MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkclwwlklem2a2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwlkclwwlklem2a2 29790
Description: Lemma 2 for clwlkclwwlklem2a 29795. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkclwwlklem2.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem2a2 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
Distinct variable group:   𝑥,𝑃
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a2
StepHypRef Expression
1 lencl 14507 . . . 4 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
2 nn0z 12605 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
32adantr 480 . . . . 5 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
4 0red 11239 . . . . . 6 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 0 ∈ ℝ)
5 2re 12308 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . 6 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ∈ ℝ)
7 nn0re 12503 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
87adantr 480 . . . . . 6 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
9 2pos 12337 . . . . . . 7 0 < 2
109a1i 11 . . . . . 6 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 0 < 2)
11 simpr 484 . . . . . 6 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
124, 6, 8, 10, 11ltletrd 11396 . . . . 5 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 0 < (♯‘𝑃))
13 elnnz 12590 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝑃)))
143, 12, 13sylanbrc 582 . . . 4 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ)
151, 14sylan 579 . . 3 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ)
16 nnm1nn0 12535 . . 3 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0)
1715, 16syl 17 . 2 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0)
18 fvex 6904 . . . 4 (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ V
19 fvex 6904 . . . 4 (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ V
2018, 19ifex 4574 . . 3 if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) ∈ V
21 clwlkclwwlklem2.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
2220, 21fnmpti 6692 . 2 𝐹 Fn (0..^((♯‘𝑃) − 1))
23 ffzo0hash 14432 . 2 ((((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0𝐹 Fn (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
2417, 22, 23sylancl 585 1 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  ifcif 4524  {cpr 4626   class class class wbr 5142  cmpt 5225  ccnv 5671   Fn wfn 6537  cfv 6542  (class class class)co 7414  cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   < clt 11270  cle 11271  cmin 11466  cn 12234  2c2 12289  0cn0 12494  cz 12580  ..^cfzo 13651  chash 14313  Word cword 14488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a3  29791  clwlkclwwlklem2a  29795
  Copyright terms: Public domain W3C validator