MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alginv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alginv 16609
Description: If 𝐼 is an invariant of 𝐹, then its value is unchanged after any number of iterations of 𝐹. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
alginv.1 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
alginv.2 𝐹:𝑆𝑆
alginv.3 (𝑥𝑆 → (𝐼‘(𝐹𝑥)) = (𝐼𝑥))
Assertion
Ref Expression
alginv ((𝐴𝑆𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem alginv
Dummy variables 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6912 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))
21eqeq1d 2737 . . . 4 (𝑧 = 0 → ((𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅‘0)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
32imbi2d 340 . . 3 (𝑧 = 0 → ((𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘0)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
4 2fveq3 6912 . . . . 5 (𝑧 = 𝑘 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅𝑘)))
54eqeq1d 2737 . . . 4 (𝑧 = 𝑘 → ((𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
65imbi2d 340 . . 3 (𝑧 = 𝑘 → ((𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
7 2fveq3 6912 . . . . 5 (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))))
87eqeq1d 2737 . . . 4 (𝑧 = (𝑘 + 1) → ((𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
98imbi2d 340 . . 3 (𝑧 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
10 2fveq3 6912 . . . . 5 (𝑧 = 𝐾 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅𝐾)))
1110eqeq1d 2737 . . . 4 (𝑧 = 𝐾 → ((𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
1211imbi2d 340 . . 3 (𝑧 = 𝐾 → ((𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
13 eqidd 2736 . . 3 (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘0)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))
14 nn0uz 12918 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
15 alginv.1 . . . . . . . . . 10 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
16 0zd 12623 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆 → 0 ∈ ℤ)
17 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆𝐴𝑆)
18 alginv.2 . . . . . . . . . . 11 𝐹:𝑆𝑆
1918a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆𝐹:𝑆𝑆)
2014, 15, 16, 17, 19algrp1 16608 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅𝑘)))
2120fveq2d 6911 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑅𝑘))))
2214, 15, 16, 17, 19algrf 16607 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆𝑅:ℕ0𝑆)
2322ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑘) ∈ 𝑆)
24 2fveq3 6912 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑅𝑘) → (𝐼‘(𝐹𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑅𝑘))))
25 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑅𝑘) → (𝐼𝑥) = (𝐼‘(𝑅𝑘)))
2624, 25eqeq12d 2751 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑅𝑘) → ((𝐼‘(𝐹𝑥)) = (𝐼𝑥) ↔ (𝐼‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = (𝐼‘(𝑅𝑘))))
27 alginv.3 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑆 → (𝐼‘(𝐹𝑥)) = (𝐼𝑥))
2826, 27vtoclga 3577 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑘) ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = (𝐼‘(𝑅𝑘)))
2923, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = (𝐼‘(𝑅𝑘)))
3021, 29eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅𝑘)))
3130eqeq1d 2737 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
3231biimprd 248 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
3332expcom 413 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑆 → ((𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
3433a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) → (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
353, 6, 9, 12, 13, 34nn0ind 12711 . 2 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
3635impcom 407 1 ((𝐴𝑆𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {csn 4631   × cxp 5687  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  1st c1st 8011  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  0cn0 12524  seqcseq 14039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040
This theorem is referenced by:  eucalg  16621
  Copyright terms: Public domain W3C validator