MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  algcvgblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem algcvgblem 16610
Description: Lemma for algcvgb 16611. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
algcvgblem ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑀 = 0 → 𝑁 = 0))))

Proof of Theorem algcvgblem
StepHypRef Expression
1 imor 853 . . . . 5 ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ 𝑁 < 𝑀))
2 0re 11260 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
3 nn0re 12532 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
43adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
5 ltnle 11337 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 0))
62, 4, 5sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 0))
7 nn0le0eq0 12551 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 0 ↔ 𝑀 = 0))
87notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 ≤ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0))
98adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑀 ≤ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0))
106, 9bitrd 279 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 = 0))
11 df-ne 2938 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
1210, 11bitr4di 289 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀𝑀 ≠ 0))
1312anbi2d 630 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 0 < 𝑀) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ≠ 0)))
14 nne 2941 . . . . . . . . . 10 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0)
15 breq1 5150 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < 𝑀))
1614, 15sylbi 217 . . . . . . . . 9 𝑁 ≠ 0 → (𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < 𝑀))
1716biimpar 477 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 0 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
1813, 17biimtrrdi 254 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 < 𝑀))
1918expd 415 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)))
20 ax-1 6 . . . . . 6 (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))
21 jaob 963 . . . . . 6 (((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)) ↔ ((¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)) ∧ (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))))
2219, 20, 21sylanblrc 590 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)))
231, 22biimtrid 242 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)))
24 nn0ge0 12548 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
2524adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑁)
26 nn0re 12532 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
27 lelttr 11348 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
282, 27mp3an1 1447 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
2926, 3, 28syl2anr 597 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
3025, 29mpand 695 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 → 0 < 𝑀))
3130, 12sylibd 239 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀𝑀 ≠ 0))
3231imim2d 57 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) → (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)))
3323, 32jcad 512 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) → ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0))))
34 pm3.34 766 . . 3 (((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)) → (𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))
3533, 34impbid1 225 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0))))
36 con34b 316 . . . 4 ((𝑀 = 0 → 𝑁 = 0) ↔ (¬ 𝑁 = 0 → ¬ 𝑀 = 0))
37 df-ne 2938 . . . . 5 (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
3837, 11imbi12i 350 . . . 4 ((𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0) ↔ (¬ 𝑁 = 0 → ¬ 𝑀 = 0))
3936, 38bitr4i 278 . . 3 ((𝑀 = 0 → 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0))
4039anbi2i 623 . 2 (((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑀 = 0 → 𝑁 = 0)) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)))
4135, 40bitr4di 289 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑀 = 0 → 𝑁 = 0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937   class class class wbr 5147  cr 11151  0cc0 11152   < clt 11292  cle 11293  0cn0 12523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524
This theorem is referenced by:  algcvgb  16611
  Copyright terms: Public domain W3C validator