Theorem cgrtrand 34281

Description: Deduction form of cgrtr 34280. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgrtrand.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cgrtrand.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtrand.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtrand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtrand.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtrand.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtrand.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtrand.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
cgrtrand.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)

Assertion

Ref	Expression
cgrtrand	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)

Proof of Theorem cgrtrand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgrtrand.8	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
2		cgrtrand.9	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
3		cgrtrand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		cgrtrand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		cgrtrand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		cgrtrand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		cgrtrand.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		cgrtrand.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		cgrtrand.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		cgrtr 34280	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	syl133anc 1392	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩))
12	11	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩))
13	1, 2, 12	mp2and 696	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4568   class class class wbr 5074  ‘cfv 6427  ℕcn 11961  𝔼cee 27244  Cgrccgr 27246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-er 8486  df-map 8605  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-nn 11962  df-2 12024  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-fz 13228  df-seq 13710  df-exp 13771  df-sum 15386  df-ee 27247  df-cgr 27249

This theorem is referenced by:  cgrtr3  34282  btwnconn1lem9  34383  btwnconn1lem12  34386  seglecgr12im  34398  segletr  34402  segleantisym  34403