Theorem binom2subadd 32829

Description: The difference of the squares of the sum and difference of two complex numbers 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
binom2subadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
binom2subadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
binom2subadd	⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem binom2subadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binom2subadd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		binom2subadd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcld 11155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2	subcld 11496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
5		subsq 14163	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) · ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵))))
6	3, 4, 5	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) · ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵))))
7	1, 2, 1	ppncand 11536	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
8	1	2timesd 12411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
9	7, 8	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐴))
10	1, 2, 2	pnncand 11535	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
11	2	2timesd 12411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
12	10, 11	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐵))
13	9, 12	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) · ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵))) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐵)))
14		2cnd 12250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
15	14, 1, 14, 2	mul4d 11349	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐵)) = ((2 · 2) · (𝐴 · 𝐵)))
16	6, 13, 15	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = ((2 · 2) · (𝐴 · 𝐵)))
17		2t2e4 12331	. . 3 ⊢ (2 · 2) = 4
18	17	oveq1i 7370	. 2 ⊢ ((2 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) = (4 · (𝐴 · 𝐵))
19	16, 18	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  2c2 12227  4c4 12229  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  constrresqrtcl  33937