Theorem clwlkclwwlklem2fv1 30070

Description: Lemma 4a for clwlkclwwlklem2a 30073. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
clwlkclwwlklem2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))

Assertion

Ref	Expression
clwlkclwwlklem2fv1	⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐹‘𝐼) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2fv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwlkclwwlklem2.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))
2		breq1 5101	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ↔ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
3		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝐼))
4		fvoveq1 7381	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑃‘(𝑥 + 1)) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
5	3, 4	preq12d 4698	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
6	5	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
7	3	preq1d 4696	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘0)})
8	7	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘0)}))
9	2, 6, 8	ifbieq12d 4508	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) = if(𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘0)})))
10		elfzolt2 13584	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))
12	11	iftrued 4487	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → if(𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘0)})) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
13	9, 12	sylan9eqr 2793	. 2 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
14		nn0z 12512	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
15		2z 12523	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
17	14, 16	zsubcld 12601	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
18		peano2zm 12534	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
19	14, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
20		1red 11133	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
21		2re 12219	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
23		nn0re 12410	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
24		1le2 12349	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≤ 2
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ≤ 2)
26	20, 22, 23, 25	lesub2dd 11754	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ≤ ((♯‘𝑃) − 1))
27		eluz2 12757	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑃) − 2)) ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ≤ ((♯‘𝑃) − 1)))
28	17, 19, 26, 27	syl3anbrc 1344	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑃) − 2)))
29		fzoss2 13603	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑃) − 2)) → (0..^((♯‘𝑃) − 2)) ⊆ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
30	28, 29	syl 17	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0..^((♯‘𝑃) − 2)) ⊆ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
31	30	sselda 3933	. 2 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
32		fvexd 6849	. 2 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}) ∈ V)
33	1, 13, 31, 32	fvmptd2 6949	1 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐹‘𝐼) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  ifcif 4479  {cpr 4582   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ^◡ccnv 5623  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ..^cfzo 13570  ♯chash 14253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571

This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a4  30072