Proof of Theorem btwnconn1lem9
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1202 |
. 2
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ) |
2 | | simp33 1210 |
. 2
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
3 | | simp32 1209 |
. 2
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
4 | | simp2r3 1276 |
. 2
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
5 | | simp2l2 1272 |
. 2
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
6 | | simp2r1 1274 |
. 2
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
7 | | simp31 1208 |
. . 3
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
8 | | simpr3r 1234 |
. . . 4
⊢ (((𝐸 Btwn 〈𝐶, 𝑐〉 ∧ 𝐸 Btwn 〈𝐷, 𝑑〉) ∧ ((𝐶 Btwn 〈𝑐, 𝑃〉 ∧ 〈𝐶, 𝑃〉Cgr〈𝐶, 𝑑〉) ∧ (𝐶 Btwn 〈𝑑, 𝑅〉 ∧ 〈𝐶, 𝑅〉Cgr〈𝐶, 𝐸〉) ∧ (𝑅 Btwn 〈𝑃, 𝑄〉 ∧ 〈𝑅, 𝑄〉Cgr〈𝑅, 𝑃〉))) → 〈𝑅, 𝑄〉Cgr〈𝑅, 𝑃〉) |
9 | 8 | ad2antll 726 |
. . 3
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐷〉)) ∧ ((𝐷 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 〈𝐷, 𝑐〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉) ∧ (𝐶 Btwn 〈𝐴, 𝑑〉 ∧ 〈𝐶, 𝑑〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉)) ∧ ((𝑐 Btwn 〈𝐴, 𝑏〉 ∧ 〈𝑐, 𝑏〉Cgr〈𝐶, 𝐵〉) ∧ (𝑑 Btwn 〈𝐴, 𝑏〉 ∧ 〈𝑑, 𝑏〉Cgr〈𝐷, 𝐵〉))) ∧ ((𝐸 Btwn 〈𝐶, 𝑐〉 ∧ 𝐸 Btwn 〈𝐷, 𝑑〉) ∧ ((𝐶 Btwn 〈𝑐, 𝑃〉 ∧ 〈𝐶, 𝑃〉Cgr〈𝐶, 𝑑〉) ∧ (𝐶 Btwn 〈𝑑, 𝑅〉 ∧ 〈𝐶, 𝑅〉Cgr〈𝐶, 𝐸〉) ∧ (𝑅 Btwn 〈𝑃, 𝑄〉 ∧ 〈𝑅, 𝑄〉Cgr〈𝑅, 𝑃〉))))) → 〈𝑅, 𝑄〉Cgr〈𝑅, 𝑃〉) |
10 | | btwnconn1lem8 34396 |
. . 3
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐷〉)) ∧ ((𝐷 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 〈𝐷, 𝑐〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉) ∧ (𝐶 Btwn 〈𝐴, 𝑑〉 ∧ 〈𝐶, 𝑑〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉)) ∧ ((𝑐 Btwn 〈𝐴, 𝑏〉 ∧ 〈𝑐, 𝑏〉Cgr〈𝐶, 𝐵〉) ∧ (𝑑 Btwn 〈𝐴, 𝑏〉 ∧ 〈𝑑, 𝑏〉Cgr〈𝐷, 𝐵〉))) ∧ ((𝐸 Btwn 〈𝐶, 𝑐〉 ∧ 𝐸 Btwn 〈𝐷, 𝑑〉) ∧ ((𝐶 Btwn 〈𝑐, 𝑃〉 ∧ 〈𝐶, 𝑃〉Cgr〈𝐶, 𝑑〉) ∧ (𝐶 Btwn 〈𝑑, 𝑅〉 ∧ 〈𝐶, 𝑅〉Cgr〈𝐶, 𝐸〉) ∧ (𝑅 Btwn 〈𝑃, 𝑄〉 ∧ 〈𝑅, 𝑄〉Cgr〈𝑅, 𝑃〉))))) → 〈𝑅, 𝑃〉Cgr〈𝐸, 𝑑〉) |
11 | 1, 2, 3, 2, 7, 4, 6, 9, 10 | cgrtrand 34295 |
. 2
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐷〉)) ∧ ((𝐷 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 〈𝐷, 𝑐〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉) ∧ (𝐶 Btwn 〈𝐴, 𝑑〉 ∧ 〈𝐶, 𝑑〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉)) ∧ ((𝑐 Btwn 〈𝐴, 𝑏〉 ∧ 〈𝑐, 𝑏〉Cgr〈𝐶, 𝐵〉) ∧ (𝑑 Btwn 〈𝐴, 𝑏〉 ∧ 〈𝑑, 𝑏〉Cgr〈𝐷, 𝐵〉))) ∧ ((𝐸 Btwn 〈𝐶, 𝑐〉 ∧ 𝐸 Btwn 〈𝐷, 𝑑〉) ∧ ((𝐶 Btwn 〈𝑐, 𝑃〉 ∧ 〈𝐶, 𝑃〉Cgr〈𝐶, 𝑑〉) ∧ (𝐶 Btwn 〈𝑑, 𝑅〉 ∧ 〈𝐶, 𝑅〉Cgr〈𝐶, 𝐸〉) ∧ (𝑅 Btwn 〈𝑃, 𝑄〉 ∧ 〈𝑅, 𝑄〉Cgr〈𝑅, 𝑃〉))))) → 〈𝑅, 𝑄〉Cgr〈𝐸, 𝑑〉) |
12 | | simp1 1135 |
. . . 4
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) |
13 | | simp2l 1198 |
. . . 4
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))) |
14 | | simp2r 1199 |
. . . 4
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) |
15 | 12, 13, 14 | 3jca 1127 |
. . 3
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)))) |
16 | | simpl 483 |
. . . 4
⊢
(((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐷〉)) ∧ ((𝐷 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 〈𝐷, 𝑐〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉) ∧ (𝐶 Btwn 〈𝐴, 𝑑〉 ∧ 〈𝐶, 𝑑〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉)) ∧ ((𝑐 Btwn 〈𝐴, 𝑏〉 ∧ 〈𝑐, 𝑏〉Cgr〈𝐶, 𝐵〉) ∧ (𝑑 Btwn 〈𝐴, 𝑏〉 ∧ 〈𝑑, 𝑏〉Cgr〈𝐷, 𝐵〉))) ∧ ((𝐸 Btwn 〈𝐶, 𝑐〉 ∧ 𝐸 Btwn 〈𝐷, 𝑑〉) ∧ ((𝐶 Btwn 〈𝑐, 𝑃〉 ∧ 〈𝐶, 𝑃〉Cgr〈𝐶, 𝑑〉) ∧ (𝐶 Btwn 〈𝑑, 𝑅〉 ∧ 〈𝐶, 𝑅〉Cgr〈𝐶, 𝐸〉) ∧ (𝑅 Btwn 〈𝑃, 𝑄〉 ∧ 〈𝑅, 𝑄〉Cgr〈𝑅, 𝑃〉)))) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐷〉)) ∧ ((𝐷 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 〈𝐷, 𝑐〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉) ∧ (𝐶 Btwn 〈𝐴, 𝑑〉 ∧ 〈𝐶, 𝑑〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉)) ∧ ((𝑐 Btwn 〈𝐴, 𝑏〉 ∧ 〈𝑐, 𝑏〉Cgr〈𝐶, 𝐵〉) ∧ (𝑑 Btwn 〈𝐴, 𝑏〉 ∧ 〈𝑑, 𝑏〉Cgr〈𝐷, 𝐵〉)))) |
17 | | simprl 768 |
. . . 4
⊢
(((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐷〉)) ∧ ((𝐷 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 〈𝐷, 𝑐〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉) ∧ (𝐶 Btwn 〈𝐴, 𝑑〉 ∧ 〈𝐶, 𝑑〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉)) ∧ ((𝑐 Btwn 〈𝐴, 𝑏〉 ∧ 〈𝑐, 𝑏〉Cgr〈𝐶, 𝐵〉) ∧ (𝑑 Btwn 〈𝐴, 𝑏〉 ∧ 〈𝑑, 𝑏〉Cgr〈𝐷, 𝐵〉))) ∧ ((𝐸 Btwn 〈𝐶, 𝑐〉 ∧ 𝐸 Btwn 〈𝐷, 𝑑〉) ∧ ((𝐶 Btwn 〈𝑐, 𝑃〉 ∧ 〈𝐶, 𝑃〉Cgr〈𝐶, 𝑑〉) ∧ (𝐶 Btwn 〈𝑑, 𝑅〉 ∧ 〈𝐶, 𝑅〉Cgr〈𝐶, 𝐸〉) ∧ (𝑅 Btwn 〈𝑃, 𝑄〉 ∧ 〈𝑅, 𝑄〉Cgr〈𝑅, 𝑃〉)))) → (𝐸 Btwn 〈𝐶, 𝑐〉 ∧ 𝐸 Btwn 〈𝐷, 𝑑〉)) |
18 | 16, 17 | jca 512 |
. . 3
⊢
(((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐷〉)) ∧ ((𝐷 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 〈𝐷, 𝑐〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉) ∧ (𝐶 Btwn 〈𝐴, 𝑑〉 ∧ 〈𝐶, 𝑑〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉)) ∧ ((𝑐 Btwn 〈𝐴, 𝑏〉 ∧ 〈𝑐, 𝑏〉Cgr〈𝐶, 𝐵〉) ∧ (𝑑 Btwn 〈𝐴, 𝑏〉 ∧ 〈𝑑, 𝑏〉Cgr〈𝐷, 𝐵〉))) ∧ ((𝐸 Btwn 〈𝐶, 𝑐〉 ∧ 𝐸 Btwn 〈𝐷, 𝑑〉) ∧ ((𝐶 Btwn 〈𝑐, 𝑃〉 ∧ 〈𝐶, 𝑃〉Cgr〈𝐶, 𝑑〉) ∧ (𝐶 Btwn 〈𝑑, 𝑅〉 ∧ 〈𝐶, 𝑅〉Cgr〈𝐶, 𝐸〉) ∧ (𝑅 Btwn 〈𝑃, 𝑄〉 ∧ 〈𝑅, 𝑄〉Cgr〈𝑅, 𝑃〉)))) → ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐷〉)) ∧ ((𝐷 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 〈𝐷, 𝑐〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉) ∧ (𝐶 Btwn 〈𝐴, 𝑑〉 ∧ 〈𝐶, 𝑑〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉)) ∧ ((𝑐 Btwn 〈𝐴, 𝑏〉 ∧ 〈𝑐, 𝑏〉Cgr〈𝐶, 𝐵〉) ∧ (𝑑 Btwn 〈𝐴, 𝑏〉 ∧ 〈𝑑, 𝑏〉Cgr〈𝐷, 𝐵〉))) ∧ (𝐸 Btwn 〈𝐶, 𝑐〉 ∧ 𝐸 Btwn 〈𝐷, 𝑑〉))) |
19 | | btwnconn1lem6 34394 |
. . 3
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐷〉)) ∧ ((𝐷 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 〈𝐷, 𝑐〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉) ∧ (𝐶 Btwn 〈𝐴, 𝑑〉 ∧ 〈𝐶, 𝑑〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉)) ∧ ((𝑐 Btwn 〈𝐴, 𝑏〉 ∧ 〈𝑐, 𝑏〉Cgr〈𝐶, 𝐵〉) ∧ (𝑑 Btwn 〈𝐴, 𝑏〉 ∧ 〈𝑑, 𝑏〉Cgr〈𝐷, 𝐵〉))) ∧ (𝐸 Btwn 〈𝐶, 𝑐〉 ∧ 𝐸 Btwn 〈𝐷, 𝑑〉))) → 〈𝐸, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝑑〉) |
20 | 15, 18, 19 | syl2an 596 |
. 2
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐷〉)) ∧ ((𝐷 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 〈𝐷, 𝑐〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉) ∧ (𝐶 Btwn 〈𝐴, 𝑑〉 ∧ 〈𝐶, 𝑑〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉)) ∧ ((𝑐 Btwn 〈𝐴, 𝑏〉 ∧ 〈𝑐, 𝑏〉Cgr〈𝐶, 𝐵〉) ∧ (𝑑 Btwn 〈𝐴, 𝑏〉 ∧ 〈𝑑, 𝑏〉Cgr〈𝐷, 𝐵〉))) ∧ ((𝐸 Btwn 〈𝐶, 𝑐〉 ∧ 𝐸 Btwn 〈𝐷, 𝑑〉) ∧ ((𝐶 Btwn 〈𝑐, 𝑃〉 ∧ 〈𝐶, 𝑃〉Cgr〈𝐶, 𝑑〉) ∧ (𝐶 Btwn 〈𝑑, 𝑅〉 ∧ 〈𝐶, 𝑅〉Cgr〈𝐶, 𝐸〉) ∧ (𝑅 Btwn 〈𝑃, 𝑄〉 ∧ 〈𝑅, 𝑄〉Cgr〈𝑅, 𝑃〉))))) → 〈𝐸, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝑑〉) |
21 | 1, 2, 3, 4, 5, 4, 6, 11, 20 | cgrtr3and 34297 |
1
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐷〉)) ∧ ((𝐷 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 〈𝐷, 𝑐〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉) ∧ (𝐶 Btwn 〈𝐴, 𝑑〉 ∧ 〈𝐶, 𝑑〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉)) ∧ ((𝑐 Btwn 〈𝐴, 𝑏〉 ∧ 〈𝑐, 𝑏〉Cgr〈𝐶, 𝐵〉) ∧ (𝑑 Btwn 〈𝐴, 𝑏〉 ∧ 〈𝑑, 𝑏〉Cgr〈𝐷, 𝐵〉))) ∧ ((𝐸 Btwn 〈𝐶, 𝑐〉 ∧ 𝐸 Btwn 〈𝐷, 𝑑〉) ∧ ((𝐶 Btwn 〈𝑐, 𝑃〉 ∧ 〈𝐶, 𝑃〉Cgr〈𝐶, 𝑑〉) ∧ (𝐶 Btwn 〈𝑑, 𝑅〉 ∧ 〈𝐶, 𝑅〉Cgr〈𝐶, 𝐸〉) ∧ (𝑅 Btwn 〈𝑃, 𝑄〉 ∧ 〈𝑅, 𝑄〉Cgr〈𝑅, 𝑃〉))))) → 〈𝑅, 𝑄〉Cgr〈𝐸, 𝐷〉) |