Theorem abssubd 15396

Description: Swapping order of subtraction doesn't change the absolute value. Example of [Apostol] p. 363. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abssubd	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem abssubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		abssub 15269	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℂcc 11103   − cmin 11440  abscabs 15177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-abs 15179

This theorem is referenced by:  rlimuni  15490  climuni  15492  2clim  15512  rlimrecl  15520  subcn2  15535  reccn2  15537  climcau  15613  caucvgrlem  15615  serf0  15623  mertenslem2  15827  xrsxmet  24635  elcncf2  24720  cnllycmp  24792  dvlip  25836  c1lip1  25840  dvfsumrlim2  25877  dvfsum2  25879  ftc1a  25882  aalioulem3  26176  ulmcaulem  26235  ulmcau  26236  ulmbdd  26239  ulmcn  26240  ulmdvlem1  26241  logcnlem4  26483  ssscongptld  26658  chordthmlem3  26670  chordthmlem4  26671  lgamucov  26874  ftalem2  26910  logfacrlim  27061  dchrisumlem3  27328  dchrisum0lem1b  27352  mulog2sumlem2  27372  pntrlog2bndlem3  27416  smcnlem  30374  qqhucn  33427  dnibndlem2  35811  dnibndlem6  35815  dnibndlem8  35817  dnibnd  35823  unbdqndv2lem1  35841  knoppndvlem10  35853  knoppndvlem15  35858  ftc1anclem8  37024  irrapxlem3  42017  irrapxlem5  42019  pell14qrgt0  42052  acongeq  42177  absimlere  44641  limcrecl  44796  islpcn  44806  lptre2pt  44807  0ellimcdiv  44816  limclner  44818  dvbdfbdioolem2  45096  ioodvbdlimc1lem1  45098  ioodvbdlimc1lem2  45099  ioodvbdlimc2lem  45101  fourierdlem42  45316  ioorrnopnlem  45471  smflimlem4  45941