Theorem abssubd 15387

Description: Swapping order of subtraction doesn't change the absolute value. Example of [Apostol] p. 363. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abssubd	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem abssubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		abssub 15260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396  ℂcc 11095   − cmin 11431  abscabs 15168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-2 12262  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-abs 15170

This theorem is referenced by:  rlimuni  15481  climuni  15483  2clim  15503  rlimrecl  15511  subcn2  15526  reccn2  15528  climcau  15604  caucvgrlem  15606  serf0  15614  mertenslem2  15818  xrsxmet  24294  elcncf2  24375  cnllycmp  24441  dvlip  25479  c1lip1  25483  dvfsumrlim2  25518  dvfsum2  25520  ftc1a  25523  aalioulem3  25816  ulmcaulem  25875  ulmcau  25876  ulmbdd  25879  ulmcn  25880  ulmdvlem1  25881  logcnlem4  26122  ssscongptld  26294  chordthmlem3  26306  chordthmlem4  26307  lgamucov  26509  ftalem2  26545  logfacrlim  26694  dchrisumlem3  26961  dchrisum0lem1b  26985  mulog2sumlem2  27005  pntrlog2bndlem3  27049  smcnlem  29915  qqhucn  32903  dnibndlem2  35260  dnibndlem6  35264  dnibndlem8  35266  dnibnd  35272  unbdqndv2lem1  35290  knoppndvlem10  35302  knoppndvlem15  35307  ftc1anclem8  36473  irrapxlem3  41433  irrapxlem5  41435  pell14qrgt0  41468  acongeq  41593  absimlere  44063  limcrecl  44218  islpcn  44228  lptre2pt  44229  0ellimcdiv  44238  limclner  44240  dvbdfbdioolem2  44518  ioodvbdlimc1lem1  44520  ioodvbdlimc1lem2  44521  ioodvbdlimc2lem  44523  fourierdlem42  44738  ioorrnopnlem  44893  smflimlem4  45363