Theorem ccatrcl1 14550

Description: Reverse closure of a concatenation: If the concatenation of two arbitrary words is a word over an alphabet then the symbols of the first word belong to the alphabet. (Contributed by AV, 3-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ccatrcl1	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑌 ∧ (𝑊 = (𝐴 ++ 𝐵) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆)) → 𝐴 ∈ Word 𝑆)

Proof of Theorem ccatrcl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2815	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = (𝐴 ++ 𝐵) → (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆))
2		wrdv 14485	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑋 → 𝐴 ∈ Word V)
3		wrdv 14485	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑌 → 𝐵 ∈ Word V)
4		ccatalpha 14549	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆)))
5	2, 3, 4	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑌) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆)))
6	1, 5	sylan9bbr 510	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑌) ∧ 𝑊 = (𝐴 ++ 𝐵)) → (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆)))
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆) → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
8	6, 7	biimtrdi 252	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑌) ∧ 𝑊 = (𝐴 ++ 𝐵)) → (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝐴 ∈ Word 𝑆))
9	8	expimpd 453	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑌) → ((𝑊 = (𝐴 ++ 𝐵) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → 𝐴 ∈ Word 𝑆))
10	9	3impia 1114	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑌 ∧ (𝑊 = (𝐴 ++ 𝐵) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆)) → 𝐴 ∈ Word 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  (class class class)co 7405  Word cword 14470   ++ cconcat 14526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527

This theorem is referenced by:  konigsbergssiedgwpr  30011