Theorem cgrtr3and 36761

Description: Deduction form of cgrtr3 36760. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgrtr3and.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cgrtr3and.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr3and.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr3and.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr3and.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr3and.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr3and.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr3and.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
cgrtr3and.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)

Assertion

Ref	Expression
cgrtr3and	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)

Proof of Theorem cgrtr3and

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgrtr3and.8	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
2		cgrtr3and.9	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
3		cgrtr3and.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		cgrtr3and.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		cgrtr3and.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		cgrtr3and.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		cgrtr3and.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		cgrtr3and.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		cgrtr3and.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		cgrtr3 36760	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	syl133anc 1420	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
12	11	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
13	1, 2, 12	mp2and 712	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  ‘cfv 6539  ℕcn 12336  𝔼cee 29466  Cgrccgr 29468

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-seq 14146  df-exp 14206  df-sum 15855  df-ee 29469  df-cgr 29471

This theorem is used by:  btwnconn1lem1  36853  btwnconn1lem3  36855  btwnconn1lem4  36856  btwnconn1lem5  36857  btwnconn1lem6  36858  btwnconn1lem9  36861  outsideofeq  36896