Theorem ccatrcl1 14540

Description: Reverse closure of a concatenation: If the concatenation of two arbitrary words is a word over an alphabet then the symbols of the first word belong to the alphabet. (Contributed by AV, 3-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ccatrcl1	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑌 ∧ (𝑊 = (𝐴 ++ 𝐵) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆)) → 𝐴 ∈ Word 𝑆)

Proof of Theorem ccatrcl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = (𝐴 ++ 𝐵) → (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆))
2		wrdv 14475	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑋 → 𝐴 ∈ Word V)
3		wrdv 14475	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑌 → 𝐵 ∈ Word V)
4		ccatalpha 14539	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆)))
5	2, 3, 4	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑌) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆)))
6	1, 5	sylan9bbr 510	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑌) ∧ 𝑊 = (𝐴 ++ 𝐵)) → (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆)))
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆) → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
8	6, 7	syl6bi 253	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑌) ∧ 𝑊 = (𝐴 ++ 𝐵)) → (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝐴 ∈ Word 𝑆))
9	8	expimpd 453	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑌) → ((𝑊 = (𝐴 ++ 𝐵) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → 𝐴 ∈ Word 𝑆))
10	9	3impia 1114	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑌 ∧ (𝑊 = (𝐴 ++ 𝐵) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆)) → 𝐴 ∈ Word 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  (class class class)co 7401  Word cword 14460   ++ cconcat 14516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-dju 9891  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517

This theorem is referenced by:  konigsbergssiedgwpr  29926