Theorem clwlkclwwlklem2fv1 29245

Description: Lemma 4a for clwlkclwwlklem2a 29248. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
clwlkclwwlklem2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))

Assertion

Ref	Expression
clwlkclwwlklem2fv1	⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐹‘𝐼) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2fv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwlkclwwlklem2.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))
2		breq1 5151	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ↔ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
3		fveq2 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝐼))
4		fvoveq1 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑃‘(𝑥 + 1)) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
5	3, 4	preq12d 4745	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
6	5	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
7	3	preq1d 4743	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘0)})
8	7	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘0)}))
9	2, 6, 8	ifbieq12d 4556	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) = if(𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘0)})))
10		elfzolt2 13640	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))
11	10	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))
12	11	iftrued 4536	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → if(𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘0)})) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
13	9, 12	sylan9eqr 2794	. 2 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
14		nn0z 12582	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
15		2z 12593	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
17	14, 16	zsubcld 12670	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
18		peano2zm 12604	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
19	14, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
20		1red 11214	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
21		2re 12285	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
23		nn0re 12480	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
24		1le2 12420	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≤ 2
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ≤ 2)
26	20, 22, 23, 25	lesub2dd 11830	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ≤ ((♯‘𝑃) − 1))
27		eluz2 12827	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑃) − 2)) ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ≤ ((♯‘𝑃) − 1)))
28	17, 19, 26, 27	syl3anbrc 1343	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑃) − 2)))
29		fzoss2 13659	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑃) − 2)) → (0..^((♯‘𝑃) − 2)) ⊆ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
30	28, 29	syl 17	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0..^((♯‘𝑃) − 2)) ⊆ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
31	30	sselda 3982	. 2 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
32		fvexd 6906	. 2 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}) ∈ V)
33	1, 13, 31, 32	fvmptd2 7006	1 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐹‘𝐼) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948  ifcif 4528  {cpr 4630   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5675  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11247   ≤ cle 11248   − cmin 11443  2c2 12266  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557  ℤ_≥cuz 12821  ..^cfzo 13626  ♯chash 14289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627

This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a4  29247