Theorem btwnconn1lem9 34324

Description: Lemma for btwnconn1 34330. Now, a quick use of transitivity to establish congruence on 𝑅𝑄 and 𝐸𝐷. (Contributed by Scott Fenton, 8-Oct-2013.)

Assertion

Ref

Expression

btwnconn1lem9

⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ ((𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑃⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑃⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑅⟩Cgr⟨𝐶, 𝐸⟩) ∧ (𝑅 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ ⟨𝑅, 𝑄⟩Cgr⟨𝑅, 𝑃⟩))))) → ⟨𝑅, 𝑄⟩Cgr⟨𝐸, 𝐷⟩)

Proof of Theorem btwnconn1lem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1201	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simp33 1209	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		simp32 1208	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		simp2r3 1275	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		simp2l2 1271	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		simp2r1 1273	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		simp31 1207	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		simpr3r 1233	. . . 4 ⊢ (((𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑃⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑃⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑅⟩Cgr⟨𝐶, 𝐸⟩) ∧ (𝑅 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ ⟨𝑅, 𝑄⟩Cgr⟨𝑅, 𝑃⟩))) → ⟨𝑅, 𝑄⟩Cgr⟨𝑅, 𝑃⟩)
9	8	ad2antll 725	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ ((𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑃⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑃⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑅⟩Cgr⟨𝐶, 𝐸⟩) ∧ (𝑅 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ ⟨𝑅, 𝑄⟩Cgr⟨𝑅, 𝑃⟩))))) → ⟨𝑅, 𝑄⟩Cgr⟨𝑅, 𝑃⟩)
10		btwnconn1lem8 34323	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ ((𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑃⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑃⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑅⟩Cgr⟨𝐶, 𝐸⟩) ∧ (𝑅 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ ⟨𝑅, 𝑄⟩Cgr⟨𝑅, 𝑃⟩))))) → ⟨𝑅, 𝑃⟩Cgr⟨𝐸, 𝑑⟩)
11	1, 2, 3, 2, 7, 4, 6, 9, 10	cgrtrand 34222	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ ((𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑃⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑃⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑅⟩Cgr⟨𝐶, 𝐸⟩) ∧ (𝑅 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ ⟨𝑅, 𝑄⟩Cgr⟨𝑅, 𝑃⟩))))) → ⟨𝑅, 𝑄⟩Cgr⟨𝐸, 𝑑⟩)
12		simp1 1134	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
13		simp2l 1197	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)))
14		simp2r 1198	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)))
15	12, 13, 14	3jca 1126	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))))
16		simpl 482	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ ((𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑃⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑃⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑅⟩Cgr⟨𝐶, 𝐸⟩) ∧ (𝑅 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ ⟨𝑅, 𝑄⟩Cgr⟨𝑅, 𝑃⟩)))) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))))
17		simprl 767	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ ((𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑃⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑃⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑅⟩Cgr⟨𝐶, 𝐸⟩) ∧ (𝑅 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ ⟨𝑅, 𝑄⟩Cgr⟨𝑅, 𝑃⟩)))) → (𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩))
18	16, 17	jca 511	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ ((𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑃⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑃⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑅⟩Cgr⟨𝐶, 𝐸⟩) ∧ (𝑅 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ ⟨𝑅, 𝑄⟩Cgr⟨𝑅, 𝑃⟩)))) → ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ (𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)))
19		btwnconn1lem6 34321	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ (𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩))) → ⟨𝐸, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑑⟩)
20	15, 18, 19	syl2an 595	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ ((𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑃⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑃⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑅⟩Cgr⟨𝐶, 𝐸⟩) ∧ (𝑅 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ ⟨𝑅, 𝑄⟩Cgr⟨𝑅, 𝑃⟩))))) → ⟨𝐸, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑑⟩)
21	1, 2, 3, 4, 5, 4, 6, 11, 20	cgrtr3and 34224	1 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ ((𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑃⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑃⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑅⟩Cgr⟨𝐶, 𝐸⟩) ∧ (𝑅 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ ⟨𝑅, 𝑄⟩Cgr⟨𝑅, 𝑃⟩))))) → ⟨𝑅, 𝑄⟩Cgr⟨𝐸, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  ℕcn 11903  𝔼cee 27159   Btwn cbtwn 27160  Cgrccgr 27161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-ee 27162  df-btwn 27163  df-cgr 27164  df-ofs 34212  df-ifs 34269  df-cgr3 34270

This theorem is referenced by:  btwnconn1lem10  34325  btwnconn1lem11  34326