Theorem abssubd 15667

Description: Swapping order of subtraction doesn't change the absolute value. Example of [Apostol] p. 363. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abssubd	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem abssubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		abssub 15537	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237   − cmin 11580  abscabs 15444

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-abs 15446

This theorem is used by:  rlimuni  15761  climuni  15763  2clim  15783  rlimrecl  15791  subcn2  15806  reccn2  15808  climcau  15882  caucvgrlem  15884  serf0  15892  mertenslem2  16098  xrsxmet  25184  elcncf2  25266  cnllycmp  25332  dvlip  26368  c1lip1  26372  dvfsumrlim2  26407  dvfsum2  26409  ftc1a  26412  aalioulem3  26718  ulmcaulem  26778  ulmcau  26779  ulmbdd  26782  ulmcn  26783  ulmdvlem1  26784  logcnlem4  27030  ssscongptld  27207  chordthmlem3  27219  chordthmlem4  27220  lgamucov  27422  ftalem2  27458  logfacrlim  27608  dchrisumlem3  27875  dchrisum0lem1b  27899  mulog2sumlem2  27919  pntrlog2bndlem3  27963  smcnlem  31356  constrrtcc  34478  iconstr  34509  qqhucn  34735  dnibndlem2  37560  dnibndlem6  37564  dnibndlem8  37566  dnibnd  37572  unbdqndv2lem1  37590  knoppndvlem10  37602  knoppndvlem15  37607  ftc1anclem8  38886  irrapxlem3  44097  irrapxlem5  44099  pell14qrgt0  44132  acongeq  44256  absimlere  46762  limcrecl  46914  islpcn  46922  lptre2pt  46923  0ellimcdiv  46932  limclner  46934  dvbdfbdioolem2  47212  ioodvbdlimc1lem1  47214  ioodvbdlimc1lem2  47215  ioodvbdlimc2lem  47217  fourierdlem42  47432  ioorrnopnlem  47587  smflimlem4  48057