Theorem cgrtrand 36222

Description: Deduction form of cgrtr 36221. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgrtrand.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cgrtrand.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtrand.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtrand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtrand.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtrand.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtrand.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtrand.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
cgrtrand.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)

Assertion

Ref	Expression
cgrtrand	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)

Proof of Theorem cgrtrand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgrtrand.8	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
2		cgrtrand.9	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
3		cgrtrand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		cgrtrand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		cgrtrand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		cgrtrand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		cgrtrand.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		cgrtrand.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		cgrtrand.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		cgrtr 36221	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	syl133anc 1401	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩))
12	11	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩))
13	1, 2, 12	mp2and 705	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  ⟨cop 4568   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  ℕcn 12172  𝔼cee 28981  Cgrccgr 28983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-seq 13962  df-exp 14022  df-sum 15647  df-ee 28984  df-cgr 28986

This theorem is referenced by:  cgrtr3  36223  btwnconn1lem9  36324  btwnconn1lem12  36327  seglecgr12im  36339  segletr  36343  segleantisym  36344