MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubg 19170
Description: The cyclic group generated by ๐ด is the smallest subgroup containing ๐ด. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubg.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
cycsubg.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
cycsubg.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))
Assertion
Ref Expression
cycsubg ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ran ๐น = โˆฉ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ })
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ ,๐ด   ๐บ,๐‘ ,๐‘ฅ   ๐‘ฅ, ยท   ๐‘ฅ,๐‘‹   ๐น,๐‘ 
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ )   ๐น(๐‘ฅ)   ๐‘‹(๐‘ )

Proof of Theorem cycsubg
StepHypRef Expression
1 ssintab 4972 . . . . 5 (ran ๐น โІ โˆฉ {๐‘  โˆฃ (๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ )} โ†” โˆ€๐‘ ((๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ ) โ†’ ran ๐น โІ ๐‘ ))
2 cycsubg.x . . . . . 6 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
3 cycsubg.t . . . . . 6 ยท = (.gโ€˜๐บ)
4 cycsubg.f . . . . . 6 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))
52, 3, 4cycsubgss 19169 . . . . 5 ((๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ ) โ†’ ran ๐น โІ ๐‘ )
61, 5mpgbir 1793 . . . 4 ran ๐น โІ โˆฉ {๐‘  โˆฃ (๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ )}
7 df-rab 3431 . . . . 5 {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ } = {๐‘  โˆฃ (๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ )}
87inteqi 4957 . . . 4 โˆฉ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ } = โˆฉ {๐‘  โˆฃ (๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ )}
96, 8sseqtrri 4019 . . 3 ran ๐น โІ โˆฉ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ }
109a1i 11 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ran ๐น โІ โˆฉ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ })
112, 3, 4cycsubgcl 19168 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (ran ๐น โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ran ๐น))
12 eleq2 2818 . . . . 5 (๐‘  = ran ๐น โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘  โ†” ๐ด โˆˆ ran ๐น))
1312elrab 3684 . . . 4 (ran ๐น โˆˆ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ } โ†” (ran ๐น โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ran ๐น))
1411, 13sylibr 233 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ran ๐น โˆˆ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ })
15 intss1 4970 . . 3 (ran ๐น โˆˆ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ } โ†’ โˆฉ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ } โІ ran ๐น)
1614, 15syl 17 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โˆฉ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ } โІ ran ๐น)
1710, 16eqssd 3999 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ran ๐น = โˆฉ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {cab 2705  {crab 3430   โІ wss 3949  โˆฉ cint 4953   โ†ฆ cmpt 5235  ran crn 5683  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„คcz 12596  Basecbs 17187  Grpcgrp 18897  .gcmg 19030  SubGrpcsubg 19082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031  df-subg 19085
This theorem is referenced by:  cycsubg2  19172
  Copyright terms: Public domain W3C validator