MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  algcvg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem algcvg 16518
Description: One way to prove that an algorithm halts is to construct a countdown function 𝐢:π‘†βŸΆβ„•0 whose value is guaranteed to decrease for each iteration of 𝐹 until it reaches 0. That is, if 𝑋 ∈ 𝑆 is not a fixed point of 𝐹, then (πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) < (πΆβ€˜π‘‹).

If 𝐢 is a countdown function for algorithm 𝐹, the sequence (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) reaches 0 after at most 𝑁 steps, where 𝑁 is the value of 𝐢 for the initial state 𝐴. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses
Ref Expression
algcvg.1 𝐹:π‘†βŸΆπ‘†
algcvg.2 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (β„•0 Γ— {𝐴}))
algcvg.3 𝐢:π‘†βŸΆβ„•0
algcvg.4 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ((πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) β‰  0 β†’ (πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) < (πΆβ€˜π‘§)))
algcvg.5 𝑁 = (πΆβ€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
algcvg (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘)) = 0)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐢   𝑧,𝐹   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝑁(𝑧)
Proof of Theorem algcvg
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12865 . . . 4 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 algcvg.2 . . . 4 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (β„•0 Γ— {𝐴}))
3 0zd 12571 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 0 ∈ β„€)
4 id 22 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
5 algcvg.1 . . . . 5 𝐹:π‘†βŸΆπ‘†
65a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 𝐹:π‘†βŸΆπ‘†)
71, 2, 3, 4, 6algrf 16515 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 𝑅:β„•0βŸΆπ‘†)
8 algcvg.5 . . . 4 𝑁 = (πΆβ€˜π΄)
9 algcvg.3 . . . . 5 𝐢:π‘†βŸΆβ„•0
109ffvelcdmi 7078 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (πΆβ€˜π΄) ∈ β„•0)
118, 10eqeltrid 2831 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
12 fvco3 6983 . . 3 ((𝑅:β„•0βŸΆπ‘† ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜π‘) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘)))
137, 11, 12syl2anc 583 . 2 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜π‘) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘)))
14 fco 6734 . . . 4 ((𝐢:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ 𝑅:β„•0βŸΆπ‘†) β†’ (𝐢 ∘ 𝑅):β„•0βŸΆβ„•0)
159, 7, 14sylancr 586 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (𝐢 ∘ 𝑅):β„•0βŸΆβ„•0)
16 0nn0 12488 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
17 fvco3 6983 . . . . . 6 ((𝑅:β„•0βŸΆπ‘† ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜0) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜0)))
187, 16, 17sylancl 585 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜0) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜0)))
191, 2, 3, 4algr0 16514 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (π‘…β€˜0) = 𝐴)
2019fveq2d 6888 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (πΆβ€˜(π‘…β€˜0)) = (πΆβ€˜π΄))
2118, 20eqtrd 2766 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜0) = (πΆβ€˜π΄))
228, 21eqtr4id 2785 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 𝑁 = ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜0))
237ffvelcdmda 7079 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘…β€˜π‘˜) ∈ 𝑆)
24 2fveq3 6889 . . . . . . . 8 (𝑧 = (π‘…β€˜π‘˜) β†’ (πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
2524neeq1d 2994 . . . . . . 7 (𝑧 = (π‘…β€˜π‘˜) β†’ ((πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) β‰  0 ↔ (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) β‰  0))
26 fveq2 6884 . . . . . . . 8 (𝑧 = (π‘…β€˜π‘˜) β†’ (πΆβ€˜π‘§) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))
2724, 26breq12d 5154 . . . . . . 7 (𝑧 = (π‘…β€˜π‘˜) β†’ ((πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) < (πΆβ€˜π‘§) ↔ (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) < (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
2825, 27imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑧 = (π‘…β€˜π‘˜) β†’ (((πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) β‰  0 β†’ (πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) < (πΆβ€˜π‘§)) ↔ ((πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) β‰  0 β†’ (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) < (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))))
29 algcvg.4 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ((πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) β‰  0 β†’ (πΆβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) < (πΆβ€˜π‘§)))
3028, 29vtoclga 3560 . . . . 5 ((π‘…β€˜π‘˜) ∈ 𝑆 β†’ ((πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) β‰  0 β†’ (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) < (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
3123, 30syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) β‰  0 β†’ (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) < (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
32 peano2nn0 12513 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0)
33 fvco3 6983 . . . . . . 7 ((𝑅:β„•0βŸΆπ‘† ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜(π‘˜ + 1)) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜(π‘˜ + 1))))
347, 32, 33syl2an 595 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜(π‘˜ + 1)) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜(π‘˜ + 1))))
351, 2, 3, 4, 6algrp1 16516 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘…β€˜(π‘˜ + 1)) = (πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))
3635fveq2d 6888 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΆβ€˜(π‘…β€˜(π‘˜ + 1))) = (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
3734, 36eqtrd 2766 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜(π‘˜ + 1)) = (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
3837neeq1d 2994 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜(π‘˜ + 1)) β‰  0 ↔ (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) β‰  0))
39 fvco3 6983 . . . . . 6 ((𝑅:β„•0βŸΆπ‘† ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜π‘˜) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))
407, 39sylan 579 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜π‘˜) = (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))
4137, 40breq12d 5154 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜(π‘˜ + 1)) < ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜π‘˜) ↔ (πΆβ€˜(πΉβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))) < (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
4231, 38, 413imtr4d 294 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜(π‘˜ + 1)) β‰  0 β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜(π‘˜ + 1)) < ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜π‘˜)))
4315, 22, 42nn0seqcvgd 16512 . 2 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ ((𝐢 ∘ 𝑅)β€˜π‘) = 0)
4413, 43eqtr3d 2768 1 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (πΆβ€˜(π‘…β€˜π‘)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  {csn 4623   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  1st c1st 7969  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11249  β„•0cn0 12473  seqcseq 13969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-seq 13970
This theorem is referenced by:  algcvga  16521
  Copyright terms: Public domain W3C validator