Theorem cycsubgss 19084

Description: The cyclic subgroup generated by an element 𝐴 is a subset of any subgroup containing 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubg.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cycsubg.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubg.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
cycsubgss	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ran 𝐹 ⊆ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑆   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cycsubgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubg.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
2	1	subgmulgcl 19019	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑆)
3	2	3expa 1119	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑆)
4	3	an32s 651	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑆)
5		cycsubg.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
6	4, 5	fmptd 7114	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐹:ℤ⟶𝑆)
7	6	frnd 6726	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ran 𝐹 ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3949   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℤcz 12558  Basecbs 17144  ._gcmg 18950  SubGrpcsubg 19000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-subg 19003

This theorem is referenced by:  cycsubg  19085