Theorem hhcnf 32386

Description: The continuous functionals of Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhcn.1	⊢ 𝐷 = (normℎ ∘ −ℎ )
hhcn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
hhcn.4	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
hhcnf	⊢ ContFn = (𝐽 Cn 𝐾)

Proof of Theorem hhcnf

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3413	. 2 ⊢ {𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)} = {𝑡 ∣ (𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦))}
2		df-cnfn 32328	. 2 ⊢ ContFn = {𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)}
3		hhcn.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐷 = (normℎ ∘ −ℎ )
4	3	hilmetdval 31677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑤)))
5		normsub 31624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑤)) = (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)))
6	4, 5	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)))
7	6	adantll 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)))
8	7	breq1d 5113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 ↔ (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧))
9		ffvelcdm 7074	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑡‘𝑥) ∈ ℂ)
10		ffvelcdm 7074	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑡‘𝑤) ∈ ℂ)
11	9, 10	anim12dan 631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑡‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑡‘𝑤) ∈ ℂ))
12		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
13	12	cnmetdval 24996	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑡‘𝑤) ∈ ℂ) → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) = (abs‘((𝑡‘𝑥) − (𝑡‘𝑤))))
14		abssub 15414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑡‘𝑤) ∈ ℂ) → (abs‘((𝑡‘𝑥) − (𝑡‘𝑤))) = (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))))
15	13, 14	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑡‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑡‘𝑤) ∈ ℂ) → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) = (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))))
16	11, 15	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) = (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))))
17	16	anassrs 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) = (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))))
18	17	breq1d 5113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦))
19	8, 18	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
20	19	ralbidva 3183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
21	20	rexbidv 3186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
22	21	ralbidv 3185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
23	22	ralbidva 3183	. . . . 5 ⊢ (𝑡: ℋ⟶ℂ → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
24	23	pm5.32i 585	. . . 4 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦)) ↔ (𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
25	3	hilxmet 31676	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ)
26		cnxmet 24998	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
27		hhcn.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
28		hhcn.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
29	28	cnfldtopn 25007	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
30	27, 29	metcn 24769	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦))))
31	25, 26, 30	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑡‘𝑤)) < 𝑦)))
32		cnex 11205	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
33		ax-hilex 31480	. . . . . 6 ⊢ ℋ ∈ V
34	32, 33	elmap 8878	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ↔ 𝑡: ℋ⟶ℂ)
35	34	anbi1i 636	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)) ↔ (𝑡: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
36	24, 31, 35	3bitr4i 306	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
37	36	eqabi 2895	. 2 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = {𝑡 ∣ (𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦))}
38	1, 2, 37	3eqtr4i 2793	1 ⊢ ContFn = (𝐽 Cn 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2738  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   class class class wbr 5103   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826  ℂcc 11122   < clt 11267   − cmin 11465  ℝ⁺crp 13042  abscabs 15321  TopOpenctopn 17506  ∞Metcxmet 21570  MetOpencmopn 21575  ℂ_fldccnfld 21585   Cn ccn 23449   ℋchba 31400  norm_ℎcno 31404   −_ℎ cmv 31406  ContFnccnfn 31434

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204  ax-hilex 31480  ax-hfvadd 31481  ax-hvcom 31482  ax-hvass 31483  ax-hv0cl 31484  ax-hvaddid 31485  ax-hfvmul 31486  ax-hvmulid 31487  ax-hvmulass 31488  ax-hvdistr1 31489  ax-hvdistr2 31490  ax-hvmul0 31491  ax-hfi 31560  ax-his1 31563  ax-his2 31564  ax-his3 31565  ax-his4 31566

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-fz 13562  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-struct 17239  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-rest 17507  df-topn 17508  df-topgen 17528  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-bases 23171  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-grpo 30974  df-gid 30975  df-ginv 30976  df-gdiv 30977  df-ablo 31026  df-vc 31040  df-nv 31073  df-va 31076  df-ba 31077  df-sm 31078  df-0v 31079  df-vs 31080  df-nmcv 31081  df-ims 31082  df-hnorm 31449  df-hvsub 31452  df-cnfn 32328

This theorem is used by:  nlelchi  32542