MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0ind 12065
Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 13-May-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0ind.1 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
nn0ind.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
nn0ind.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜃))
nn0ind.4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
nn0ind.5 𝜓
nn0ind.6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
nn0ind (𝐴 ∈ ℕ0𝜏)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nn0ind
StepHypRef Expression
1 elnn0z 11982 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴))
2 0z 11980 . . 3 0 ∈ ℤ
3 nn0ind.1 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
4 nn0ind.2 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
5 nn0ind.3 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜃))
6 nn0ind.4 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
7 nn0ind.5 . . . . 5 𝜓
87a1i 11 . . . 4 (0 ∈ ℤ → 𝜓)
9 elnn0z 11982 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦))
10 nn0ind.6 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒𝜃))
119, 10sylbir 236 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝜒𝜃))
12113adant1 1122 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝜒𝜃))
133, 4, 5, 6, 8, 12uzind 12062 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝜏)
142, 13mp3an1 1439 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝜏)
151, 14sylbi 218 1 (𝐴 ∈ ℕ0𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528  cle 10664  0cn0 11885  cz 11969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970
This theorem is referenced by:  nn0indALT  12066  nn0indd  12067  zindd  12071  fzennn  13324  mulexp  13456  expadd  13459  expmul  13462  leexp1a  13527  bernneq  13578  modexp  13587  faccl  13631  facdiv  13635  facwordi  13637  faclbnd  13638  facubnd  13648  bccl  13670  brfi1indALT  13846  wrdind  14072  wrd2ind  14073  cshweqrep  14171  rtrclreclem4  14408  relexpindlem  14410  iseraltlem2  15027  binom  15173  climcndslem1  15192  binomfallfac  15383  demoivreALT  15542  ruclem8  15578  odd2np1lem  15677  bitsinv1  15779  sadcadd  15795  sadadd2  15797  saddisjlem  15801  smu01lem  15822  smumullem  15829  alginv  15907  prmfac1  16051  pcfac  16223  ramcl  16353  mhmmulg  18206  psgnunilem3  18553  sylow1lem1  18652  efgsrel  18789  efgsfo  18794  efgred  18803  srgmulgass  19210  srgpcomp  19211  srgbinom  19224  lmodvsmmulgdi  19598  assamulgscm  20058  mplcoe3  20175  cnfldexp  20506  expcn  23407  dvnadd  24453  dvnres  24455  dvnfre  24476  ply1divex  24657  fta1g  24688  plyco  24758  dgrco  24792  dvnply2  24803  plydivex  24813  fta1  24824  cxpmul2  25199  facgam  25570  dchrisumlem1  25992  qabvle  26128  qabvexp  26129  ostth2lem2  26137  rusgrnumwwlk  27681  eupth2  27945  ex-ind-dvds  28167  wrdt2ind  30554  subfacval2  32331  cvmliftlem7  32435  bccolsum  32868  faclim  32875  faclim2  32877  heiborlem4  34973  mzpexpmpt  39220  pell14qrexpclnn0  39341  rmxypos  39422  jm2.17a  39435  jm2.17b  39436  rmygeid  39439  jm2.19lem3  39466  hbtlem5  39606  cnsrexpcl  39643  relexpiidm  39927  fperiodmullem  41446  stoweidlem17  42179  stoweidlem19  42181  wallispilem3  42229  fmtnorec2  43582  lmodvsmdi  44358
  Copyright terms: Public domain W3C validator