Theorem abssubd 15416

Description: Swapping order of subtraction doesn't change the absolute value. Example of [Apostol] p. 363. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abssubd	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem abssubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		abssub 15287	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034   − cmin 11375  abscabs 15194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-abs 15196

This theorem is referenced by:  rlimuni  15510  climuni  15512  2clim  15532  rlimrecl  15540  subcn2  15555  reccn2  15557  climcau  15631  caucvgrlem  15633  serf0  15641  mertenslem2  15848  xrsxmet  24800  elcncf2  24882  cnllycmp  24948  dvlip  25985  c1lip1  25989  dvfsumrlim2  26024  dvfsum2  26026  ftc1a  26029  aalioulem3  26325  ulmcaulem  26384  ulmcau  26385  ulmbdd  26388  ulmcn  26389  ulmdvlem1  26390  logcnlem4  26634  ssscongptld  26811  chordthmlem3  26823  chordthmlem4  26824  lgamucov  27026  ftalem2  27062  logfacrlim  27212  dchrisumlem3  27479  dchrisum0lem1b  27503  mulog2sumlem2  27523  pntrlog2bndlem3  27567  smcnlem  30793  constrrtcc  33926  iconstr  33957  qqhucn  34183  dnibndlem2  36792  dnibndlem6  36796  dnibndlem8  36798  dnibnd  36804  unbdqndv2lem1  36822  knoppndvlem10  36834  knoppndvlem15  36839  ftc1anclem8  38074  irrapxlem3  43276  irrapxlem5  43278  pell14qrgt0  43311  acongeq  43435  absimlere  45929  limcrecl  46081  islpcn  46089  lptre2pt  46090  0ellimcdiv  46099  limclner  46101  dvbdfbdioolem2  46379  ioodvbdlimc1lem1  46381  ioodvbdlimc1lem2  46382  ioodvbdlimc2lem  46384  fourierdlem42  46599  ioorrnopnlem  46754  smflimlem4  47224