Theorem alginv 16750

Description: If 𝐼 is an invariant of 𝐹, then its value is unchanged after any number of iterations of 𝐹. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
alginv.1	⊢ 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
alginv.2	⊢ 𝐹:𝑆⟶𝑆
alginv.3	⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
alginv	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅‘𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem alginv

Dummy variables 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))
2	1	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅‘0)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
3	2	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘0)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
4		2fveq3 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘𝑘)))
5	4	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → ((𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅‘𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
6	5	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
7		2fveq3 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))))
8	7	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → ((𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
9	8	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
10		2fveq3 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘𝐾)))
11	10	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → ((𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅‘𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
12	11	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
13		eqidd 2762	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘0)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))
14		nn0uz 13003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
15		alginv.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
16		0zd 12705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 0 ∈ ℤ)
17		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ∈ 𝑆)
18		alginv.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹:𝑆⟶𝑆
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐹:𝑆⟶𝑆)
20	14, 15, 16, 17, 19	algrp1 16749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅‘𝑘)))
21	20	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))))
22	14, 15, 16, 17, 19	algrf 16748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑅:ℕ0⟶𝑆)
23	22	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆)
24		2fveq3 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑅‘𝑘) → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))))
25		fveq2 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑅‘𝑘) → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(𝑅‘𝑘)))
26	24, 25	eqeq12d 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑅‘𝑘) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘𝑥) ↔ (𝐼‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = (𝐼‘(𝑅‘𝑘))))
27		alginv.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘𝑥))
28	26, 27	vtoclga 3537	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = (𝐼‘(𝑅‘𝑘)))
29	23, 28	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = (𝐼‘(𝑅‘𝑘)))
30	21, 29	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘𝑘)))
31	30	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅‘𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
32	31	biimprd 251	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘(𝑅‘𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
33	32	expcom 419	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝑆 → ((𝐼‘(𝑅‘𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
34	33	a2d 30	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
35	3, 6, 9, 12, 13, 34	nn0ind 12794	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
36	35	impcom 413	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅‘𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584   × cxp 5649   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1^st c1st 7999  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203  ℕ₀cn0 12606  seqcseq 14144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-seq 14145

This theorem is used by:  eucalg  16762