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Theorem outsideofeq 35649
Description: Uniqueness law for OutsideOf. Analogue of segconeq 35529. (Contributed by Scott Fenton, 24-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
outsideofeq ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ (((𝐴OutsideOfβŸ¨π‘‹, π‘…βŸ© ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩) ∧ (𝐴OutsideOfβŸ¨π‘Œ, π‘…βŸ© ∧ ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩)) β†’ 𝑋 = π‘Œ))

Proof of Theorem outsideofeq
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2 simp21 1204 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ 𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
3 simp32 1208 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
4 simp22 1205 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
5 broutsideof2 35641 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ (𝐴OutsideOfβŸ¨π‘‹, π‘…βŸ© ↔ (𝑋 β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©))))
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1370 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ (𝐴OutsideOfβŸ¨π‘‹, π‘…βŸ© ↔ (𝑋 β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©))))
76anbi1d 629 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ ((𝐴OutsideOfβŸ¨π‘‹, π‘…βŸ© ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩) ↔ ((𝑋 β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩)))
8 simp33 1209 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))
9 broutsideof2 35641 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ (𝐴OutsideOfβŸ¨π‘Œ, π‘…βŸ© ↔ (π‘Œ β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))))
101, 2, 8, 4, 9syl13anc 1370 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ (𝐴OutsideOfβŸ¨π‘Œ, π‘…βŸ© ↔ (π‘Œ β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))))
1110anbi1d 629 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ ((𝐴OutsideOfβŸ¨π‘Œ, π‘…βŸ© ∧ ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩) ↔ ((π‘Œ β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩)))
127, 11anbi12d 630 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ (((𝐴OutsideOfβŸ¨π‘‹, π‘…βŸ© ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩) ∧ (𝐴OutsideOfβŸ¨π‘Œ, π‘…βŸ© ∧ ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩)) ↔ (((𝑋 β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩) ∧ ((π‘Œ β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩))))
13 simpll3 1212 . . . . . . 7 ((((𝑋 β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩) ∧ ((π‘Œ β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩)) β†’ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©))
14 simprl3 1218 . . . . . . 7 ((((𝑋 β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩) ∧ ((π‘Œ β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩)) β†’ (π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))
1513, 14jca 511 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩) ∧ ((π‘Œ β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩)) β†’ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©) ∧ (π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)))
1615adantl 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ (((𝑋 β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩) ∧ ((π‘Œ β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩))) β†’ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©) ∧ (π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)))
17 simpll2 1211 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩) ∧ ((π‘Œ β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩)) β†’ 𝑅 β‰  𝐴)
1817adantl 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ (((𝑋 β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩) ∧ ((π‘Œ β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩))) β†’ 𝑅 β‰  𝐴)
19 simp23 1206 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
20 simp31 1207 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ 𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
21 simprlr 779 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ (((𝑋 β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩) ∧ ((π‘Œ β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩))) β†’ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩)
22 simprrr 781 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ (((𝑋 β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩) ∧ ((π‘Œ β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩))) β†’ ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩)
231, 2, 3, 2, 8, 19, 20, 21, 22cgrtr3and 35514 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ (((𝑋 β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩) ∧ ((π‘Œ β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩))) β†’ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)
2416, 18, 23jca32 515 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ (((𝑋 β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩) ∧ ((π‘Œ β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩))) β†’ (((𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©) ∧ (π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)))
25 simprll 778 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∧ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ©)
26 simprlr 779 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∧ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ©)
27 simprrr 781 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∧ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)
28 midofsegid 35623 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∧ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) β†’ 𝑋 = π‘Œ))
291, 2, 4, 3, 8, 28syl122anc 1377 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∧ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) β†’ 𝑋 = π‘Œ))
3029adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∧ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∧ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) β†’ 𝑋 = π‘Œ))
3125, 26, 27, 30mp3and 1461 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∧ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
3231exp32 420 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∧ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ©) β†’ ((𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) β†’ 𝑋 = π‘Œ)))
33 simprlr 779 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ©)
34 simprll 778 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)
351, 2, 8, 4, 3, 33, 34btwnexchand 35545 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)
36 simprrr 781 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)
371, 2, 3, 8, 35, 36endofsegidand 35605 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
3837exp32 420 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ©) β†’ ((𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) β†’ 𝑋 = π‘Œ)))
39 simprll 778 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ©)
40 simprlr 779 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)
411, 2, 3, 4, 8, 39, 40btwnexchand 35545 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)
42 simprrr 781 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)
431, 2, 3, 2, 8, 42cgrcomand 35510 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©Cgr⟨𝐴, π‘‹βŸ©)
441, 2, 8, 3, 41, 43endofsegidand 35605 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ π‘Œ = 𝑋)
4544eqcomd 2733 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
4645exp32 420 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) β†’ ((𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) β†’ 𝑋 = π‘Œ)))
47 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) β†’ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)
48 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) β†’ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)
4948adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) β†’ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)
501, 2, 3, 2, 8, 49cgrcomand 35510 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) β†’ ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©Cgr⟨𝐴, π‘‹βŸ©)
511, 2, 8, 3, 47, 50endofsegidand 35605 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) β†’ π‘Œ = 𝑋)
5251eqcomd 2733 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
5352expr 456 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ© β†’ 𝑋 = π‘Œ))
54 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)) β†’ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)
55 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©) β†’ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)
5655adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)) β†’ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)
571, 2, 3, 8, 54, 56endofsegidand 35605 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
5857expr 456 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ (π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© β†’ 𝑋 = π‘Œ))
59 simprrl 780 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ 𝑅 β‰  𝐴)
6059necomd 2991 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ 𝐴 β‰  𝑅)
61 simprll 778 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)
62 simprlr 779 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)
63 btwnconn1 35620 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ ((𝐴 β‰  𝑅 ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) β†’ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ© ∨ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)))
641, 2, 4, 3, 8, 63syl122anc 1377 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ ((𝐴 β‰  𝑅 ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) β†’ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ© ∨ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)))
6564adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ ((𝐴 β‰  𝑅 ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) β†’ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ© ∨ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)))
6660, 61, 62, 65mp3and 1461 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ© ∨ π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©))
6753, 58, 66mpjaod 859 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
6867exp32 420 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ© ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) β†’ ((𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) β†’ 𝑋 = π‘Œ)))
6932, 38, 46, 68ccased 1037 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ (((𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©) ∧ (π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) β†’ ((𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©) β†’ 𝑋 = π‘Œ)))
7069imp32 418 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ (((𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©) ∧ (π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ (𝑅 β‰  𝐴 ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐴, π‘ŒβŸ©))) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
7124, 70syldan 590 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) ∧ (((𝑋 β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩) ∧ ((π‘Œ β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩))) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
7271ex 412 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ ((((𝑋 β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘‹βŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩) ∧ ((π‘Œ β‰  𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐴 ∧ (π‘Œ Btwn ⟨𝐴, π‘…βŸ© ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©)) ∧ ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩)) β†’ 𝑋 = π‘Œ))
7312, 72sylbid 239 1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘Œ ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ (((𝐴OutsideOfβŸ¨π‘‹, π‘…βŸ© ∧ ⟨𝐴, π‘‹βŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩) ∧ (𝐴OutsideOfβŸ¨π‘Œ, π‘…βŸ© ∧ ⟨𝐴, π‘ŒβŸ©Cgr⟨𝐡, 𝐢⟩)) β†’ 𝑋 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  β„•cn 12228  π”Όcee 28673   Btwn cbtwn 28674  Cgrccgr 28675  OutsideOfcoutsideof 35638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-sum 15651  df-ee 28676  df-btwn 28677  df-cgr 28678  df-ofs 35502  df-colinear 35558  df-ifs 35559  df-cgr3 35560  df-fs 35561  df-outsideof 35639
This theorem is referenced by:  outsideofeu  35650  outsidele  35651
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