Theorem alginv 16628

Description: If 𝐼 is an invariant of 𝐹, then its value is unchanged after any number of iterations of 𝐹. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
alginv.1	⊢ 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
alginv.2	⊢ 𝐹:𝑆⟶𝑆
alginv.3	⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
alginv	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅‘𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem alginv

Dummy variables 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))
2	1	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅‘0)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
3	2	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘0)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
4		2fveq3 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘𝑘)))
5	4	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → ((𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅‘𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
6	5	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
7		2fveq3 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))))
8	7	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → ((𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
9	8	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
10		2fveq3 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘𝐾)))
11	10	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → ((𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅‘𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
12	11	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
13		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘0)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))
14		nn0uz 12895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
15		alginv.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
16		0zd 12598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 0 ∈ ℤ)
17		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ∈ 𝑆)
18		alginv.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹:𝑆⟶𝑆
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐹:𝑆⟶𝑆)
20	14, 15, 16, 17, 19	algrp1 16627	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅‘𝑘)))
21	20	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))))
22	14, 15, 16, 17, 19	algrf 16626	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑅:ℕ0⟶𝑆)
23	22	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆)
24		2fveq3 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑅‘𝑘) → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))))
25		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑅‘𝑘) → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(𝑅‘𝑘)))
26	24, 25	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑅‘𝑘) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘𝑥) ↔ (𝐼‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = (𝐼‘(𝑅‘𝑘))))
27		alginv.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘𝑥))
28	26, 27	vtoclga 3541	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = (𝐼‘(𝑅‘𝑘)))
29	23, 28	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = (𝐼‘(𝑅‘𝑘)))
30	21, 29	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘𝑘)))
31	30	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅‘𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
32	31	biimprd 251	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘(𝑅‘𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
33	32	expcom 418	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝑆 → ((𝐼‘(𝑅‘𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
34	33	a2d 30	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
35	3, 6, 9, 12, 13, 34	nn0ind 12686	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
36	35	impcom 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅‘𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {csn 4589   × cxp 5659   ∘ ccom 5665  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1^st c1st 7980  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098  ℕ₀cn0 12499  seqcseq 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-seq 14034

This theorem is referenced by:  eucalg  16640