Theorem clwlkclwwlklem2fv1 30082

Description: Lemma 4a for clwlkclwwlklem2a 30085. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
clwlkclwwlklem2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))

Assertion

Ref	Expression
clwlkclwwlklem2fv1	⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐹‘𝐼) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2fv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwlkclwwlklem2.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))
2		breq1 5103	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ↔ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
3		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝐼))
4		fvoveq1 7391	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑃‘(𝑥 + 1)) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
5	3, 4	preq12d 4700	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
6	5	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
7	3	preq1d 4698	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘0)})
8	7	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘0)}))
9	2, 6, 8	ifbieq12d 4510	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) = if(𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘0)})))
10		elfzolt2 13596	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))
12	11	iftrued 4489	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → if(𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘0)})) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
13	9, 12	sylan9eqr 2794	. 2 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
14		nn0z 12524	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
15		2z 12535	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
17	14, 16	zsubcld 12613	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
18		peano2zm 12546	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
19	14, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
20		1red 11145	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
21		2re 12231	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
23		nn0re 12422	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
24		1le2 12361	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≤ 2
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ≤ 2)
26	20, 22, 23, 25	lesub2dd 11766	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ≤ ((♯‘𝑃) − 1))
27		eluz2 12769	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑃) − 2)) ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ≤ ((♯‘𝑃) − 1)))
28	17, 19, 26, 27	syl3anbrc 1345	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑃) − 2)))
29		fzoss2 13615	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑃) − 2)) → (0..^((♯‘𝑃) − 2)) ⊆ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
30	28, 29	syl 17	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0..^((♯‘𝑃) − 2)) ⊆ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
31	30	sselda 3935	. 2 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
32		fvexd 6857	. 2 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}) ∈ V)
33	1, 13, 31, 32	fvmptd2 6958	1 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐹‘𝐼) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ifcif 4481  {cpr 4584   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5631  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583

This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a4  30084