Theorem segletr 37070

Description: Segment less than is transitive. Theorem 5.8 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
segletr	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ Seg≤ ⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐸, 𝐹⟩))

Proof of Theorem segletr

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprll 791	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) → 𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩)
2		simprrr 794	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩)
3	1, 2	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) → (𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))
4		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		simpl23 1272	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		simpl31 1273	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		simpl32 1274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		cgrxfr 37011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) → ∃𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩)))
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	syl132anc 1416	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) → ∃𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩)))
12	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) → ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) → ∃𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩)))
13	3, 12	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) → ∃𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩))
14		anass 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))))
15		df-3an 1105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)))
16	15	anbi2i 635	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))))
17	14, 16	bitr4i 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))))
18		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
19		simpl23 1272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
20		simpr1 1213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))
21		simpl31 1273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
22		simpl32 1274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
23		simpr3 1215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))
24		simpr2 1214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))
25		brcgr3 37002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩ ↔ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩)))
26	18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	syl133anc 1421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩ ↔ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩)))
27	26	anbi2d 642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩) ↔ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩))))
28	27	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) → ((𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩) ↔ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩))))
29		df-3an 1105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) ∧ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩))) ↔ (((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩)) ∧ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩))))
30		simpl33 1275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
31		simpr3l 1253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) ∧ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩)))) → 𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩)
32		simpr2l 1251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) ∧ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩)))) → 𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩)
33	18, 22, 23, 24, 30, 31, 32	btwnexchand 36982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) ∧ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩)))) → 𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩)
34		simpl21 1270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
35		simpl22 1271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
36		simpr1r 1250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) ∧ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩)))) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩)
37		simp3r1 1300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) ∧ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩))) → ⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩)
38	37	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) ∧ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩)))) → ⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩)
39	18, 34, 35, 19, 20, 22, 23, 36, 38	cgrtrand 36949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) ∧ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩)))) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩)
40	33, 39	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩) ∧ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩)))) → (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩))
41	29, 40	sylan2br 607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩)) ∧ (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩)))) → (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩))
42	41	expr 462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) → ((𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ (⟨𝐶, 𝑦⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝑦, 𝐷⟩Cgr⟨𝑤, 𝑧⟩)) → (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩)))
43	28, 42	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) → ((𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩) → (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩)))
44	17, 43	sylanb 593	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) → ((𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩) → (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩)))
45	44	an32s 665	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) ∧ 𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩) → (𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩)))
46	45	reximdva 3179	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) → (∃𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝑧⟩ ∧ ⟨𝐶, ⟨𝑦, 𝐷⟩⟩Cgr3⟨𝐸, ⟨𝑤, 𝑧⟩⟩) → ∃𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩)))
47	13, 46	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))) → ∃𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩))
48	47	exp31 425	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩)) → ∃𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩))))
49	48	rexlimdvv 3222	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩)) → ∃𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩)))
50		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
51		simp21 1225	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
52		simp22 1226	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
53		simp23 1227	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
54		simp31 1228	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
55		brsegle 37064	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩)))
56	50, 51, 52, 53, 54, 55	syl122anc 1407	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩)))
57		simp32 1229	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
58		simp33 1230	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
59		brsegle 37064	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝐷⟩ Seg≤ ⟨𝐸, 𝐹⟩ ↔ ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩)))
60	50, 53, 54, 57, 58, 59	syl122anc 1407	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝐷⟩ Seg≤ ⟨𝐸, 𝐹⟩ ↔ ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩)))
61	56, 60	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ Seg≤ ⟨𝐸, 𝐹⟩) ↔ (∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))))
62		reeanv 3238	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩)) ↔ (∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩)))
63	61, 62	bitr4di 292	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ Seg≤ ⟨𝐸, 𝐹⟩) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑦 Btwn ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝑦⟩) ∧ (𝑧 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝑧⟩))))
64		brsegle 37064	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐸, 𝐹⟩ ↔ ∃𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩)))
65	50, 51, 52, 57, 58, 64	syl122anc 1407	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐸, 𝐹⟩ ↔ ∃𝑤 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑤 Btwn ⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝑤⟩)))
66	49, 63, 65	3imtr4d 297	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ Seg≤ ⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐸, 𝐹⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  ℕcn 12365  𝔼cee 29498   Btwn cbtwn 29499  Cgrccgr 29500  Cgr3ccgr3 36992   Seg_≤ csegle 37062

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-clim 15687  df-sum 15886  df-ee 29501  df-btwn 29502  df-cgr 29503  df-ofs 36939  df-cgr3 36997  df-segle 37063

This theorem is used by: (None)