Theorem abssubd 15473

Description: Swapping order of subtraction doesn't change the absolute value. Example of [Apostol] p. 363. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abssubd	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem abssubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		abssub 15344	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ℂcc 11064   − cmin 11407  abscabs 15251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-abs 15253

This theorem is referenced by:  rlimuni  15567  climuni  15569  2clim  15589  rlimrecl  15597  subcn2  15612  reccn2  15614  climcau  15688  caucvgrlem  15690  serf0  15698  mertenslem2  15905  xrsxmet  24857  elcncf2  24939  cnllycmp  25005  dvlip  26042  c1lip1  26046  dvfsumrlim2  26081  dvfsum2  26083  ftc1a  26086  aalioulem3  26385  ulmcaulem  26444  ulmcau  26445  ulmbdd  26448  ulmcn  26449  ulmdvlem1  26450  logcnlem4  26697  ssscongptld  26874  chordthmlem3  26886  chordthmlem4  26887  lgamucov  27089  ftalem2  27125  logfacrlim  27275  dchrisumlem3  27542  dchrisum0lem1b  27566  mulog2sumlem2  27586  pntrlog2bndlem3  27630  smcnlem  30856  constrrtcc  33992  iconstr  34023  qqhucn  34249  dnibndlem2  36877  dnibndlem6  36881  dnibndlem8  36883  dnibnd  36889  unbdqndv2lem1  36907  knoppndvlem10  36919  knoppndvlem15  36924  ftc1anclem8  38159  irrapxlem3  43361  irrapxlem5  43363  pell14qrgt0  43396  acongeq  43520  absimlere  46013  limcrecl  46165  islpcn  46173  lptre2pt  46174  0ellimcdiv  46183  limclner  46185  dvbdfbdioolem2  46463  ioodvbdlimc1lem1  46465  ioodvbdlimc1lem2  46466  ioodvbdlimc2lem  46468  fourierdlem42  46683  ioorrnopnlem  46838  smflimlem4  47308