MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkclwwlklem2fv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwlkclwwlklem2fv1 27700
Description: Lemma 4a for clwlkclwwlklem2a 27703. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkclwwlklem2.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem2fv1 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2fv1
StepHypRef Expression
1 clwlkclwwlklem2.f . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
2 breq1 5060 . . . 4 (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ↔ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
3 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐼 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝐼))
4 fvoveq1 7168 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐼 → (𝑃‘(𝑥 + 1)) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
53, 4preq12d 4669 . . . . 5 (𝑥 = 𝐼 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
65fveq2d 6667 . . . 4 (𝑥 = 𝐼 → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
73preq1d 4667 . . . . 5 (𝑥 = 𝐼 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘0)})
87fveq2d 6667 . . . 4 (𝑥 = 𝐼 → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘0)}))
92, 6, 8ifbieq12d 4490 . . 3 (𝑥 = 𝐼 → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) = if(𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘0)})))
10 elfzolt2 13035 . . . . 5 (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))
1110adantl 482 . . . 4 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))
1211iftrued 4471 . . 3 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → if(𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘0)})) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
139, 12sylan9eqr 2875 . 2 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
14 nn0z 11993 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
15 2z 12002 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
1615a1i 11 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
1714, 16zsubcld 12080 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
18 peano2zm 12013 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
1914, 18syl 17 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
20 1red 10630 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
21 2re 11699 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
23 nn0re 11894 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
24 1le2 11834 . . . . . . 7 1 ≤ 2
2524a1i 11 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ≤ 2)
2620, 22, 23, 25lesub2dd 11245 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ≤ ((♯‘𝑃) − 1))
27 eluz2 12237 . . . . 5 (((♯‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑃) − 2)) ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ≤ ((♯‘𝑃) − 1)))
2817, 19, 26, 27syl3anbrc 1335 . . . 4 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑃) − 2)))
29 fzoss2 13053 . . . 4 (((♯‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑃) − 2)) → (0..^((♯‘𝑃) − 2)) ⊆ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
3028, 29syl 17 . . 3 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0..^((♯‘𝑃) − 2)) ⊆ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
3130sselda 3964 . 2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
32 fvexd 6678 . 2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}) ∈ V)
331, 13, 31, 32fvmptd2 6768 1 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  wss 3933  ifcif 4463  {cpr 4559   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ccnv 5547  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  ..^cfzo 13021  chash 13678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a4  27702
  Copyright terms: Public domain W3C validator