Theorem binom2subadd 33052

Description: The difference of the squares of the sum and difference of two complex numbers 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
binom2subadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
binom2subadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
binom2subadd	⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem binom2subadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binom2subadd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		binom2subadd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcld 11227	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2	subcld 11568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
5		subsq 14245	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) · ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵))))
6	3, 4, 5	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) · ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵))))
7	1, 2, 1	ppncand 11608	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
8	1	2timesd 12486	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
9	7, 8	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐴))
10	1, 2, 2	pnncand 11607	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
11	2	2timesd 12486	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
12	10, 11	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐵))
13	9, 12	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) · ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵))) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐵)))
14		2cnd 12318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
15	14, 1, 14, 2	mul4d 11421	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐵)) = ((2 · 2) · (𝐴 · 𝐵)))
16	6, 13, 15	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = ((2 · 2) · (𝐴 · 𝐵)))
17		2t2e4 12403	. . 3 ⊢ (2 · 2) = 4
18	17	oveq1i 7420	. 2 ⊢ ((2 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) = (4 · (𝐴 · 𝐵))
19	16, 18	eqtrdi 2812	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7410  ℂcc 11097   + caddc 11102   · cmul 11104   − cmin 11440  2c2 12294  4c4 12296  ↑cexp 14096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-seq 14037  df-exp 14097

This theorem is referenced by:  constrresqrtcl  34133