Theorem cycsubgss 19173

Description: The cyclic subgroup generated by an element 𝐴 is a subset of any subgroup containing 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubg.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cycsubg.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubg.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
cycsubgss	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ran 𝐹 ⊆ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑆   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cycsubgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubg.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
2	1	subgmulgcl 19106	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑆)
3	2	3expa 1124	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑆)
4	3	an32s 658	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑆)
5		cycsubg.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
6	4, 5	fmptd 7055	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐹:ℤ⟶𝑆)
7	6	frnd 6663	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ran 𝐹 ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883   ↦ cmpt 5153  ran crn 5619  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℤcz 12515  Basecbs 17170  ._gcmg 19034  SubGrpcsubg 19087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-seq 13955  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-mulg 19035  df-subg 19090

This theorem is referenced by:  cycsubg  19174