![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cycsubg | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The cyclic group generated by ๐ด is the smallest subgroup containing ๐ด. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
cycsubg.x | โข ๐ = (Baseโ๐บ) |
cycsubg.t | โข ยท = (.gโ๐บ) |
cycsubg.f | โข ๐น = (๐ฅ โ โค โฆ (๐ฅ ยท ๐ด)) |
Ref | Expression |
---|---|
cycsubg | โข ((๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐) โ ran ๐น = โฉ {๐ โ (SubGrpโ๐บ) โฃ ๐ด โ ๐ }) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ssintab 4972 | . . . . 5 โข (ran ๐น โ โฉ {๐ โฃ (๐ โ (SubGrpโ๐บ) โง ๐ด โ ๐ )} โ โ๐ ((๐ โ (SubGrpโ๐บ) โง ๐ด โ ๐ ) โ ran ๐น โ ๐ )) | |
2 | cycsubg.x | . . . . . 6 โข ๐ = (Baseโ๐บ) | |
3 | cycsubg.t | . . . . . 6 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
4 | cycsubg.f | . . . . . 6 โข ๐น = (๐ฅ โ โค โฆ (๐ฅ ยท ๐ด)) | |
5 | 2, 3, 4 | cycsubgss 19169 | . . . . 5 โข ((๐ โ (SubGrpโ๐บ) โง ๐ด โ ๐ ) โ ran ๐น โ ๐ ) |
6 | 1, 5 | mpgbir 1793 | . . . 4 โข ran ๐น โ โฉ {๐ โฃ (๐ โ (SubGrpโ๐บ) โง ๐ด โ ๐ )} |
7 | df-rab 3431 | . . . . 5 โข {๐ โ (SubGrpโ๐บ) โฃ ๐ด โ ๐ } = {๐ โฃ (๐ โ (SubGrpโ๐บ) โง ๐ด โ ๐ )} | |
8 | 7 | inteqi 4957 | . . . 4 โข โฉ {๐ โ (SubGrpโ๐บ) โฃ ๐ด โ ๐ } = โฉ {๐ โฃ (๐ โ (SubGrpโ๐บ) โง ๐ด โ ๐ )} |
9 | 6, 8 | sseqtrri 4019 | . . 3 โข ran ๐น โ โฉ {๐ โ (SubGrpโ๐บ) โฃ ๐ด โ ๐ } |
10 | 9 | a1i 11 | . 2 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐) โ ran ๐น โ โฉ {๐ โ (SubGrpโ๐บ) โฃ ๐ด โ ๐ }) |
11 | 2, 3, 4 | cycsubgcl 19168 | . . . 4 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐) โ (ran ๐น โ (SubGrpโ๐บ) โง ๐ด โ ran ๐น)) |
12 | eleq2 2818 | . . . . 5 โข (๐ = ran ๐น โ (๐ด โ ๐ โ ๐ด โ ran ๐น)) | |
13 | 12 | elrab 3684 | . . . 4 โข (ran ๐น โ {๐ โ (SubGrpโ๐บ) โฃ ๐ด โ ๐ } โ (ran ๐น โ (SubGrpโ๐บ) โง ๐ด โ ran ๐น)) |
14 | 11, 13 | sylibr 233 | . . 3 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐) โ ran ๐น โ {๐ โ (SubGrpโ๐บ) โฃ ๐ด โ ๐ }) |
15 | intss1 4970 | . . 3 โข (ran ๐น โ {๐ โ (SubGrpโ๐บ) โฃ ๐ด โ ๐ } โ โฉ {๐ โ (SubGrpโ๐บ) โฃ ๐ด โ ๐ } โ ran ๐น) | |
16 | 14, 15 | syl 17 | . 2 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐) โ โฉ {๐ โ (SubGrpโ๐บ) โฃ ๐ด โ ๐ } โ ran ๐น) |
17 | 10, 16 | eqssd 3999 | 1 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐) โ ran ๐น = โฉ {๐ โ (SubGrpโ๐บ) โฃ ๐ด โ ๐ }) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 {cab 2705 {crab 3430 โ wss 3949 โฉ cint 4953 โฆ cmpt 5235 ran crn 5683 โcfv 6553 (class class class)co 7426 โคcz 12596 Basecbs 17187 Grpcgrp 18897 .gcmg 19030 SubGrpcsubg 19082 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-int 4954 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7877 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-er 8731 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-nn 12251 df-2 12313 df-n0 12511 df-z 12597 df-uz 12861 df-fz 13525 df-seq 14007 df-sets 17140 df-slot 17158 df-ndx 17170 df-base 17188 df-ress 17217 df-plusg 17253 df-0g 17430 df-mgm 18607 df-sgrp 18686 df-mnd 18702 df-grp 18900 df-minusg 18901 df-mulg 19031 df-subg 19085 |
This theorem is referenced by: cycsubg2 19172 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |