MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  algcvg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem algcvg 16554
Description: One way to prove that an algorithm halts is to construct a countdown function 𝐢:π‘†βŸΆβ„•0 whose value is guaranteed to decrease for each iteration of 𝐹 until it reaches 0. That is, if 𝑋 ∈ 𝑆 is not a fixed point of 𝐹, then (πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) < (πΆβ€˜π‘‹).

If 𝐢 is a countdown function for algorithm 𝐹, the sequence (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) reaches 0 after at most 𝑁 steps, where 𝑁 is the value of 𝐢 for the initial state 𝐴. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses
Ref Expression
algcvg.1 𝐹:π‘†βŸΆπ‘†
algcvg.2 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (β„•0 Γ— {𝐴}))
algcvg.3 𝐢:π‘†βŸΆβ„•0
algcvg.4 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ((πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) β‰  0 β†’ (πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) < (πΆβ€˜π‘§)))
algcvg.5 𝑁 = (πΆβ€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
algcvg (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘)) = 0)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐢   𝑧,𝐹   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝑁(𝑧)
Proof of Theorem algcvg
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12902 . . . 4 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 algcvg.2 . . . 4 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (β„•0 Γ— {𝐴}))
3 0zd 12608 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 0 ∈ β„€)
4 id 22 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
5 algcvg.1 . . . . 5 𝐹:π‘†βŸΆπ‘†
65a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 𝐹:π‘†βŸΆπ‘†)
71, 2, 3, 4, 6algrf 16551 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 𝑅:β„•0βŸΆπ‘†)
8 algcvg.5 . . . 4 𝑁 = (πΆβ€˜π΄)
9 algcvg.3 . . . . 5 𝐢:π‘†βŸΆβ„•0
109ffvelcdmi 7098 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (πΆβ€˜π΄) ∈ β„•0)
118, 10eqeltrid 2833 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
12 fvco3 7002 . . 3 ((𝑅:β„•0βŸΆπ‘† ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜π‘) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘)))
137, 11, 12syl2anc 582 . 2 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜π‘) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘)))
14 fco 6752 . . . 4 ((𝐢:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ 𝑅:β„•0βŸΆπ‘†) β†’ (𝐢 ∘ 𝑅):β„•0βŸΆβ„•0)
159, 7, 14sylancr 585 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (𝐢 ∘ 𝑅):β„•0βŸΆβ„•0)
16 0nn0 12525 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
17 fvco3 7002 . . . . . 6 ((𝑅:β„•0βŸΆπ‘† ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜0) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜0)))
187, 16, 17sylancl 584 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜0) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜0)))
191, 2, 3, 4algr0 16550 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (π‘…β€˜0) = 𝐴)
2019fveq2d 6906 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (πΆβ€˜(π‘…β€˜0)) = (πΆβ€˜π΄))
2118, 20eqtrd 2768 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜0) = (πΆβ€˜π΄))
228, 21eqtr4id 2787 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 𝑁 = ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜0))
237ffvelcdmda 7099 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘…β€˜π‘˜) ∈ 𝑆)
24 2fveq3 6907 . . . . . . . 8 (𝑧 = (π‘…β€˜π‘˜) β†’ (πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
2524neeq1d 2997 . . . . . . 7 (𝑧 = (π‘…β€˜π‘˜) β†’ ((πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) β‰  0 ↔ (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) β‰  0))
26 fveq2 6902 . . . . . . . 8 (𝑧 = (π‘…β€˜π‘˜) β†’ (πΆβ€˜π‘§) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))
2724, 26breq12d 5165 . . . . . . 7 (𝑧 = (π‘…β€˜π‘˜) β†’ ((πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) < (πΆβ€˜π‘§) ↔ (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) < (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
2825, 27imbi12d 343 . . . . . 6 (𝑧 = (π‘…β€˜π‘˜) β†’ (((πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) β‰  0 β†’ (πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) < (πΆβ€˜π‘§)) ↔ ((πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) β‰  0 β†’ (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) < (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))))
29 algcvg.4 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ((πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) β‰  0 β†’ (πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) < (πΆβ€˜π‘§)))
3028, 29vtoclga 3565 . . . . 5 ((π‘…β€˜π‘˜) ∈ 𝑆 β†’ ((πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) β‰  0 β†’ (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) < (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
3123, 30syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) β‰  0 β†’ (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) < (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
32 peano2nn0 12550 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0)
33 fvco3 7002 . . . . . . 7 ((𝑅:β„•0βŸΆπ‘† ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜(π‘˜ + 1)) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜(π‘˜ + 1))))
347, 32, 33syl2an 594 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜(π‘˜ + 1)) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜(π‘˜ + 1))))
351, 2, 3, 4, 6algrp1 16552 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘…β€˜(π‘˜ + 1)) = (πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))
3635fveq2d 6906 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΆβ€˜(π‘…β€˜(π‘˜ + 1))) = (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
3734, 36eqtrd 2768 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜(π‘˜ + 1)) = (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
3837neeq1d 2997 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜(π‘˜ + 1)) β‰  0 ↔ (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) β‰  0))
39 fvco3 7002 . . . . . 6 ((𝑅:β„•0βŸΆπ‘† ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜π‘˜) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))
407, 39sylan 578 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜π‘˜) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))
4137, 40breq12d 5165 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜(π‘˜ + 1)) < ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜π‘˜) ↔ (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) < (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
4231, 38, 413imtr4d 293 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜(π‘˜ + 1)) β‰  0 β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜(π‘˜ + 1)) < ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜π‘˜)))
4315, 22, 42nn0seqcvgd 16548 . 2 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜π‘) = 0)
4413, 43eqtr3d 2770 1 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  {csn 4632   class class class wbr 5152   Γ— cxp 5680   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1st c1st 7997  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   < clt 11286  β„•0cn0 12510  seqcseq 14006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007
This theorem is referenced by:  algcvga  16557
  Copyright terms: Public domain W3C validator