Theorem algcvgblem 16516

Description: Lemma for algcvgb 16517. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
algcvgblem	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑀 = 0 → 𝑁 = 0))))

Proof of Theorem algcvgblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imor 851	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ 𝑁 < 𝑀))
2		0re 11218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		nn0re 12483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
4	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
5		ltnle 11295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 0))
6	2, 4, 5	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 0))
7		nn0le0eq0 12502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 0 ↔ 𝑀 = 0))
8	7	notbid 317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 ≤ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0))
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑀 ≤ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0))
10	6, 9	bitrd 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 = 0))
11		df-ne 2941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
12	10, 11	bitr4di 288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀 ↔ 𝑀 ≠ 0))
13	12	anbi2d 629	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 0 < 𝑀) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ≠ 0)))
14		nne 2944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0)
15		breq1 5151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < 𝑀))
16	14, 15	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < 𝑀))
17	16	biimpar 478	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 0 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
18	13, 17	syl6bir 253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 < 𝑀))
19	18	expd 416	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)))
20		ax-1 6	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))
21		jaob 960	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)) ↔ ((¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)) ∧ (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))))
22	19, 20, 21	sylanblrc 590	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)))
23	1, 22	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)))
24		nn0ge0 12499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
25	24	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑁)
26		nn0re 12483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
27		lelttr 11306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
28	2, 27	mp3an1 1448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
29	26, 3, 28	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
30	25, 29	mpand 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 → 0 < 𝑀))
31	30, 12	sylibd 238	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 → 𝑀 ≠ 0))
32	31	imim2d 57	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) → (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)))
33	23, 32	jcad 513	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) → ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0))))
34		pm3.34 764	. . 3 ⊢ (((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)) → (𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))
35	33, 34	impbid1 224	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0))))
36		con34b 315	. . . 4 ⊢ ((𝑀 = 0 → 𝑁 = 0) ↔ (¬ 𝑁 = 0 → ¬ 𝑀 = 0))
37		df-ne 2941	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
38	37, 11	imbi12i 350	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0) ↔ (¬ 𝑁 = 0 → ¬ 𝑀 = 0))
39	36, 38	bitr4i 277	. . 3 ⊢ ((𝑀 = 0 → 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0))
40	39	anbi2i 623	. 2 ⊢ (((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑀 = 0 → 𝑁 = 0)) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)))
41	35, 40	bitr4di 288	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑀 = 0 → 𝑁 = 0))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   class class class wbr 5148  ℝcr 11111  0cc0 11112   < clt 11250   ≤ cle 11251  ℕ₀cn0 12474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475

This theorem is referenced by:  algcvgb  16517