Theorem binom2subadd 32653

Description: The difference of the squares of the sum and difference of two complex numbers 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
binom2subadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
binom2subadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
binom2subadd	⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem binom2subadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binom2subadd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		binom2subadd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcld 11246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2	subcld 11586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
5		subsq 14216	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) · ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵))))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) · ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵))))
7	1, 2, 1	ppncand 11626	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
8	1	2timesd 12476	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
9	7, 8	eqtr4d 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐴))
10	1, 2, 2	pnncand 11625	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
11	2	2timesd 12476	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
12	10, 11	eqtr4d 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐵))
13	9, 12	oveq12d 7417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) · ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵))) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐵)))
14		2cnd 12310	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
15	14, 1, 14, 2	mul4d 11439	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐵)) = ((2 · 2) · (𝐴 · 𝐵)))
16	6, 13, 15	3eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = ((2 · 2) · (𝐴 · 𝐵)))
17		2t2e4 12396	. . 3 ⊢ (2 · 2) = 4
18	17	oveq1i 7409	. 2 ⊢ ((2 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) = (4 · (𝐴 · 𝐵))
19	16, 18	eqtrdi 2785	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7399  ℂcc 11119   + caddc 11124   · cmul 11126   − cmin 11458  2c2 12287  4c4 12289  ↑cexp 14068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-n0 12494  df-z 12581  df-uz 12845  df-seq 14009  df-exp 14069

This theorem is referenced by:  constrresqrtcl  33727