MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkclwwlklem2fv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwlkclwwlklem2fv1 30014
Description: Lemma 4a for clwlkclwwlklem2a 30017. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkclwwlklem2.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem2fv1 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2fv1
StepHypRef Expression
1 clwlkclwwlklem2.f . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
2 breq1 5146 . . . 4 (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ↔ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
3 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐼 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝐼))
4 fvoveq1 7454 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐼 → (𝑃‘(𝑥 + 1)) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
53, 4preq12d 4741 . . . . 5 (𝑥 = 𝐼 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
65fveq2d 6910 . . . 4 (𝑥 = 𝐼 → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
73preq1d 4739 . . . . 5 (𝑥 = 𝐼 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘0)})
87fveq2d 6910 . . . 4 (𝑥 = 𝐼 → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘0)}))
92, 6, 8ifbieq12d 4554 . . 3 (𝑥 = 𝐼 → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) = if(𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘0)})))
10 elfzolt2 13708 . . . . 5 (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))
1110adantl 481 . . . 4 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))
1211iftrued 4533 . . 3 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → if(𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘0)})) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
139, 12sylan9eqr 2799 . 2 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
14 nn0z 12638 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
15 2z 12649 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
1615a1i 11 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
1714, 16zsubcld 12727 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
18 peano2zm 12660 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
1914, 18syl 17 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
20 1red 11262 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
21 2re 12340 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
23 nn0re 12535 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
24 1le2 12475 . . . . . . 7 1 ≤ 2
2524a1i 11 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ≤ 2)
2620, 22, 23, 25lesub2dd 11880 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ≤ ((♯‘𝑃) − 1))
27 eluz2 12884 . . . . 5 (((♯‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑃) − 2)) ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ≤ ((♯‘𝑃) − 1)))
2817, 19, 26, 27syl3anbrc 1344 . . . 4 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑃) − 2)))
29 fzoss2 13727 . . . 4 (((♯‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑃) − 2)) → (0..^((♯‘𝑃) − 2)) ⊆ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
3028, 29syl 17 . . 3 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0..^((♯‘𝑃) − 2)) ⊆ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
3130sselda 3983 . 2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
32 fvexd 6921 . 2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}) ∈ V)
331, 13, 31, 32fvmptd2 7024 1 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951  ifcif 4525  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccnv 5684  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ..^cfzo 13694  chash 14369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a4  30016
  Copyright terms: Public domain W3C validator