MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  algcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem algcvg 16452
Description: One way to prove that an algorithm halts is to construct a countdown function 𝐶:𝑆⟶ℕ0 whose value is guaranteed to decrease for each iteration of 𝐹 until it reaches 0. That is, if 𝑋𝑆 is not a fixed point of 𝐹, then (𝐶‘(𝐹𝑋)) < (𝐶𝑋).

If 𝐶 is a countdown function for algorithm 𝐹, the sequence (𝐶‘(𝑅𝑘)) reaches 0 after at most 𝑁 steps, where 𝑁 is the value of 𝐶 for the initial state 𝐴. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses
Ref Expression
algcvg.1 𝐹:𝑆𝑆
algcvg.2 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
algcvg.3 𝐶:𝑆⟶ℕ0
algcvg.4 (𝑧𝑆 → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧)))
algcvg.5 𝑁 = (𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
algcvg (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑁)) = 0)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑧,𝐹   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem algcvg
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12805 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
2 algcvg.2 . . . 4 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
3 0zd 12511 . . . 4 (𝐴𝑆 → 0 ∈ ℤ)
4 id 22 . . . 4 (𝐴𝑆𝐴𝑆)
5 algcvg.1 . . . . 5 𝐹:𝑆𝑆
65a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑆𝐹:𝑆𝑆)
71, 2, 3, 4, 6algrf 16449 . . 3 (𝐴𝑆𝑅:ℕ0𝑆)
8 algcvg.5 . . . 4 𝑁 = (𝐶𝐴)
9 algcvg.3 . . . . 5 𝐶:𝑆⟶ℕ0
109ffvelcdmi 7034 . . . 4 (𝐴𝑆 → (𝐶𝐴) ∈ ℕ0)
118, 10eqeltrid 2842 . . 3 (𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0)
12 fvco3 6940 . . 3 ((𝑅:ℕ0𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑅)‘𝑁) = (𝐶‘(𝑅𝑁)))
137, 11, 12syl2anc 584 . 2 (𝐴𝑆 → ((𝐶𝑅)‘𝑁) = (𝐶‘(𝑅𝑁)))
14 fco 6692 . . . 4 ((𝐶:𝑆⟶ℕ0𝑅:ℕ0𝑆) → (𝐶𝑅):ℕ0⟶ℕ0)
159, 7, 14sylancr 587 . . 3 (𝐴𝑆 → (𝐶𝑅):ℕ0⟶ℕ0)
16 0nn0 12428 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
17 fvco3 6940 . . . . . 6 ((𝑅:ℕ0𝑆 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑅)‘0) = (𝐶‘(𝑅‘0)))
187, 16, 17sylancl 586 . . . . 5 (𝐴𝑆 → ((𝐶𝑅)‘0) = (𝐶‘(𝑅‘0)))
191, 2, 3, 4algr0 16448 . . . . . 6 (𝐴𝑆 → (𝑅‘0) = 𝐴)
2019fveq2d 6846 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘0)) = (𝐶𝐴))
2118, 20eqtrd 2776 . . . 4 (𝐴𝑆 → ((𝐶𝑅)‘0) = (𝐶𝐴))
228, 21eqtr4id 2795 . . 3 (𝐴𝑆𝑁 = ((𝐶𝑅)‘0))
237ffvelcdmda 7035 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑘) ∈ 𝑆)
24 2fveq3 6847 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (𝐶‘(𝐹𝑧)) = (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))))
2524neeq1d 3003 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑅𝑘) → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0))
26 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (𝐶𝑧) = (𝐶‘(𝑅𝑘)))
2724, 26breq12d 5118 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑅𝑘) → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧) ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))))
2825, 27imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧)) ↔ ((𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘)))))
29 algcvg.4 . . . . . 6 (𝑧𝑆 → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧)))
3028, 29vtoclga 3534 . . . . 5 ((𝑅𝑘) ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))))
3123, 30syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))))
32 peano2nn0 12453 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
33 fvco3 6940 . . . . . . 7 ((𝑅:ℕ0𝑆 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑅)‘(𝑘 + 1)) = (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))))
347, 32, 33syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑅)‘(𝑘 + 1)) = (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))))
351, 2, 3, 4, 6algrp1 16450 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅𝑘)))
3635fveq2d 6846 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))))
3734, 36eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑅)‘(𝑘 + 1)) = (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))))
3837neeq1d 3003 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶𝑅)‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0))
39 fvco3 6940 . . . . . 6 ((𝑅:ℕ0𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑅)‘𝑘) = (𝐶‘(𝑅𝑘)))
407, 39sylan 580 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑅)‘𝑘) = (𝐶‘(𝑅𝑘)))
4137, 40breq12d 5118 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶𝑅)‘(𝑘 + 1)) < ((𝐶𝑅)‘𝑘) ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))))
4231, 38, 413imtr4d 293 . . 3 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶𝑅)‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 → ((𝐶𝑅)‘(𝑘 + 1)) < ((𝐶𝑅)‘𝑘)))
4315, 22, 42nn0seqcvgd 16446 . 2 (𝐴𝑆 → ((𝐶𝑅)‘𝑁) = 0)
4413, 43eqtr3d 2778 1 (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑁)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  {csn 4586   class class class wbr 5105   × cxp 5631  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  1st c1st 7919  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  0cn0 12413  seqcseq 13906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907
This theorem is referenced by:  algcvga  16455
  Copyright terms: Public domain W3C validator