Theorem binom2subadd 32671

Description: The difference of the squares of the sum and difference of two complex numbers 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
binom2subadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
binom2subadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
binom2subadd	⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem binom2subadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binom2subadd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		binom2subadd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcld 11199	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2	subcld 11539	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
5		subsq 14181	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) · ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵))))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) · ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵))))
7	1, 2, 1	ppncand 11579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
8	1	2timesd 12431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
9	7, 8	eqtr4d 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐴))
10	1, 2, 2	pnncand 11578	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
11	2	2timesd 12431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
12	10, 11	eqtr4d 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐵))
13	9, 12	oveq12d 7407	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) · ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵))) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐵)))
14		2cnd 12265	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
15	14, 1, 14, 2	mul4d 11392	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐵)) = ((2 · 2) · (𝐴 · 𝐵)))
16	6, 13, 15	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = ((2 · 2) · (𝐴 · 𝐵)))
17		2t2e4 12351	. . 3 ⊢ (2 · 2) = 4
18	17	oveq1i 7399	. 2 ⊢ ((2 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) = (4 · (𝐴 · 𝐵))
19	16, 18	eqtrdi 2781	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7389  ℂcc 11072   + caddc 11077   · cmul 11079   − cmin 11411  2c2 12242  4c4 12244  ↑cexp 14032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-seq 13973  df-exp 14033

This theorem is referenced by:  constrresqrtcl  33773