Theorem abssubd 15492

Description: Swapping order of subtraction doesn't change the absolute value. Example of [Apostol] p. 363. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abssubd	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem abssubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		abssub 15365	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   − cmin 11492  abscabs 15273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-abs 15275

This theorem is referenced by:  rlimuni  15586  climuni  15588  2clim  15608  rlimrecl  15616  subcn2  15631  reccn2  15633  climcau  15707  caucvgrlem  15709  serf0  15717  mertenslem2  15921  xrsxmet  24831  elcncf2  24916  cnllycmp  24988  dvlip  26032  c1lip1  26036  dvfsumrlim2  26073  dvfsum2  26075  ftc1a  26078  aalioulem3  26376  ulmcaulem  26437  ulmcau  26438  ulmbdd  26441  ulmcn  26442  ulmdvlem1  26443  logcnlem4  26687  ssscongptld  26865  chordthmlem3  26877  chordthmlem4  26878  lgamucov  27081  ftalem2  27117  logfacrlim  27268  dchrisumlem3  27535  dchrisum0lem1b  27559  mulog2sumlem2  27579  pntrlog2bndlem3  27623  smcnlem  30716  constrrtcc  33776  qqhucn  33993  dnibndlem2  36480  dnibndlem6  36484  dnibndlem8  36486  dnibnd  36492  unbdqndv2lem1  36510  knoppndvlem10  36522  knoppndvlem15  36527  ftc1anclem8  37707  irrapxlem3  42835  irrapxlem5  42837  pell14qrgt0  42870  acongeq  42995  absimlere  45490  limcrecl  45644  islpcn  45654  lptre2pt  45655  0ellimcdiv  45664  limclner  45666  dvbdfbdioolem2  45944  ioodvbdlimc1lem1  45946  ioodvbdlimc1lem2  45947  ioodvbdlimc2lem  45949  fourierdlem42  46164  ioorrnopnlem  46319  smflimlem4  46789