HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhcnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhcnf 29609
Description: The continuous functionals of Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhcn.1 𝐷 = (norm ∘ − )
hhcn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
hhcn.4 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
hhcnf ContFn = (𝐽 Cn 𝐾)

Proof of Theorem hhcnf
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3144 . 2 {𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)} = {𝑡 ∣ (𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦))}
2 df-cnfn 29551 . 2 ContFn = {𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)}
3 hhcn.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 = (norm ∘ − )
43hilmetdval 28900 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (norm‘(𝑥 𝑤)))
5 normsub 28847 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑥 𝑤)) = (norm‘(𝑤 𝑥)))
64, 5eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (norm‘(𝑤 𝑥)))
76adantll 710 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (norm‘(𝑤 𝑥)))
87breq1d 5067 . . . . . . . . . 10 (((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 ↔ (norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧))
9 ffvelrn 6841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑡𝑥) ∈ ℂ)
10 ffvelrn 6841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑡𝑤) ∈ ℂ)
119, 10anim12dan 618 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑡𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑡𝑤) ∈ ℂ))
12 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
1312cnmetdval 23306 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑡𝑤) ∈ ℂ) → ((𝑡𝑥)(abs ∘ − )(𝑡𝑤)) = (abs‘((𝑡𝑥) − (𝑡𝑤))))
14 abssub 14674 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑡𝑤) ∈ ℂ) → (abs‘((𝑡𝑥) − (𝑡𝑤))) = (abs‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))))
1513, 14eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑡𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑡𝑤) ∈ ℂ) → ((𝑡𝑥)(abs ∘ − )(𝑡𝑤)) = (abs‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))))
1611, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑡𝑥)(abs ∘ − )(𝑡𝑤)) = (abs‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))))
1716anassrs 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑡𝑥)(abs ∘ − )(𝑡𝑤)) = (abs‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))))
1817breq1d 5067 . . . . . . . . . 10 (((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑡𝑥)(abs ∘ − )(𝑡𝑤)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦))
198, 18imbi12d 346 . . . . . . . . 9 (((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)(abs ∘ − )(𝑡𝑤)) < 𝑦) ↔ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
2019ralbidva 3193 . . . . . . . 8 ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)(abs ∘ − )(𝑡𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
2120rexbidv 3294 . . . . . . 7 ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)(abs ∘ − )(𝑡𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
2221ralbidv 3194 . . . . . 6 ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)(abs ∘ − )(𝑡𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
2322ralbidva 3193 . . . . 5 (𝑡: ℋ⟶ℂ → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)(abs ∘ − )(𝑡𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
2423pm5.32i 575 . . . 4 ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)(abs ∘ − )(𝑡𝑤)) < 𝑦)) ↔ (𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
253hilxmet 28899 . . . . 5 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ)
26 cnxmet 23308 . . . . 5 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
27 hhcn.2 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
28 hhcn.4 . . . . . . 7 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
2928cnfldtopn 23317 . . . . . 6 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3027, 29metcn 23080 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)(abs ∘ − )(𝑡𝑤)) < 𝑦))))
3125, 26, 30mp2an 688 . . . 4 (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)(abs ∘ − )(𝑡𝑤)) < 𝑦)))
32 cnex 10606 . . . . . 6 ℂ ∈ V
33 ax-hilex 28703 . . . . . 6 ℋ ∈ V
3432, 33elmap 8424 . . . . 5 (𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ↔ 𝑡: ℋ⟶ℂ)
3534anbi1i 623 . . . 4 ((𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)) ↔ (𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
3624, 31, 353bitr4i 304 . . 3 (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
3736abbi2i 2950 . 2 (𝐽 Cn 𝐾) = {𝑡 ∣ (𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦))}
381, 2, 373eqtr4i 2851 1 ContFn = (𝐽 Cn 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {cab 2796  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139   class class class wbr 5057  ccom 5552  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  cc 10523   < clt 10663  cmin 10858  +crp 12377  abscabs 14581  TopOpenctopn 16683  ∞Metcxmet 20458  MetOpencmopn 20463  fldccnfld 20473   Cn ccn 21760  chba 28623  normcno 28627   cmv 28629  ContFnccnfn 28657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605  ax-hilex 28703  ax-hfvadd 28704  ax-hvcom 28705  ax-hvass 28706  ax-hv0cl 28707  ax-hvaddid 28708  ax-hfvmul 28709  ax-hvmulid 28710  ax-hvmulass 28711  ax-hvdistr1 28712  ax-hvdistr2 28713  ax-hvmul0 28714  ax-hfi 28783  ax-his1 28786  ax-his2 28787  ax-his3 28788  ax-his4 28789
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-rest 16684  df-topn 16685  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-grpo 28197  df-gid 28198  df-ginv 28199  df-gdiv 28200  df-ablo 28249  df-vc 28263  df-nv 28296  df-va 28299  df-ba 28300  df-sm 28301  df-0v 28302  df-vs 28303  df-nmcv 28304  df-ims 28305  df-hnorm 28672  df-hvsub 28675  df-cnfn 29551
This theorem is referenced by:  nlelchi  29765
  Copyright terms: Public domain W3C validator