Theorem algcvgblem 16587

Description: Lemma for algcvgb 16588. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
algcvgblem	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑀 = 0 → 𝑁 = 0))))

Proof of Theorem algcvgblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imor 862	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ 𝑁 < 𝑀))
2		0re 11173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		nn0re 12480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
4	3	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
5		ltnle 11252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 0))
6	2, 4, 5	sylancr 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 0))
7		nn0le0eq0 12499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 0 ↔ 𝑀 = 0))
8	7	notbid 320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 ≤ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0))
9	8	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑀 ≤ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0))
10	6, 9	bitrd 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 = 0))
11		df-ne 2952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
12	10, 11	bitr4di 291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀 ↔ 𝑀 ≠ 0))
13	12	anbi2d 638	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 0 < 𝑀) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ≠ 0)))
14		nne 2955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0)
15		breq1 5097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < 𝑀))
16	14, 15	sylbi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < 𝑀))
17	16	biimpar 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 0 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
18	13, 17	biimtrrdi 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 < 𝑀))
19	18	expd 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)))
20		ax-1 6	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))
21		jaob 972	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)) ↔ ((¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)) ∧ (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))))
22	19, 20, 21	sylanblrc 598	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)))
23	1, 22	biimtrid 244	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)))
24		nn0ge0 12496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
25	24	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑁)
26		nn0re 12480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
27		lelttr 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
28	2, 27	mp3an1 1463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
29	26, 3, 28	syl2anr 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
30	25, 29	mpand 703	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 → 0 < 𝑀))
31	30, 12	sylibd 241	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 → 𝑀 ≠ 0))
32	31	imim2d 57	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) → (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)))
33	23, 32	jcad 519	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) → ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0))))
34		pm3.34 773	. . 3 ⊢ (((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)) → (𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))
35	33, 34	impbid1 227	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0))))
36		con34b 318	. . . 4 ⊢ ((𝑀 = 0 → 𝑁 = 0) ↔ (¬ 𝑁 = 0 → ¬ 𝑀 = 0))
37		df-ne 2952	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
38	37, 11	imbi12i 352	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0) ↔ (¬ 𝑁 = 0 → ¬ 𝑀 = 0))
39	36, 38	bitr4i 280	. . 3 ⊢ ((𝑀 = 0 → 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0))
40	39	anbi2i 631	. 2 ⊢ (((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑀 = 0 → 𝑁 = 0)) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)))
41	35, 40	bitr4di 291	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑀 = 0 → 𝑁 = 0))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 856   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951   class class class wbr 5094  ℝcr 11062  0cc0 11063   < clt 11206   ≤ cle 11207  ℕ₀cn0 12471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-n0 12472

This theorem is referenced by:  algcvgb  16588