Theorem hhcnf 32553

Description: The continuous functionals of Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhcn.1	⊢ 𝐷 = (normℎ ∘ −ℎ )
hhcn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
hhcn.4	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
hhcnf	⊢ ContFn = (𝐽 Cn 𝐾)

Proof of Theorem hhcnf

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3417	. 2 ⊢ {𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)} = {𝑡 ∣ (𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦))}
2		df-cnfn 32495	. 2 ⊢ ContFn = {𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)}
3		hhcn.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐷 = (normℎ ∘ −ℎ )
4	3	hilmetdval 31844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑤)))
5		normsub 31791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑤)) = (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)))
6	4, 5	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)))
7	6	adantll 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)))
8	7	breq1d 5116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 ↔ (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧))
9		ffvelcdm 7111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑡‘𝑥) ∈ ℂ)
10		ffvelcdm 7111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑡‘𝑤) ∈ ℂ)
11	9, 10	anim12dan 631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑡‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑡‘𝑤) ∈ ℂ))
12		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
13	12	cnmetdval 25133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑡‘𝑤) ∈ ℂ) → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) = (abs‘((𝑡‘𝑥) − (𝑡‘𝑤))))
14		abssub 15535	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑡‘𝑤) ∈ ℂ) → (abs‘((𝑡‘𝑥) − (𝑡‘𝑤))) = (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))))
15	13, 14	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑡‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑡‘𝑤) ∈ ℂ) → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) = (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))))
16	11, 15	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) = (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))))
17	16	anassrs 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) = (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))))
18	17	breq1d 5116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦))
19	8, 18	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
20	19	ralbidva 3187	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
21	20	rexbidv 3190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
22	21	ralbidv 3189	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
23	22	ralbidva 3187	. . . . 5 ⊢ (𝑡: ℋ⟶ℂ → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
24	23	pm5.32i 585	. . . 4 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦)) ↔ (𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
25	3	hilxmet 31843	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ)
26		cnxmet 25135	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
27		hhcn.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
28		hhcn.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
29	28	cnfldtopn 25144	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
30	27, 29	metcn 24906	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦))))
31	25, 26, 30	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦)))
32		cnex 11318	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
33		ax-hilex 31647	. . . . . 6 ⊢ ℋ ∈ V
34	32, 33	elmap 8935	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ↔ 𝑡: ℋ⟶ℂ)
35	34	anbi1i 636	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)) ↔ (𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
36	24, 31, 35	3bitr4i 306	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
37	36	eqabi 2899	. 2 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = {𝑡 ∣ (𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦))}
38	1, 2, 37	3eqtr4i 2796	1 ⊢ ContFn = (𝐽 Cn 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  {crab 3416   class class class wbr 5106   ∘ ccom 5660  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449   ↑_m cmap 8883  ℂcc 11235   < clt 11380   − cmin 11578  ℝ⁺crp 13158  abscabs 15442  TopOpenctopn 17633  ∞Metcxmet 21705  MetOpencmopn 21710  ℂ_fldccnfld 21720   Cn ccn 23586   ℋchba 31567  norm_ℎcno 31571   −_ℎ cmv 31573  ContFnccnfn 31601

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315  ax-addf 11316  ax-mulf 11317  ax-hilex 31647  ax-hfvadd 31648  ax-hvcom 31649  ax-hvass 31650  ax-hv0cl 31651  ax-hvaddid 31652  ax-hfvmul 31653  ax-hvmulid 31654  ax-hvmulass 31655  ax-hvdistr1 31656  ax-hvdistr2 31657  ax-hvmul0 31658  ax-hfi 31727  ax-his1 31730  ax-his2 31731  ax-his3 31732  ax-his4 31733

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-map 8885  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-sup 9469  df-inf 9470  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-q 13114  df-rp 13159  df-xneg 13279  df-xadd 13280  df-xmul 13281  df-fz 13678  df-seq 14183  df-exp 14243  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-struct 17366  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-starv 17484  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-unif 17492  df-rest 17634  df-topn 17635  df-topgen 17655  df-psmet 21712  df-xmet 21713  df-met 21714  df-bl 21715  df-mopn 21716  df-cnfld 21721  df-top 23256  df-topon 23273  df-bases 23308  df-cn 23589  df-cnp 23590  df-grpo 31141  df-gid 31142  df-ginv 31143  df-gdiv 31144  df-ablo 31193  df-vc 31207  df-nv 31240  df-va 31243  df-ba 31244  df-sm 31245  df-0v 31246  df-vs 31247  df-nmcv 31248  df-ims 31249  df-hnorm 31616  df-hvsub 31619  df-cnfn 32495

This theorem is used by:  nlelchi  32709