Theorem outsideofeq 36895

Description: Uniqueness law for OutsideOf. Analogue of segconeq 36775. (Contributed by Scott Fenton, 24-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
outsideofeq	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴OutsideOf⟨𝑋, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑌, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem outsideofeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simp21 1225	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		simp32 1229	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		simp22 1226	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		broutsideof2 36887	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴OutsideOf⟨𝑋, 𝑅⟩ ↔ (𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩))))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴OutsideOf⟨𝑋, 𝑅⟩ ↔ (𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩))))
7	6	anbi1d 643	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴OutsideOf⟨𝑋, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
8		simp33 1230	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		broutsideof2 36887	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴OutsideOf⟨𝑌, 𝑅⟩ ↔ (𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩))))
10	1, 2, 8, 4, 9	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴OutsideOf⟨𝑌, 𝑅⟩ ↔ (𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩))))
11	10	anbi1d 643	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴OutsideOf⟨𝑌, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
12	7, 11	anbi12d 644	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴OutsideOf⟨𝑋, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑌, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))))
13		simpll3 1233	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩))
14		simprl3 1239	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩))
15	13, 14	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩) ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)))
16	15	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩) ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)))
17		simpll2 1232	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑅 ≠ 𝐴)
18	17	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑅 ≠ 𝐴)
19		simp23 1227	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
20		simp31 1228	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
21		simprlr 792	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)
22		simprrr 794	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)
23	1, 2, 3, 2, 8, 19, 20, 21, 22	cgrtr3and 36760	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
24	16, 18, 23	jca32 525	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩) ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)))
25		simprll 791	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩)
26		simprlr 792	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩)
27		simprrr 794	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
28		midofsegid 36869	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌))
29	1, 2, 4, 3, 8, 28	syl122anc 1406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌))
30	29	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌))
31	25, 26, 27, 30	mp3and 1493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 = 𝑌)
32	31	exp32 426	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) → ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
33		simprlr 792	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩)
34		simprll 791	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)
35	1, 2, 8, 4, 3, 33, 34	btwnexchand 36791	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)
36		simprrr 794	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
37	1, 2, 3, 8, 35, 36	endofsegidand 36851	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 = 𝑌)
38	37	exp32 426	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) → ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
39		simprll 791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩)
40		simprlr 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)
41	1, 2, 3, 4, 8, 39, 40	btwnexchand 36791	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)
42		simprrr 794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
43	1, 2, 3, 2, 8, 42	cgrcomand 36756	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩)
44	1, 2, 8, 3, 41, 43	endofsegidand 36851	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑌 = 𝑋)
45	44	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 = 𝑌)
46	45	exp32 426	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) → ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
47		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) → 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)
48		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
49	48	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
50	1, 2, 3, 2, 8, 49	cgrcomand 36756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) → ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩)
51	1, 2, 8, 3, 47, 50	endofsegidand 36851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) → 𝑌 = 𝑋)
52	51	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) → 𝑋 = 𝑌)
53	52	expr 462	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩ → 𝑋 = 𝑌))
54		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) → 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)
55		simplrr 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
56	55	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
57	1, 2, 3, 8, 54, 56	endofsegidand 36851	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) → 𝑋 = 𝑌)
58	57	expr 462	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ → 𝑋 = 𝑌))
59		simprrl 793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑅 ≠ 𝐴)
60	59	necomd 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝐴 ≠ 𝑅)
61		simprll 791	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)
62		simprlr 792	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)
63		btwnconn1 36866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ≠ 𝑅 ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) → (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩ ∨ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)))
64	1, 2, 4, 3, 8, 63	syl122anc 1406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ≠ 𝑅 ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) → (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩ ∨ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)))
65	64	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → ((𝐴 ≠ 𝑅 ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) → (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩ ∨ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)))
66	60, 61, 62, 65	mp3and 1493	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩ ∨ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩))
67	53, 58, 66	mpjaod 874	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 = 𝑌)
68	67	exp32 426	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) → ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
69	32, 38, 46, 68	ccased 1054	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩) ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) → ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
70	69	imp32 424	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩) ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 = 𝑌)
71	24, 70	syldan 603	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑋 = 𝑌)
72	71	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑋 = 𝑌))
73	12, 72	sylbid 243	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴OutsideOf⟨𝑋, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑌, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑋 = 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  ℕcn 12335  𝔼cee 29465   Btwn cbtwn 29466  Cgrccgr 29467  OutsideOfcoutsideof 36884

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854  df-ee 29468  df-btwn 29469  df-cgr 29470  df-ofs 36748  df-colinear 36804  df-ifs 36805  df-cgr3 36806  df-fs 36807  df-outsideof 36885

This theorem is used by:  outsideofeu  36896  outsidele  36897