Theorem 4t3lem 12704

Description: Lemma for 4t3e12 12705 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
4t3lem.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4t3lem.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4t3lem.3	⊢ 𝐶 = (𝐵 + 1)
4t3lem.4	⊢ (𝐴 · 𝐵) = 𝐷
4t3lem.5	⊢ (𝐷 + 𝐴) = 𝐸

Assertion

Ref	Expression
4t3lem	⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸

Proof of Theorem 4t3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4t3lem.3	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐵 + 1)
2	1	oveq2i 7369	. 2 ⊢ (𝐴 · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 + 1))
3		4t3lem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12413	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
5		4t3lem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 12413	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11084	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	4, 6, 7	adddii 11144	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (𝐵 + 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 1))
9		4t3lem.4	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝐵) = 𝐷
10	4	mulridi 11136	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 1) = 𝐴
11	9, 10	oveq12i 7370	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 1)) = (𝐷 + 𝐴)
12	8, 11	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (𝐴 · (𝐵 + 1)) = (𝐷 + 𝐴)
13		4t3lem.5	. . 3 ⊢ (𝐷 + 𝐴) = 𝐸
14	12, 13	eqtri 2759	. 2 ⊢ (𝐴 · (𝐵 + 1)) = 𝐸
15	2, 14	eqtri 2759	1 ⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031  ℕ₀cn0 12401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-mulcl 11088  ax-mulcom 11090  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1rid 11096  ax-cnre 11099

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12146  df-n0 12402

This theorem is referenced by:  4t3e12  12705  4t4e16  12706  5t2e10  12707  5t3e15  12708  5t4e20  12709  5t5e25  12710  6t3e18  12712  6t4e24  12713  6t5e30  12714  6t6e36  12715  7t3e21  12717  7t4e28  12718  7t5e35  12719  7t6e42  12720  7t7e49  12721  8t3e24  12723  8t4e32  12724  8t5e40  12725  8t6e48  12726  8t7e56  12727  8t8e64  12728  9t3e27  12730  9t4e36  12731  9t5e45  12732  9t6e54  12733  9t7e63  12734  9t8e72  12735  9t9e81  12736