MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkclwwlklem2fv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwlkclwwlklem2fv1 27491
Description: Lemma 4a for clwlkclwwlklem2a 27494. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkclwwlklem2.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem2fv1 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2fv1
StepHypRef Expression
1 clwlkclwwlklem2.f . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
2 breq1 4926 . . . 4 (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ↔ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
3 fveq2 6493 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐼 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝐼))
4 fvoveq1 6993 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐼 → (𝑃‘(𝑥 + 1)) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
53, 4preq12d 4545 . . . . 5 (𝑥 = 𝐼 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
65fveq2d 6497 . . . 4 (𝑥 = 𝐼 → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
73preq1d 4543 . . . . 5 (𝑥 = 𝐼 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘0)})
87fveq2d 6497 . . . 4 (𝑥 = 𝐼 → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘0)}))
92, 6, 8ifbieq12d 4371 . . 3 (𝑥 = 𝐼 → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) = if(𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘0)})))
10 elfzolt2 12856 . . . . 5 (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))
1110adantl 474 . . . 4 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))
1211iftrued 4352 . . 3 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → if(𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘0)})) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
139, 12sylan9eqr 2830 . 2 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
14 nn0z 11811 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
15 2z 11820 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
1615a1i 11 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
1714, 16zsubcld 11898 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
18 peano2zm 11831 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
1914, 18syl 17 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
20 1red 10432 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
21 2re 11507 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
23 nn0re 11710 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
24 1le2 11649 . . . . . . 7 1 ≤ 2
2524a1i 11 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ≤ 2)
2620, 22, 23, 25lesub2dd 11050 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ≤ ((♯‘𝑃) − 1))
27 eluz2 12057 . . . . 5 (((♯‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑃) − 2)) ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ≤ ((♯‘𝑃) − 1)))
2817, 19, 26, 27syl3anbrc 1323 . . . 4 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑃) − 2)))
29 fzoss2 12873 . . . 4 (((♯‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑃) − 2)) → (0..^((♯‘𝑃) − 2)) ⊆ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
3028, 29syl 17 . . 3 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0..^((♯‘𝑃) − 2)) ⊆ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
3130sselda 3854 . 2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
32 fvexd 6508 . 2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}) ∈ V)
331, 13, 31, 32fvmptd2 6596 1 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  Vcvv 3409  wss 3825  ifcif 4344  {cpr 4437   class class class wbr 4923  cmpt 5002  ccnv 5399  cfv 6182  (class class class)co 6970  cr 10326  0cc0 10327  1c1 10328   + caddc 10330   < clt 10466  cle 10467  cmin 10662  2c2 11488  0cn0 11700  cz 11786  cuz 12051  ..^cfzo 12842  chash 13498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-fz 12702  df-fzo 12843
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a4  27493
  Copyright terms: Public domain W3C validator