Theorem 4t3lem 12830

Description: Lemma for 4t3e12 12831 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
4t3lem.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4t3lem.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4t3lem.3	⊢ 𝐶 = (𝐵 + 1)
4t3lem.4	⊢ (𝐴 · 𝐵) = 𝐷
4t3lem.5	⊢ (𝐷 + 𝐴) = 𝐸

Assertion

Ref	Expression
4t3lem	⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸

Proof of Theorem 4t3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4t3lem.3	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐵 + 1)
2	1	oveq2i 7438	. 2 ⊢ (𝐴 · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 + 1))
3		4t3lem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12540	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
5		4t3lem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 12540	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11217	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	4, 6, 7	adddii 11277	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (𝐵 + 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 1))
9		4t3lem.4	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝐵) = 𝐷
10	4	mulridi 11269	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 1) = 𝐴
11	9, 10	oveq12i 7439	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 1)) = (𝐷 + 𝐴)
12	8, 11	eqtri 2757	. . 3 ⊢ (𝐴 · (𝐵 + 1)) = (𝐷 + 𝐴)
13		4t3lem.5	. . 3 ⊢ (𝐷 + 𝐴) = 𝐸
14	12, 13	eqtri 2757	. 2 ⊢ (𝐴 · (𝐵 + 1)) = 𝐸
15	2, 14	eqtri 2757	1 ⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2100  (class class class)co 7427  1c1 11160   + caddc 11162   · cmul 11164  ℕ₀cn0 12528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5305  ax-nul 5312  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-mulcl 11221  ax-mulcom 11223  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1rid 11229  ax-cnre 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-ral 3055  df-rex 3064  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3788  df-csb 3904  df-dif 3961  df-un 3963  df-in 3965  df-ss 3975  df-pss 3978  df-nul 4334  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4917  df-iun 5006  df-br 5155  df-opab 5217  df-mpt 5238  df-tr 5272  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6315  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-ov 7430  df-om 7882  df-2nd 8009  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8405  df-rdg 8444  df-nn 12269  df-n0 12529

This theorem is referenced by:  4t3e12  12831  4t4e16  12832  5t2e10  12833  5t3e15  12834  5t4e20  12835  5t5e25  12836  6t3e18  12838  6t4e24  12839  6t5e30  12840  6t6e36  12841  7t3e21  12843  7t4e28  12844  7t5e35  12845  7t6e42  12846  7t7e49  12847  8t3e24  12849  8t4e32  12850  8t5e40  12851  8t6e48  12852  8t7e56  12853  8t8e64  12854  9t3e27  12856  9t4e36  12857  9t5e45  12858  9t6e54  12859  9t7e63  12860  9t8e72  12861  9t9e81  12862