![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cycsubg | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The cyclic group generated by ๐ด is the smallest subgroup containing ๐ด. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
cycsubg.x | โข ๐ = (Baseโ๐บ) |
cycsubg.t | โข ยท = (.gโ๐บ) |
cycsubg.f | โข ๐น = (๐ฅ โ โค โฆ (๐ฅ ยท ๐ด)) |
Ref | Expression |
---|---|
cycsubg | โข ((๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐) โ ran ๐น = โฉ {๐ โ (SubGrpโ๐บ) โฃ ๐ด โ ๐ }) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ssintab 4927 | . . . . 5 โข (ran ๐น โ โฉ {๐ โฃ (๐ โ (SubGrpโ๐บ) โง ๐ด โ ๐ )} โ โ๐ ((๐ โ (SubGrpโ๐บ) โง ๐ด โ ๐ ) โ ran ๐น โ ๐ )) | |
2 | cycsubg.x | . . . . . 6 โข ๐ = (Baseโ๐บ) | |
3 | cycsubg.t | . . . . . 6 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
4 | cycsubg.f | . . . . . 6 โข ๐น = (๐ฅ โ โค โฆ (๐ฅ ยท ๐ด)) | |
5 | 2, 3, 4 | cycsubgss 19001 | . . . . 5 โข ((๐ โ (SubGrpโ๐บ) โง ๐ด โ ๐ ) โ ran ๐น โ ๐ ) |
6 | 1, 5 | mpgbir 1802 | . . . 4 โข ran ๐น โ โฉ {๐ โฃ (๐ โ (SubGrpโ๐บ) โง ๐ด โ ๐ )} |
7 | df-rab 3409 | . . . . 5 โข {๐ โ (SubGrpโ๐บ) โฃ ๐ด โ ๐ } = {๐ โฃ (๐ โ (SubGrpโ๐บ) โง ๐ด โ ๐ )} | |
8 | 7 | inteqi 4912 | . . . 4 โข โฉ {๐ โ (SubGrpโ๐บ) โฃ ๐ด โ ๐ } = โฉ {๐ โฃ (๐ โ (SubGrpโ๐บ) โง ๐ด โ ๐ )} |
9 | 6, 8 | sseqtrri 3982 | . . 3 โข ran ๐น โ โฉ {๐ โ (SubGrpโ๐บ) โฃ ๐ด โ ๐ } |
10 | 9 | a1i 11 | . 2 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐) โ ran ๐น โ โฉ {๐ โ (SubGrpโ๐บ) โฃ ๐ด โ ๐ }) |
11 | 2, 3, 4 | cycsubgcl 19000 | . . . 4 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐) โ (ran ๐น โ (SubGrpโ๐บ) โง ๐ด โ ran ๐น)) |
12 | eleq2 2827 | . . . . 5 โข (๐ = ran ๐น โ (๐ด โ ๐ โ ๐ด โ ran ๐น)) | |
13 | 12 | elrab 3646 | . . . 4 โข (ran ๐น โ {๐ โ (SubGrpโ๐บ) โฃ ๐ด โ ๐ } โ (ran ๐น โ (SubGrpโ๐บ) โง ๐ด โ ran ๐น)) |
14 | 11, 13 | sylibr 233 | . . 3 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐) โ ran ๐น โ {๐ โ (SubGrpโ๐บ) โฃ ๐ด โ ๐ }) |
15 | intss1 4925 | . . 3 โข (ran ๐น โ {๐ โ (SubGrpโ๐บ) โฃ ๐ด โ ๐ } โ โฉ {๐ โ (SubGrpโ๐บ) โฃ ๐ด โ ๐ } โ ran ๐น) | |
16 | 14, 15 | syl 17 | . 2 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐) โ โฉ {๐ โ (SubGrpโ๐บ) โฃ ๐ด โ ๐ } โ ran ๐น) |
17 | 10, 16 | eqssd 3962 | 1 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐) โ ran ๐น = โฉ {๐ โ (SubGrpโ๐บ) โฃ ๐ด โ ๐ }) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 {cab 2714 {crab 3408 โ wss 3911 โฉ cint 4908 โฆ cmpt 5189 ran crn 5635 โcfv 6497 (class class class)co 7358 โคcz 12500 Basecbs 17084 Grpcgrp 18749 .gcmg 18873 SubGrpcsubg 18923 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11108 ax-resscn 11109 ax-1cn 11110 ax-icn 11111 ax-addcl 11112 ax-addrcl 11113 ax-mulcl 11114 ax-mulrcl 11115 ax-mulcom 11116 ax-addass 11117 ax-mulass 11118 ax-distr 11119 ax-i2m1 11120 ax-1ne0 11121 ax-1rid 11122 ax-rnegex 11123 ax-rrecex 11124 ax-cnre 11125 ax-pre-lttri 11126 ax-pre-lttrn 11127 ax-pre-ltadd 11128 ax-pre-mulgt0 11129 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3409 df-v 3448 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-int 4909 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-1st 7922 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-er 8649 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-pnf 11192 df-mnf 11193 df-xr 11194 df-ltxr 11195 df-le 11196 df-sub 11388 df-neg 11389 df-nn 12155 df-2 12217 df-n0 12415 df-z 12501 df-uz 12765 df-fz 13426 df-seq 13908 df-sets 17037 df-slot 17055 df-ndx 17067 df-base 17085 df-ress 17114 df-plusg 17147 df-0g 17324 df-mgm 18498 df-sgrp 18547 df-mnd 18558 df-grp 18752 df-minusg 18753 df-mulg 18874 df-subg 18926 |
This theorem is referenced by: cycsubg2 19004 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |