Theorem cycsubg 19325

Description: The cyclic group generated by 𝐴 is the smallest subgroup containing 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubg.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cycsubg.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubg.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
cycsubg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ran 𝐹 = ∩ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝐴   𝐺,𝑠,𝑥   𝑥, ·   𝑥,𝑋   𝐹,𝑠

Allowed substitution hints:   · (𝑠)   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem cycsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintab 4932	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ∩ {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠)} ↔ ∀𝑠((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) → ran 𝐹 ⊆ 𝑠))
2		cycsubg.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		cycsubg.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		cycsubg.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
5	2, 3, 4	cycsubgss 19324	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) → ran 𝐹 ⊆ 𝑠)
6	1, 5	mpgbir 1832	. . . 4 ⊢ ran 𝐹 ⊆ ∩ {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠)}
7		df-rab 3419	. . . . 5 ⊢ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠} = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠)}
8	7	inteqi 4918	. . . 4 ⊢ ∩ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠} = ∩ {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠)}
9	6, 8	sseqtrri 3987	. . 3 ⊢ ran 𝐹 ⊆ ∩ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠}
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ran 𝐹 ⊆ ∩ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠})
11	2, 3, 4	cycsubgcl 19323	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐹))
12		eleq2 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ran 𝐹 → (𝐴 ∈ 𝑠 ↔ 𝐴 ∈ ran 𝐹))
13	12	elrab 3652	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 ∈ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠} ↔ (ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐹))
14	11, 13	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ran 𝐹 ∈ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠})
15		intss1 4930	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ∈ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠} → ∩ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠} ⊆ ran 𝐹)
16	14, 15	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ∩ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠} ⊆ ran 𝐹)
17	10, 16	eqssd 3955	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ran 𝐹 = ∩ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2743  {crab 3418   ⊆ wss 3906  ∩ cint 4914   ↦ cmpt 5194  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℤcz 12608  Basecbs 17293  Grpcgrp 19046  ._gcmg 19179  SubGrpcsubg 19232

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-seq 14058  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-mulg 19180  df-subg 19235

This theorem is used by:  cycsubg2  19327