Theorem abssubd 15017

Description: Swapping order of subtraction doesn't change the absolute value. Example of [Apostol] p. 363. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abssubd	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem abssubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		abssub 14890	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727   − cmin 11062  abscabs 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-2 11893  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-abs 14799

This theorem is referenced by:  rlimuni  15111  climuni  15113  2clim  15133  rlimrecl  15141  subcn2  15156  reccn2  15158  climcau  15234  caucvgrlem  15236  serf0  15244  mertenslem2  15449  xrsxmet  23706  elcncf2  23787  cnllycmp  23853  dvlip  24890  c1lip1  24894  dvfsumrlim2  24929  dvfsum2  24931  ftc1a  24934  aalioulem3  25227  ulmcaulem  25286  ulmcau  25287  ulmbdd  25290  ulmcn  25291  ulmdvlem1  25292  logcnlem4  25533  ssscongptld  25705  chordthmlem3  25717  chordthmlem4  25718  lgamucov  25920  ftalem2  25956  logfacrlim  26105  dchrisumlem3  26372  dchrisum0lem1b  26396  mulog2sumlem2  26416  pntrlog2bndlem3  26460  smcnlem  28778  qqhucn  31654  dnibndlem2  34396  dnibndlem6  34400  dnibndlem8  34402  dnibnd  34408  unbdqndv2lem1  34426  knoppndvlem10  34438  knoppndvlem15  34443  ftc1anclem8  35594  irrapxlem3  40349  irrapxlem5  40351  pell14qrgt0  40384  acongeq  40508  absimlere  42695  limcrecl  42845  islpcn  42855  lptre2pt  42856  0ellimcdiv  42865  limclner  42867  dvbdfbdioolem2  43145  ioodvbdlimc1lem1  43147  ioodvbdlimc1lem2  43148  ioodvbdlimc2lem  43150  fourierdlem42  43365  ioorrnopnlem  43520  smflimlem4  43981