Theorem cgr3permute3 35566

Description: Permutation law for three-place congruence. (Contributed by Scott Fenton, 5-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cgr3permute3	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝐸, 𝐹⟩⟩ ↔ ⟨𝐵, ⟨𝐶, 𝐴⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝐹, 𝐷⟩⟩))

Proof of Theorem cgr3permute3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
2		3simpa 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
3		3simpa 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)))
4		cgrcomlr 35517	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩Cgr⟨𝐸, 𝐷⟩))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1158	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩Cgr⟨𝐸, 𝐷⟩))
6		3simpb 1147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
7		3simpb 1147	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))
8		cgrcomlr 35517	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝐴⟩Cgr⟨𝐹, 𝐷⟩))
9	1, 6, 7, 8	syl3an 1158	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝐴⟩Cgr⟨𝐹, 𝐷⟩))
10	5, 9	3anbi12d 1434	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) ↔ (⟨𝐵, 𝐴⟩Cgr⟨𝐸, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐴⟩Cgr⟨𝐹, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)))
11		3anrot 1098	. . 3 ⊢ ((⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐴⟩Cgr⟨𝐸, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐴⟩Cgr⟨𝐹, 𝐷⟩) ↔ (⟨𝐵, 𝐴⟩Cgr⟨𝐸, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐴⟩Cgr⟨𝐹, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩))
12	10, 11	bitr4di 289	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) ↔ (⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐴⟩Cgr⟨𝐸, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐴⟩Cgr⟨𝐹, 𝐷⟩)))
13		brcgr3 35565	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝐸, 𝐹⟩⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)))
14		biid 261	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
15		3anrot 1098	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)))
16		3anrot 1098	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))
17		brcgr3 35565	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, ⟨𝐶, 𝐴⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝐹, 𝐷⟩⟩ ↔ (⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐴⟩Cgr⟨𝐸, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐴⟩Cgr⟨𝐹, 𝐷⟩)))
18	14, 15, 16, 17	syl3anb 1159	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, ⟨𝐶, 𝐴⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝐹, 𝐷⟩⟩ ↔ (⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐴⟩Cgr⟨𝐸, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐴⟩Cgr⟨𝐹, 𝐷⟩)))
19	12, 13, 18	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝐸, 𝐹⟩⟩ ↔ ⟨𝐵, ⟨𝐶, 𝐴⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝐹, 𝐷⟩⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099  ⟨cop 4630   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  ℕcn 12228  𝔼cee 28673  Cgrccgr 28675  Cgr3ccgr3 35555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-seq 13985  df-exp 14045  df-sum 15651  df-ee 28676  df-cgr 28678  df-cgr3 35560

This theorem is referenced by:  cgr3permute2  35568  cgr3permute4  35569  cgr3permute5  35570  colinearxfr  35594