MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubg 19131
Description: The cyclic group generated by ๐ด is the smallest subgroup containing ๐ด. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubg.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
cycsubg.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
cycsubg.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))
Assertion
Ref Expression
cycsubg ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ran ๐น = โˆฉ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ })
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ ,๐ด   ๐บ,๐‘ ,๐‘ฅ   ๐‘ฅ, ยท   ๐‘ฅ,๐‘‹   ๐น,๐‘ 
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ )   ๐น(๐‘ฅ)   ๐‘‹(๐‘ )

Proof of Theorem cycsubg
StepHypRef Expression
1 ssintab 4962 . . . . 5 (ran ๐น โІ โˆฉ {๐‘  โˆฃ (๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ )} โ†” โˆ€๐‘ ((๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ ) โ†’ ran ๐น โІ ๐‘ ))
2 cycsubg.x . . . . . 6 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
3 cycsubg.t . . . . . 6 ยท = (.gโ€˜๐บ)
4 cycsubg.f . . . . . 6 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))
52, 3, 4cycsubgss 19130 . . . . 5 ((๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ ) โ†’ ran ๐น โІ ๐‘ )
61, 5mpgbir 1793 . . . 4 ran ๐น โІ โˆฉ {๐‘  โˆฃ (๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ )}
7 df-rab 3427 . . . . 5 {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ } = {๐‘  โˆฃ (๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ )}
87inteqi 4947 . . . 4 โˆฉ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ } = โˆฉ {๐‘  โˆฃ (๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ )}
96, 8sseqtrri 4014 . . 3 ran ๐น โІ โˆฉ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ }
109a1i 11 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ran ๐น โІ โˆฉ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ })
112, 3, 4cycsubgcl 19129 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (ran ๐น โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ran ๐น))
12 eleq2 2816 . . . . 5 (๐‘  = ran ๐น โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘  โ†” ๐ด โˆˆ ran ๐น))
1312elrab 3678 . . . 4 (ran ๐น โˆˆ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ } โ†” (ran ๐น โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ran ๐น))
1411, 13sylibr 233 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ran ๐น โˆˆ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ })
15 intss1 4960 . . 3 (ran ๐น โˆˆ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ } โ†’ โˆฉ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ } โІ ran ๐น)
1614, 15syl 17 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โˆฉ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ } โІ ran ๐น)
1710, 16eqssd 3994 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ran ๐น = โˆฉ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {cab 2703  {crab 3426   โІ wss 3943  โˆฉ cint 4943   โ†ฆ cmpt 5224  ran crn 5670  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„คcz 12559  Basecbs 17150  Grpcgrp 18860  .gcmg 18992  SubGrpcsubg 19044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-seq 13970  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-mulg 18993  df-subg 19047
This theorem is referenced by:  cycsubg2  19133
  Copyright terms: Public domain W3C validator