Theorem cgrtr3and 35990

Description: Deduction form of cgrtr3 35989. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgrtr3and.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cgrtr3and.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr3and.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr3and.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr3and.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr3and.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr3and.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr3and.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
cgrtr3and.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)

Assertion

Ref	Expression
cgrtr3and	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)

Proof of Theorem cgrtr3and

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgrtr3and.8	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
2		cgrtr3and.9	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
3		cgrtr3and.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		cgrtr3and.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		cgrtr3and.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		cgrtr3and.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		cgrtr3and.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		cgrtr3and.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		cgrtr3and.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		cgrtr3 35989	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	syl133anc 1395	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
12	11	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
13	1, 2, 12	mp2and 699	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4598   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  ℕcn 12193  𝔼cee 28822  Cgrccgr 28824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-sum 15660  df-ee 28825  df-cgr 28827

This theorem is referenced by:  btwnconn1lem1  36082  btwnconn1lem3  36084  btwnconn1lem4  36085  btwnconn1lem5  36086  btwnconn1lem6  36087  btwnconn1lem9  36090  outsideofeq  36125