Theorem 4t3lem 12741

Description: Lemma for 4t3e12 12742 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
4t3lem.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4t3lem.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4t3lem.3	⊢ 𝐶 = (𝐵 + 1)
4t3lem.4	⊢ (𝐴 · 𝐵) = 𝐷
4t3lem.5	⊢ (𝐷 + 𝐴) = 𝐸

Assertion

Ref	Expression
4t3lem	⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸

Proof of Theorem 4t3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4t3lem.3	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐵 + 1)
2	1	oveq2i 7378	. 2 ⊢ (𝐴 · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 + 1))
3		4t3lem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12449	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
5		4t3lem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 12449	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11096	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	4, 6, 7	adddii 11157	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (𝐵 + 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 1))
9		4t3lem.4	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝐵) = 𝐷
10	4	mulridi 11149	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 1) = 𝐴
11	9, 10	oveq12i 7379	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 1)) = (𝐷 + 𝐴)
12	8, 11	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (𝐴 · (𝐵 + 1)) = (𝐷 + 𝐴)
13		4t3lem.5	. . 3 ⊢ (𝐷 + 𝐴) = 𝐸
14	12, 13	eqtri 2759	. 2 ⊢ (𝐴 · (𝐵 + 1)) = 𝐸
15	2, 14	eqtri 2759	1 ⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  ℕ₀cn0 12437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-mulcl 11100  ax-mulcom 11102  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1rid 11108  ax-cnre 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-nn 12175  df-n0 12438

This theorem is referenced by:  4t3e12  12742  4t4e16  12743  5t2e10  12744  5t3e15  12745  5t4e20  12746  5t5e25  12747  6t3e18  12749  6t4e24  12750  6t5e30  12751  6t6e36  12752  7t3e21  12754  7t4e28  12755  7t5e35  12756  7t6e42  12757  7t7e49  12758  8t3e24  12760  8t4e32  12761  8t5e40  12762  8t6e48  12763  8t7e56  12764  8t8e64  12765  9t3e27  12767  9t4e36  12768  9t5e45  12769  9t6e54  12770  9t7e63  12771  9t8e72  12772  9t9e81  12773