MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  algcvg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem algcvg 16509
Description: One way to prove that an algorithm halts is to construct a countdown function 𝐢:π‘†βŸΆβ„•0 whose value is guaranteed to decrease for each iteration of 𝐹 until it reaches 0. That is, if 𝑋 ∈ 𝑆 is not a fixed point of 𝐹, then (πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) < (πΆβ€˜π‘‹).

If 𝐢 is a countdown function for algorithm 𝐹, the sequence (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) reaches 0 after at most 𝑁 steps, where 𝑁 is the value of 𝐢 for the initial state 𝐴. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses
Ref Expression
algcvg.1 𝐹:π‘†βŸΆπ‘†
algcvg.2 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (β„•0 Γ— {𝐴}))
algcvg.3 𝐢:π‘†βŸΆβ„•0
algcvg.4 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ((πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) β‰  0 β†’ (πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) < (πΆβ€˜π‘§)))
algcvg.5 𝑁 = (πΆβ€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
algcvg (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘)) = 0)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐢   𝑧,𝐹   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝑁(𝑧)
Proof of Theorem algcvg
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12860 . . . 4 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 algcvg.2 . . . 4 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (β„•0 Γ— {𝐴}))
3 0zd 12566 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 0 ∈ β„€)
4 id 22 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
5 algcvg.1 . . . . 5 𝐹:π‘†βŸΆπ‘†
65a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 𝐹:π‘†βŸΆπ‘†)
71, 2, 3, 4, 6algrf 16506 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 𝑅:β„•0βŸΆπ‘†)
8 algcvg.5 . . . 4 𝑁 = (πΆβ€˜π΄)
9 algcvg.3 . . . . 5 𝐢:π‘†βŸΆβ„•0
109ffvelcdmi 7082 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (πΆβ€˜π΄) ∈ β„•0)
118, 10eqeltrid 2837 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
12 fvco3 6987 . . 3 ((𝑅:β„•0βŸΆπ‘† ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜π‘) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘)))
137, 11, 12syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜π‘) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘)))
14 fco 6738 . . . 4 ((𝐢:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ 𝑅:β„•0βŸΆπ‘†) β†’ (𝐢 ∘ 𝑅):β„•0βŸΆβ„•0)
159, 7, 14sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (𝐢 ∘ 𝑅):β„•0βŸΆβ„•0)
16 0nn0 12483 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
17 fvco3 6987 . . . . . 6 ((𝑅:β„•0βŸΆπ‘† ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜0) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜0)))
187, 16, 17sylancl 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜0) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜0)))
191, 2, 3, 4algr0 16505 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (π‘…β€˜0) = 𝐴)
2019fveq2d 6892 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (πΆβ€˜(π‘…β€˜0)) = (πΆβ€˜π΄))
2118, 20eqtrd 2772 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜0) = (πΆβ€˜π΄))
228, 21eqtr4id 2791 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 𝑁 = ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜0))
237ffvelcdmda 7083 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘…β€˜π‘˜) ∈ 𝑆)
24 2fveq3 6893 . . . . . . . 8 (𝑧 = (π‘…β€˜π‘˜) β†’ (πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
2524neeq1d 3000 . . . . . . 7 (𝑧 = (π‘…β€˜π‘˜) β†’ ((πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) β‰  0 ↔ (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) β‰  0))
26 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (𝑧 = (π‘…β€˜π‘˜) β†’ (πΆβ€˜π‘§) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))
2724, 26breq12d 5160 . . . . . . 7 (𝑧 = (π‘…β€˜π‘˜) β†’ ((πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) < (πΆβ€˜π‘§) ↔ (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) < (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
2825, 27imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑧 = (π‘…β€˜π‘˜) β†’ (((πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) β‰  0 β†’ (πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) < (πΆβ€˜π‘§)) ↔ ((πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) β‰  0 β†’ (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) < (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))))
29 algcvg.4 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ((πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) β‰  0 β†’ (πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) < (πΆβ€˜π‘§)))
3028, 29vtoclga 3565 . . . . 5 ((π‘…β€˜π‘˜) ∈ 𝑆 β†’ ((πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) β‰  0 β†’ (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) < (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
3123, 30syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) β‰  0 β†’ (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) < (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
32 peano2nn0 12508 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0)
33 fvco3 6987 . . . . . . 7 ((𝑅:β„•0βŸΆπ‘† ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜(π‘˜ + 1)) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜(π‘˜ + 1))))
347, 32, 33syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜(π‘˜ + 1)) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜(π‘˜ + 1))))
351, 2, 3, 4, 6algrp1 16507 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘…β€˜(π‘˜ + 1)) = (πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))
3635fveq2d 6892 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΆβ€˜(π‘…β€˜(π‘˜ + 1))) = (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
3734, 36eqtrd 2772 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜(π‘˜ + 1)) = (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
3837neeq1d 3000 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜(π‘˜ + 1)) β‰  0 ↔ (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) β‰  0))
39 fvco3 6987 . . . . . 6 ((𝑅:β„•0βŸΆπ‘† ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜π‘˜) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))
407, 39sylan 580 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜π‘˜) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))
4137, 40breq12d 5160 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜(π‘˜ + 1)) < ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜π‘˜) ↔ (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) < (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
4231, 38, 413imtr4d 293 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜(π‘˜ + 1)) β‰  0 β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜(π‘˜ + 1)) < ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜π‘˜)))
4315, 22, 42nn0seqcvgd 16503 . 2 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜π‘) = 0)
4413, 43eqtr3d 2774 1 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  {csn 4627   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  1st c1st 7969  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244  β„•0cn0 12468  seqcseq 13962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963
This theorem is referenced by:  algcvga  16512
  Copyright terms: Public domain W3C validator