Theorem cau3 15391

Description: Convert between three-quantifier and four-quantifier versions of the Cauchy criterion. (In particular, the four-quantifier version has no occurrence of 𝑗 in the assertion, so it can be used with rexanuz 15381 and friends.) (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cau3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cau3	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑚)   𝑍(𝑚)

Proof of Theorem cau3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cau3.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		uzssz 12897	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
3	1, 2	eqsstri 4030	. . 3 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
4		id 22	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
5		eleq1 2827	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
6		eleq1 2827	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ))
7		abssub 15362	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑘))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
8	7	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑘))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
9		abssub 15362	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑚) − (𝐹‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑚))))
10	9	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑚) − (𝐹‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑚))))
11		abs3lem 15374	. . . 4 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
12	11	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
13	3, 4, 5, 6, 8, 10, 12	cau3lem 15390	. 2 ⊢ (⊤ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
14	13	mptru 1544	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152   < clt 11293   − cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ℝ⁺crp 13032  abscabs 15270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272

This theorem is referenced by:  cau4  15392  serf0  15714