Theorem nn0ind 12687

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 13-May-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0ind.1	⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
nn0ind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
nn0ind.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
nn0ind.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
nn0ind.5	⊢ 𝜓
nn0ind.6	⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
nn0ind	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nn0ind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0z 12600	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴))
2		0z 12598	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		nn0ind.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		nn0ind.2	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
5		nn0ind.3	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
6		nn0ind.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
7		nn0ind.5	. . . . 5 ⊢ 𝜓
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → 𝜓)
9		elnn0z 12600	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦))
10		nn0ind.6	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒 → 𝜃))
11	9, 10	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝜒 → 𝜃))
12	11	3adant1 1146	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝜒 → 𝜃))
13	3, 4, 5, 6, 8, 12	uzind 12684	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝜏)
14	2, 13	mp3an1 1474	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝜏)
15	1, 14	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  (class class class)co 7408  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   ≤ cle 11240  ℕ₀cn0 12500  ℤcz 12587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588

This theorem is referenced by:  nn0indALT  12688  nn0indd  12689  zindd  12693  fzennn  14000  mulexp  14133  expadd  14136  expmul  14139  leexp1a  14207  bernneq  14261  modexp  14270  faccl  14315  facdiv  14319  facwordi  14321  faclbnd  14322  facubnd  14332  bccl  14354  brfi1indALT  14543  wrdind  14755  wrd2ind  14756  cshweqrep  14854  rtrclreclem4  15094  relexpindlem  15096  iseraltlem2  15730  binom  15880  climcndslem1  15899  binomfallfac  16091  demoivreALT  16253  ruclem8  16289  odd2np1lem  16394  bitsinv1  16496  sadcadd  16512  sadadd2  16514  saddisjlem  16518  smu01lem  16539  smumullem  16546  alginv  16629  prmfac1  16775  pcfac  16955  ramcl  17085  mhmmulg  19177  psgnunilem3  19562  sylow1lem1  19664  efgsrel  19800  efgsfo  19805  efgred  19814  srgmulgass  20295  srgpcomp  20296  srgbinom  20309  lmodvsmmulgdi  20992  cnfldexp  21520  assamulgscm  22016  mplcoe3  22154  expcn  24996  dvnadd  26053  dvnres  26055  dvnfre  26076  ply1divex  26259  fta1g  26292  plyco  26363  dgrco  26397  dvnply2  26413  plydivex  26423  fta1  26434  cxpmul2  26816  facgam  27192  dchrisumlem1  27615  qabvle  27751  qabvexp  27752  ostth2lem2  27760  rusgrnumwwlk  30264  eupth2  30527  ex-ind-dvds  30749  wrdt2ind  33210  subfacval2  35574  cvmliftlem7  35678  bccolsum  36126  faclim  36133  faclim2  36135  heiborlem4  38348  sumcubes  42959  mzpexpmpt  43363  pell14qrexpclnn0  43480  rmxypos  43561  jm2.17a  43574  jm2.17b  43575  rmygeid  43578  jm2.19lem3  43605  hbtlem5  43742  cnsrexpcl  43779  relexpiidm  44317  fperiodmullem  45909  stoweidlem17  46618  stoweidlem19  46620  wallispilem3  46668  fmtnorec2  48179  lmodvsmdi  49039  itcovalt2  49337  ackendofnn0  49344