Theorem nn0ind 12605

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 13-May-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0ind.1	⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
nn0ind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
nn0ind.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
nn0ind.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
nn0ind.5	⊢ 𝜓
nn0ind.6	⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
nn0ind	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nn0ind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0z 12518	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴))
2		0z 12516	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		nn0ind.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		nn0ind.2	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
5		nn0ind.3	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
6		nn0ind.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
7		nn0ind.5	. . . . 5 ⊢ 𝜓
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → 𝜓)
9		elnn0z 12518	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦))
10		nn0ind.6	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒 → 𝜃))
11	9, 10	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝜒 → 𝜃))
12	11	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝜒 → 𝜃))
13	3, 4, 5, 6, 8, 12	uzind 12602	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝜏)
14	2, 13	mp3an1 1450	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝜏)
15	1, 14	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   ≤ cle 11185  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506

This theorem is referenced by:  nn0indALT  12606  nn0indd  12607  zindd  12611  fzennn  13909  mulexp  14042  expadd  14045  expmul  14048  leexp1a  14116  bernneq  14170  modexp  14179  faccl  14224  facdiv  14228  facwordi  14230  faclbnd  14231  facubnd  14241  bccl  14263  brfi1indALT  14451  wrdind  14663  wrd2ind  14664  cshweqrep  14762  rtrclreclem4  15003  relexpindlem  15005  iseraltlem2  15625  binom  15772  climcndslem1  15791  binomfallfac  15983  demoivreALT  16145  ruclem8  16181  odd2np1lem  16286  bitsinv1  16388  sadcadd  16404  sadadd2  16406  saddisjlem  16410  smu01lem  16431  smumullem  16438  alginv  16521  prmfac1  16666  pcfac  16846  ramcl  16976  mhmmulg  19023  psgnunilem3  19402  sylow1lem1  19504  efgsrel  19640  efgsfo  19645  efgred  19654  srgmulgass  20102  srgpcomp  20103  srgbinom  20116  lmodvsmmulgdi  20779  cnfldexp  21292  assamulgscm  21786  mplcoe3  21921  expcn  24739  expcnOLD  24741  dvnadd  25807  dvnres  25809  dvnfre  25832  ply1divex  26018  fta1g  26051  plyco  26122  dgrco  26157  dvnply2  26171  plydivex  26181  fta1  26192  cxpmul2  26574  facgam  26952  dchrisumlem1  27376  qabvle  27512  qabvexp  27513  ostth2lem2  27521  rusgrnumwwlk  29878  eupth2  30141  ex-ind-dvds  30363  wrdt2ind  32848  subfacval2  35147  cvmliftlem7  35251  bccolsum  35699  faclim  35706  faclim2  35708  heiborlem4  37781  sumcubes  42274  mzpexpmpt  42706  pell14qrexpclnn0  42827  rmxypos  42909  jm2.17a  42922  jm2.17b  42923  rmygeid  42926  jm2.19lem3  42953  hbtlem5  43090  cnsrexpcl  43127  relexpiidm  43666  fperiodmullem  45274  stoweidlem17  45988  stoweidlem19  45990  wallispilem3  46038  fmtnorec2  47517  lmodvsmdi  48340  itcovalt2  48639  ackendofnn0  48646