Theorem outsideofeq 36622

Description: Uniqueness law for OutsideOf. Analogue of segconeq 36502. (Contributed by Scott Fenton, 24-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
outsideofeq	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴OutsideOf⟨𝑋, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑌, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem outsideofeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simp21 1225	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		simp32 1229	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		simp22 1226	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		broutsideof2 36614	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴OutsideOf⟨𝑋, 𝑅⟩ ↔ (𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩))))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴OutsideOf⟨𝑋, 𝑅⟩ ↔ (𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩))))
7	6	anbi1d 642	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴OutsideOf⟨𝑋, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
8		simp33 1230	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		broutsideof2 36614	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴OutsideOf⟨𝑌, 𝑅⟩ ↔ (𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩))))
10	1, 2, 8, 4, 9	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴OutsideOf⟨𝑌, 𝑅⟩ ↔ (𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩))))
11	10	anbi1d 642	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴OutsideOf⟨𝑌, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
12	7, 11	anbi12d 643	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴OutsideOf⟨𝑋, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑌, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))))
13		simpll3 1233	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩))
14		simprl3 1239	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩))
15	13, 14	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩) ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)))
16	15	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩) ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)))
17		simpll2 1232	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑅 ≠ 𝐴)
18	17	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑅 ≠ 𝐴)
19		simp23 1227	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
20		simp31 1228	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
21		simprlr 791	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)
22		simprrr 793	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)
23	1, 2, 3, 2, 8, 19, 20, 21, 22	cgrtr3and 36487	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
24	16, 18, 23	jca32 524	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩) ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)))
25		simprll 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩)
26		simprlr 791	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩)
27		simprrr 793	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
28		midofsegid 36596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌))
29	1, 2, 4, 3, 8, 28	syl122anc 1406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌))
30	29	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌))
31	25, 26, 27, 30	mp3and 1493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 = 𝑌)
32	31	exp32 425	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) → ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
33		simprlr 791	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩)
34		simprll 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)
35	1, 2, 8, 4, 3, 33, 34	btwnexchand 36518	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)
36		simprrr 793	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
37	1, 2, 3, 8, 35, 36	endofsegidand 36578	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 = 𝑌)
38	37	exp32 425	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) → ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
39		simprll 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩)
40		simprlr 791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)
41	1, 2, 3, 4, 8, 39, 40	btwnexchand 36518	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)
42		simprrr 793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
43	1, 2, 3, 2, 8, 42	cgrcomand 36483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩)
44	1, 2, 8, 3, 41, 43	endofsegidand 36578	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑌 = 𝑋)
45	44	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 = 𝑌)
46	45	exp32 425	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) → ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
47		simprr 784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) → 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)
48		simplrr 789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
49	48	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
50	1, 2, 3, 2, 8, 49	cgrcomand 36483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) → ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩)
51	1, 2, 8, 3, 47, 50	endofsegidand 36578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) → 𝑌 = 𝑋)
52	51	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) → 𝑋 = 𝑌)
53	52	expr 461	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩ → 𝑋 = 𝑌))
54		simprr 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) → 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)
55		simplrr 789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
56	55	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
57	1, 2, 3, 8, 54, 56	endofsegidand 36578	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) → 𝑋 = 𝑌)
58	57	expr 461	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ → 𝑋 = 𝑌))
59		simprrl 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑅 ≠ 𝐴)
60	59	necomd 3013	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝐴 ≠ 𝑅)
61		simprll 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)
62		simprlr 791	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)
63		btwnconn1 36593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ≠ 𝑅 ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) → (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩ ∨ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)))
64	1, 2, 4, 3, 8, 63	syl122anc 1406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ≠ 𝑅 ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) → (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩ ∨ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)))
65	64	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → ((𝐴 ≠ 𝑅 ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) → (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩ ∨ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)))
66	60, 61, 62, 65	mp3and 1493	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩ ∨ 𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩))
67	53, 58, 66	mpjaod 873	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 = 𝑌)
68	67	exp32 425	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∧ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩) → ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
69	32, 38, 46, 68	ccased 1054	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩) ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) → ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
70	69	imp32 423	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩) ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))) → 𝑋 = 𝑌)
71	24, 70	syldan 602	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑋 = 𝑌)
72	71	ex 417	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑋⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ((𝑌 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑌 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑌⟩)) ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑋 = 𝑌))
73	12, 72	sylbid 243	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴OutsideOf⟨𝑋, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑌, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  ℕcn 12228  𝔼cee 29237   Btwn cbtwn 29238  Cgrccgr 29239  OutsideOfcoutsideof 36611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734  df-ee 29240  df-btwn 29241  df-cgr 29242  df-ofs 36475  df-colinear 36531  df-ifs 36532  df-cgr3 36533  df-fs 36534  df-outsideof 36612

This theorem is referenced by:  outsideofeu  36623  outsidele  36624