MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  algcvgblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem algcvgblem 16134
Description: Lemma for algcvgb 16135. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
algcvgblem ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑀 = 0 → 𝑁 = 0))))

Proof of Theorem algcvgblem
StepHypRef Expression
1 imor 853 . . . . 5 ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ 𝑁 < 𝑀))
2 0re 10835 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
3 nn0re 12099 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
43adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
5 ltnle 10912 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 0))
62, 4, 5sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 0))
7 nn0le0eq0 12118 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 0 ↔ 𝑀 = 0))
87notbid 321 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 ≤ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0))
98adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑀 ≤ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0))
106, 9bitrd 282 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 = 0))
11 df-ne 2941 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
1210, 11bitr4di 292 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀𝑀 ≠ 0))
1312anbi2d 632 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 0 < 𝑀) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ≠ 0)))
14 nne 2944 . . . . . . . . . 10 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0)
15 breq1 5056 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < 𝑀))
1614, 15sylbi 220 . . . . . . . . 9 𝑁 ≠ 0 → (𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < 𝑀))
1716biimpar 481 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 0 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
1813, 17syl6bir 257 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 < 𝑀))
1918expd 419 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)))
20 ax-1 6 . . . . . 6 (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))
21 jaob 962 . . . . . 6 (((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)) ↔ ((¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)) ∧ (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))))
2219, 20, 21sylanblrc 593 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)))
231, 22syl5bi 245 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)))
24 nn0ge0 12115 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
2524adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑁)
26 nn0re 12099 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
27 lelttr 10923 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
282, 27mp3an1 1450 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
2926, 3, 28syl2anr 600 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
3025, 29mpand 695 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 → 0 < 𝑀))
3130, 12sylibd 242 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀𝑀 ≠ 0))
3231imim2d 57 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) → (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)))
3323, 32jcad 516 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) → ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0))))
34 pm3.34 766 . . 3 (((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)) → (𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))
3533, 34impbid1 228 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0))))
36 con34b 319 . . . 4 ((𝑀 = 0 → 𝑁 = 0) ↔ (¬ 𝑁 = 0 → ¬ 𝑀 = 0))
37 df-ne 2941 . . . . 5 (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
3837, 11imbi12i 354 . . . 4 ((𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0) ↔ (¬ 𝑁 = 0 → ¬ 𝑀 = 0))
3936, 38bitr4i 281 . . 3 ((𝑀 = 0 → 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0))
4039anbi2i 626 . 2 (((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑀 = 0 → 𝑁 = 0)) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)))
4135, 40bitr4di 292 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑀 = 0 → 𝑁 = 0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940   class class class wbr 5053  cr 10728  0cc0 10729   < clt 10867  cle 10868  0cn0 12090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091
This theorem is referenced by:  algcvgb  16135
  Copyright terms: Public domain W3C validator