Theorem segletr 36849

Description: Segment less than is transitive. Theorem 5.8 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
segletr	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ Seg≤ ⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐸, 𝐹⟩))

Proof of Theorem segletr

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprll 791	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) → 𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩)
2		simprrr 794	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩)
3	1, 2	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) → (𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))
4		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		simpl23 1272	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		simpl31 1273	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		simpl32 1274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		cgrxfr 36790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) → ∃𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩)))
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	syl132anc 1415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) → ∃𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩)))
12	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) → ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) → ∃𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩)))
13	3, 12	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) → ∃𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩))
14		anass 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))))
15		df-3an 1105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)))
16	15	anbi2i 635	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))))
17	14, 16	bitr4i 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))))
18		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
19		simpl23 1272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
20		simpr1 1213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))
21		simpl31 1273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
22		simpl32 1274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
23		simpr3 1215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))
24		simpr2 1214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))
25		brcgr3 36781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩ ↔ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩)))
26	18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	syl133anc 1420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩ ↔ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩)))
27	26	anbi2d 642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩) ↔ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩))))
28	27	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) → ((𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩) ↔ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩))))
29		df-3an 1105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) ∧ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩))) ↔ (((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩)) ∧ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩))))
30		simpl33 1275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
31		simpr3l 1253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) ∧ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩)))) → 𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩)
32		simpr2l 1251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) ∧ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩)))) → 𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩)
33	18, 22, 23, 24, 30, 31, 32	btwnexchand 36761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) ∧ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩)))) → 𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩)
34		simpl21 1270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
35		simpl22 1271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
36		simpr1r 1250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) ∧ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩)))) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩)
37		simp3r1 1300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) ∧ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩))) → ⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩)
38	37	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) ∧ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩)))) → ⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩)
39	18, 34, 35, 19, 20, 22, 23, 36, 38	cgrtrand 36728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) ∧ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩)))) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩)
40	33, 39	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) ∧ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩)))) → (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩))
41	29, 40	sylan2br 607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩)) ∧ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩)))) → (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩))
42	41	expr 462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) → ((𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩)) → (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩)))
43	28, 42	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) → ((𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩) → (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩)))
44	17, 43	sylanb 593	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) → ((𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩) → (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩)))
45	44	an32s 665	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩) → (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩)))
46	45	reximdva 3176	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) → (∃𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩) → ∃𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩)))
47	13, 46	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) → ∃𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩))
48	47	exp31 425	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩)) → ∃𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩))))
49	48	rexlimdvv 3219	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩)) → ∃𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩)))
50		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
51		simp21 1225	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
52		simp22 1226	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
53		simp23 1227	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
54		simp31 1228	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
55		brsegle 36843	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩)))
56	50, 51, 52, 53, 54, 55	syl122anc 1406	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩)))
57		simp32 1229	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
58		simp33 1230	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
59		brsegle 36843	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝐷⟩ Seg≤ ⟨𝐸, 𝐹⟩ ↔ ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩)))
60	50, 53, 54, 57, 58, 59	syl122anc 1406	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝐷⟩ Seg≤ ⟨𝐸, 𝐹⟩ ↔ ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩)))
61	56, 60	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ Seg≤ ⟨𝐸, 𝐹⟩) ↔ (∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))))
62		reeanv 3235	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩)) ↔ (∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩)))
63	61, 62	bitr4di 292	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ Seg≤ ⟨𝐸, 𝐹⟩) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))))
64		brsegle 36843	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐸, 𝐹⟩ ↔ ∃𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩)))
65	50, 51, 52, 57, 58, 64	syl122anc 1406	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐸, 𝐹⟩ ↔ ∃𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩)))
66	49, 63, 65	3imtr4d 297	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ Seg≤ ⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐸, 𝐹⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  ℕcn 12316  𝔼cee 29447   Btwn cbtwn 29448  Cgrccgr 29449  Cgr3ccgr3 36771   Seg_≤ csegle 36841

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-sum 15834  df-ee 29450  df-btwn 29451  df-cgr 29452  df-ofs 36718  df-cgr3 36776  df-segle 36842

This theorem is used by: (None)