐷
4t3lem.5 (𝐷 + 𝐴) = 𝐸
Assertion
Ref Expression
4t3lem (𝐴 · 𝐶) = 𝐸

Proof of Theorem 4t3lem
StepHypRef Expression
1 4t3lem.3 . . 3 𝐶 = (𝐵 + 1)
21oveq2i 7160 . 2 (𝐴 · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 + 1))
3 4t3lem.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ0
43nn0cni 11906 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
5 4t3lem.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
65nn0cni 11906 . . . . 5 𝐵 ∈ ℂ
7 ax-1cn 10593 . . . . 5 1 ∈ ℂ
84, 6, 7adddii 10651 . . . 4 (𝐴 · (𝐵 + 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 1))
9 4t3lem.4 . . . . 5 (𝐴 · 𝐵) = 𝐷
104mulid1i 10643 . . . . 5 (𝐴 · 1) = 𝐴
119, 10oveq12i 7161 . . . 4 ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 1)) = (𝐷 + 𝐴)
128, 11eqtri 2847 . . 3 (𝐴 · (𝐵 + 1)) = (𝐷 + 𝐴)
13 4t3lem.5 . . 3 (𝐷 + 𝐴) = 𝐸
1412, 13eqtri 2847 . 2 (𝐴 · (𝐵 + 1)) = 𝐸
152, 14eqtri 2847 1 (𝐴 · 𝐶) = 𝐸
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  (class class class)co 7149  1c1 10536   + caddc 10538   · cmul 10540  ℕ0cn0 11894 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-mulcl 10597  ax-mulcom 10599  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1rid 10605  ax-cnre 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-nn 11635  df-n0 11895 This theorem is referenced by:  4t3e12  12193  4t4e16  12194  5t2e10  12195  5t3e15  12196  5t4e20  12197  5t5e25  12198  6t3e18  12200  6t4e24  12201  6t5e30  12202  6t6e36  12203  7t3e21  12205  7t4e28  12206  7t5e35  12207  7t6e42  12208  7t7e49  12209  8t3e24  12211  8t4e32  12212  8t5e40  12213  8t6e48  12214  8t7e56  12215  8t8e64  12216  9t3e27  12218  9t4e36  12219  9t5e45  12220  9t6e54  12221  9t7e63  12222  9t8e72  12223  9t9e81  12224
 Copyright terms: Public domain W3C validator