Theorem cgrtr3and 34388

Description: Deduction form of cgrtr3 34387. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgrtr3and.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cgrtr3and.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr3and.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr3and.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr3and.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr3and.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr3and.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr3and.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
cgrtr3and.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)

Assertion

Ref	Expression
cgrtr3and	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)

Proof of Theorem cgrtr3and

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgrtr3and.8	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
2		cgrtr3and.9	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
3		cgrtr3and.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		cgrtr3and.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		cgrtr3and.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		cgrtr3and.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		cgrtr3and.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		cgrtr3and.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		cgrtr3and.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		cgrtr3 34387	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	syl133anc 1392	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
12	11	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
13	1, 2, 12	mp2and 696	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105  ⟨cop 4578   class class class wbr 5089  ‘cfv 6473  ℕcn 12066  𝔼cee 27486  Cgrccgr 27488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-map 8680  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-fz 13333  df-seq 13815  df-exp 13876  df-sum 15489  df-ee 27489  df-cgr 27491

This theorem is referenced by:  btwnconn1lem1  34480  btwnconn1lem3  34482  btwnconn1lem4  34483  btwnconn1lem5  34484  btwnconn1lem6  34485  btwnconn1lem9  34488  outsideofeq  34523