Theorem alginv 16612

Description: If 𝐼 is an invariant of 𝐹, then its value is unchanged after any number of iterations of 𝐹. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
alginv.1	⊢ 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
alginv.2	⊢ 𝐹:𝑆⟶𝑆
alginv.3	⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
alginv	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅‘𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem alginv

Dummy variables 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6911	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))
2	1	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅‘0)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
3	2	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘0)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
4		2fveq3 6911	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘𝑘)))
5	4	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → ((𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅‘𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
7		2fveq3 6911	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))))
8	7	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → ((𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
10		2fveq3 6911	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘𝐾)))
11	10	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → ((𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅‘𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
13		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘0)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))
14		nn0uz 12920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
15		alginv.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
16		0zd 12625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 0 ∈ ℤ)
17		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ∈ 𝑆)
18		alginv.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹:𝑆⟶𝑆
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐹:𝑆⟶𝑆)
20	14, 15, 16, 17, 19	algrp1 16611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅‘𝑘)))
21	20	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))))
22	14, 15, 16, 17, 19	algrf 16610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑅:ℕ0⟶𝑆)
23	22	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆)
24		2fveq3 6911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑅‘𝑘) → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))))
25		fveq2 6906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑅‘𝑘) → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(𝑅‘𝑘)))
26	24, 25	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑅‘𝑘) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘𝑥) ↔ (𝐼‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = (𝐼‘(𝑅‘𝑘))))
27		alginv.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘𝑥))
28	26, 27	vtoclga 3577	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = (𝐼‘(𝑅‘𝑘)))
29	23, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = (𝐼‘(𝑅‘𝑘)))
30	21, 29	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘𝑘)))
31	30	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅‘𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
32	31	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘(𝑅‘𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
33	32	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝑆 → ((𝐼‘(𝑅‘𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
34	33	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
35	3, 6, 9, 12, 13, 34	nn0ind 12713	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
36	35	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅‘𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {csn 4626   × cxp 5683   ∘ ccom 5689  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1^st c1st 8012  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  ℕ₀cn0 12526  seqcseq 14042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043

This theorem is referenced by:  eucalg  16624