MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alginv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alginv 16612
Description: If 𝐼 is an invariant of 𝐹, then its value is unchanged after any number of iterations of 𝐹. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
alginv.1 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
alginv.2 𝐹:𝑆𝑆
alginv.3 (𝑥𝑆 → (𝐼‘(𝐹𝑥)) = (𝐼𝑥))
Assertion
Ref Expression
alginv ((𝐴𝑆𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem alginv
Dummy variables 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6911 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))
21eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑧 = 0 → ((𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅‘0)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
32imbi2d 340 . . 3 (𝑧 = 0 → ((𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘0)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
4 2fveq3 6911 . . . . 5 (𝑧 = 𝑘 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅𝑘)))
54eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑧 = 𝑘 → ((𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
65imbi2d 340 . . 3 (𝑧 = 𝑘 → ((𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
7 2fveq3 6911 . . . . 5 (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))))
87eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑧 = (𝑘 + 1) → ((𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
98imbi2d 340 . . 3 (𝑧 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
10 2fveq3 6911 . . . . 5 (𝑧 = 𝐾 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅𝐾)))
1110eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑧 = 𝐾 → ((𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
1211imbi2d 340 . . 3 (𝑧 = 𝐾 → ((𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
13 eqidd 2738 . . 3 (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘0)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))
14 nn0uz 12920 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
15 alginv.1 . . . . . . . . . 10 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
16 0zd 12625 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆 → 0 ∈ ℤ)
17 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆𝐴𝑆)
18 alginv.2 . . . . . . . . . . 11 𝐹:𝑆𝑆
1918a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆𝐹:𝑆𝑆)
2014, 15, 16, 17, 19algrp1 16611 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅𝑘)))
2120fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑅𝑘))))
2214, 15, 16, 17, 19algrf 16610 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆𝑅:ℕ0𝑆)
2322ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑘) ∈ 𝑆)
24 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑅𝑘) → (𝐼‘(𝐹𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑅𝑘))))
25 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑅𝑘) → (𝐼𝑥) = (𝐼‘(𝑅𝑘)))
2624, 25eqeq12d 2753 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑅𝑘) → ((𝐼‘(𝐹𝑥)) = (𝐼𝑥) ↔ (𝐼‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = (𝐼‘(𝑅𝑘))))
27 alginv.3 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑆 → (𝐼‘(𝐹𝑥)) = (𝐼𝑥))
2826, 27vtoclga 3577 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑘) ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = (𝐼‘(𝑅𝑘)))
2923, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = (𝐼‘(𝑅𝑘)))
3021, 29eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅𝑘)))
3130eqeq1d 2739 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
3231biimprd 248 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
3332expcom 413 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑆 → ((𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
3433a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) → (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
353, 6, 9, 12, 13, 34nn0ind 12713 . 2 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
3635impcom 407 1 ((𝐴𝑆𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {csn 4626   × cxp 5683  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  1st c1st 8012  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  0cn0 12526  seqcseq 14042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043
This theorem is referenced by:  eucalg  16624
  Copyright terms: Public domain W3C validator