Theorem abssubd 15629

Description: Swapping order of subtraction doesn't change the absolute value. Example of [Apostol] p. 363. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abssubd	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem abssubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		abssub 15500	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202   − cmin 11545  abscabs 15407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-abs 15409

This theorem is used by:  rlimuni  15723  climuni  15725  2clim  15745  rlimrecl  15753  subcn2  15768  reccn2  15770  climcau  15844  caucvgrlem  15846  serf0  15854  mertenslem2  16060  xrsxmet  25135  elcncf2  25217  cnllycmp  25283  dvlip  26319  c1lip1  26323  dvfsumrlim2  26358  dvfsum2  26360  ftc1a  26363  aalioulem3  26667  ulmcaulem  26727  ulmcau  26728  ulmbdd  26731  ulmcn  26732  ulmdvlem1  26733  logcnlem4  26979  ssscongptld  27156  chordthmlem3  27168  chordthmlem4  27169  lgamucov  27371  ftalem2  27407  logfacrlim  27557  dchrisumlem3  27824  dchrisum0lem1b  27848  mulog2sumlem2  27868  pntrlog2bndlem3  27912  smcnlem  31305  constrrtcc  34414  iconstr  34445  qqhucn  34671  dnibndlem2  37438  dnibndlem6  37442  dnibndlem8  37444  dnibnd  37450  unbdqndv2lem1  37468  knoppndvlem10  37480  knoppndvlem15  37485  ftc1anclem8  38712  irrapxlem3  43925  irrapxlem5  43927  pell14qrgt0  43960  acongeq  44084  absimlere  46583  limcrecl  46735  islpcn  46743  lptre2pt  46744  0ellimcdiv  46753  limclner  46755  dvbdfbdioolem2  47033  ioodvbdlimc1lem1  47035  ioodvbdlimc1lem2  47036  ioodvbdlimc2lem  47038  fourierdlem42  47253  ioorrnopnlem  47408  smflimlem4  47878