Theorem hhcnf 30168

Description: The continuous functionals of Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhcn.1	⊢ 𝐷 = (normℎ ∘ −ℎ )
hhcn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
hhcn.4	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
hhcnf	⊢ ContFn = (𝐽 Cn 𝐾)

Proof of Theorem hhcnf

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3072	. 2 ⊢ {𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)} = {𝑡 ∣ (𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦))}
2		df-cnfn 30110	. 2 ⊢ ContFn = {𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)}
3		hhcn.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐷 = (normℎ ∘ −ℎ )
4	3	hilmetdval 29459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑤)))
5		normsub 29406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑤)) = (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)))
6	4, 5	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)))
7	6	adantll 710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)))
8	7	breq1d 5080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 ↔ (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧))
9		ffvelrn 6941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑡‘𝑥) ∈ ℂ)
10		ffvelrn 6941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑡‘𝑤) ∈ ℂ)
11	9, 10	anim12dan 618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑡‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑡‘𝑤) ∈ ℂ))
12		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
13	12	cnmetdval 23840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑡‘𝑤) ∈ ℂ) → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) = (abs‘((𝑡‘𝑥) − (𝑡‘𝑤))))
14		abssub 14966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑡‘𝑤) ∈ ℂ) → (abs‘((𝑡‘𝑥) − (𝑡‘𝑤))) = (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))))
15	13, 14	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑡‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑡‘𝑤) ∈ ℂ) → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) = (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))))
16	11, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) = (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))))
17	16	anassrs 467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) = (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))))
18	17	breq1d 5080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦))
19	8, 18	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
20	19	ralbidva 3119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
21	20	rexbidv 3225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
22	21	ralbidv 3120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
23	22	ralbidva 3119	. . . . 5 ⊢ (𝑡: ℋ⟶ℂ → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
24	23	pm5.32i 574	. . . 4 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦)) ↔ (𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
25	3	hilxmet 29458	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ)
26		cnxmet 23842	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
27		hhcn.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
28		hhcn.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
29	28	cnfldtopn 23851	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
30	27, 29	metcn 23605	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦))))
31	25, 26, 30	mp2an 688	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦)))
32		cnex 10883	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
33		ax-hilex 29262	. . . . . 6 ⊢ ℋ ∈ V
34	32, 33	elmap 8617	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ↔ 𝑡: ℋ⟶ℂ)
35	34	anbi1i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)) ↔ (𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
36	24, 31, 35	3bitr4i 302	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
37	36	abbi2i 2878	. 2 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = {𝑡 ∣ (𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦))}
38	1, 2, 37	3eqtr4i 2776	1 ⊢ ContFn = (𝐽 Cn 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067   class class class wbr 5070   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  ℂcc 10800   < clt 10940   − cmin 11135  ℝ⁺crp 12659  abscabs 14873  TopOpenctopn 17049  ∞Metcxmet 20495  MetOpencmopn 20500  ℂ_fldccnfld 20510   Cn ccn 22283   ℋchba 29182  norm_ℎcno 29186   −_ℎ cmv 29188  ContFnccnfn 29216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hvcom 29264  ax-hvass 29265  ax-hv0cl 29266  ax-hvaddid 29267  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulid 29269  ax-hvmulass 29270  ax-hvdistr1 29271  ax-hvdistr2 29272  ax-hvmul0 29273  ax-hfi 29342  ax-his1 29345  ax-his2 29346  ax-his3 29347  ax-his4 29348

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-rest 17050  df-topn 17051  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-gdiv 28759  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-vs 28862  df-nmcv 28863  df-ims 28864  df-hnorm 29231  df-hvsub 29234  df-cnfn 30110

This theorem is referenced by:  nlelchi  30324