Theorem outsideofeq 36367

Description: Uniqueness law for OutsideOf. Analogue of segconeq 36247. (Contributed by Scott Fenton, 24-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
outsideofeq	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴OutsideOf⟨𝑋, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑌, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem outsideofeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simp21 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		simp32 1217	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		simp22 1214	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		broutsideof2 36359	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴OutsideOf⟨𝑋, 𝑅⟩ ↔ (𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩))))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1380	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴OutsideOf⟨𝑋, 𝑅⟩ ↔ (𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩))))
7	6	anbi1d 637	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴OutsideOf⟨𝑋, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
8		simp33 1218	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		broutsideof2 36359	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴OutsideOf⟨𝑌, 𝑅⟩ ↔ (𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩))))
10	1, 2, 8, 4, 9	syl13anc 1380	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴OutsideOf⟨𝑌, 𝑅⟩ ↔ (𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩))))
11	10	anbi1d 637	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴OutsideOf⟨𝑌, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
12	7, 11	anbi12d 638	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴OutsideOf⟨𝑋, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑌, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))))
13		simpll3 1221	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩))
14		simprl3 1227	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩))
15	13, 14	jca 516	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩) ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)))
16	15	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩) ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)))
17		simpll2 1220	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑅 ≠ 𝐴)
18	17	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑅 ≠ 𝐴)
19		simp23 1215	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
20		simp31 1216	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
21		simprlr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)
22		simprrr 787	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)
23	1, 2, 3, 2, 8, 19, 20, 21, 22	cgrtr3and 36232	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
24	16, 18, 23	jca32 520	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩) ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)))
25		simprll 784	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩)
26		simprlr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩)
27		simprrr 787	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
28		midofsegid 36341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌))
29	1, 2, 4, 3, 8, 28	syl122anc 1387	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌))
30	29	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌))
31	25, 26, 27, 30	mp3and 1472	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 = 𝑌)
32	31	exp32 421	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) → ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
33		simprlr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩)
34		simprll 784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)
35	1, 2, 8, 4, 3, 33, 34	btwnexchand 36263	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)
36		simprrr 787	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
37	1, 2, 3, 8, 35, 36	endofsegidand 36323	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 = 𝑌)
38	37	exp32 421	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) → ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
39		simprll 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩)
40		simprlr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)
41	1, 2, 3, 4, 8, 39, 40	btwnexchand 36263	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)
42		simprrr 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
43	1, 2, 3, 2, 8, 42	cgrcomand 36228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩)
44	1, 2, 8, 3, 41, 43	endofsegidand 36323	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑌 = 𝑋)
45	44	eqcomd 2745	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 = 𝑌)
46	45	exp32 421	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) → ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
47		simprr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) → 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)
48		simplrr 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
50	1, 2, 3, 2, 8, 49	cgrcomand 36228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) → ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩)
51	1, 2, 8, 3, 47, 50	endofsegidand 36323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) → 𝑌 = 𝑋)
52	51	eqcomd 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) → 𝑋 = 𝑌)
53	52	expr 457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩ → 𝑋 = 𝑌))
54		simprr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) → 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)
55		simplrr 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
57	1, 2, 3, 8, 54, 56	endofsegidand 36323	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) → 𝑋 = 𝑌)
58	57	expr 457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ → 𝑋 = 𝑌))
59		simprrl 786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑅 ≠ 𝐴)
60	59	necomd 2989	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝐴 ≠ 𝑅)
61		simprll 784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)
62		simprlr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)
63		btwnconn1 36338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ≠ 𝑅 ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) → (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩ ∨ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)))
64	1, 2, 4, 3, 8, 63	syl122anc 1387	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ≠ 𝑅 ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) → (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩ ∨ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)))
65	64	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → ((𝐴 ≠ 𝑅 ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) → (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩ ∨ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)))
66	60, 61, 62, 65	mp3and 1472	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩ ∨ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩))
67	53, 58, 66	mpjaod 866	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 = 𝑌)
68	67	exp32 421	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) → ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
69	32, 38, 46, 68	ccased 1044	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩) ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) → ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
70	69	imp32 419	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩) ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 = 𝑌)
71	24, 70	syldan 597	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑋 = 𝑌)
72	71	ex 413	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑋 = 𝑌))
73	12, 72	sylbid 241	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴OutsideOf⟨𝑋, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑌, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ⟨cop 4562   class class class wbr 5073  ‘cfv 6486  ℕcn 12166  𝔼cee 28975   Btwn cbtwn 28976  Cgrccgr 28977  OutsideOfcoutsideof 36356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-rp 12935  df-ico 13296  df-icc 13297  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-seq 13956  df-exp 14016  df-hash 14285  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15442  df-sum 15641  df-ee 28978  df-btwn 28979  df-cgr 28980  df-ofs 36220  df-colinear 36276  df-ifs 36277  df-cgr3 36278  df-fs 36279  df-outsideof 36357

This theorem is referenced by:  outsideofeu  36368  outsidele  36369