MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubgss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubgss 19164
Description: The cyclic subgroup generated by an element ๐ด is a subset of any subgroup containing ๐ด. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubg.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
cycsubg.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
cycsubg.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))
Assertion
Ref Expression
cycsubgss ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โ†’ ran ๐น โІ ๐‘†)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘ฅ,๐‘†   ๐‘ฅ, ยท   ๐‘ฅ,๐‘‹
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘ฅ)

Proof of Theorem cycsubgss
StepHypRef Expression
1 cycsubg.t . . . . . 6 ยท = (.gโ€˜๐บ)
21subgmulgcl 19096 . . . . 5 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ด) โˆˆ ๐‘†)
323expa 1115 . . . 4 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ด) โˆˆ ๐‘†)
43an32s 650 . . 3 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ด) โˆˆ ๐‘†)
5 cycsubg.f . . 3 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))
64, 5fmptd 7117 . 2 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐น:โ„คโŸถ๐‘†)
76frnd 6723 1 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โ†’ ran ๐น โІ ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โІ wss 3939   โ†ฆ cmpt 5224  ran crn 5671  โ€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  โ„คcz 12586  Basecbs 17177  .gcmg 19025  SubGrpcsubg 19077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-seq 13997  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-mulg 19026  df-subg 19080
This theorem is referenced by:  cycsubg  19165
  Copyright terms: Public domain W3C validator