MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4t3lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4t3lem 12722
Description: Lemma for 4t3e12 12723 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
4t3lem.1 ๐ด โˆˆ โ„•0
4t3lem.2 ๐ต โˆˆ โ„•0
4t3lem.3 ๐ถ = (๐ต + 1)
4t3lem.4 (๐ด ยท ๐ต) = ๐ท
4t3lem.5 (๐ท + ๐ด) = ๐ธ
Assertion
Ref Expression
4t3lem (๐ด ยท ๐ถ) = ๐ธ

Proof of Theorem 4t3lem
StepHypRef Expression
1 4t3lem.3 . . 3 ๐ถ = (๐ต + 1)
21oveq2i 7373 . 2 (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ต + 1))
3 4t3lem.1 . . . . . 6 ๐ด โˆˆ โ„•0
43nn0cni 12432 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„‚
5 4t3lem.2 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„•0
65nn0cni 12432 . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„‚
7 ax-1cn 11116 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
84, 6, 7adddii 11174 . . . 4 (๐ด ยท (๐ต + 1)) = ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด ยท 1))
9 4t3lem.4 . . . . 5 (๐ด ยท ๐ต) = ๐ท
104mulid1i 11166 . . . . 5 (๐ด ยท 1) = ๐ด
119, 10oveq12i 7374 . . . 4 ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด ยท 1)) = (๐ท + ๐ด)
128, 11eqtri 2765 . . 3 (๐ด ยท (๐ต + 1)) = (๐ท + ๐ด)
13 4t3lem.5 . . 3 (๐ท + ๐ด) = ๐ธ
1412, 13eqtri 2765 . 2 (๐ด ยท (๐ต + 1)) = ๐ธ
152, 14eqtri 2765 1 (๐ด ยท ๐ถ) = ๐ธ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7362  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063  โ„•0cn0 12420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-mulcl 11120  ax-mulcom 11122  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1rid 11128  ax-cnre 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-nn 12161  df-n0 12421
This theorem is referenced by:  4t3e12  12723  4t4e16  12724  5t2e10  12725  5t3e15  12726  5t4e20  12727  5t5e25  12728  6t3e18  12730  6t4e24  12731  6t5e30  12732  6t6e36  12733  7t3e21  12735  7t4e28  12736  7t5e35  12737  7t6e42  12738  7t7e49  12739  8t3e24  12741  8t4e32  12742  8t5e40  12743  8t6e48  12744  8t7e56  12745  8t8e64  12746  9t3e27  12748  9t4e36  12749  9t5e45  12750  9t6e54  12751  9t7e63  12752  9t8e72  12753  9t9e81  12754
  Copyright terms: Public domain W3C validator