Theorem cycsubg 19120

Description: The cyclic group generated by 𝐴 is the smallest subgroup containing 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubg.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cycsubg.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubg.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
cycsubg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ran 𝐹 = ∩ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝐴   𝐺,𝑠,𝑥   𝑥, ·   𝑥,𝑋   𝐹,𝑠

Allowed substitution hints:   · (𝑠)   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem cycsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintab 4913	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ∩ {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠)} ↔ ∀𝑠((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) → ran 𝐹 ⊆ 𝑠))
2		cycsubg.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		cycsubg.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		cycsubg.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
5	2, 3, 4	cycsubgss 19119	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) → ran 𝐹 ⊆ 𝑠)
6	1, 5	mpgbir 1800	. . . 4 ⊢ ran 𝐹 ⊆ ∩ {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠)}
7		df-rab 3396	. . . . 5 ⊢ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠} = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠)}
8	7	inteqi 4899	. . . 4 ⊢ ∩ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠} = ∩ {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠)}
9	6, 8	sseqtrri 3979	. . 3 ⊢ ran 𝐹 ⊆ ∩ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠}
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ran 𝐹 ⊆ ∩ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠})
11	2, 3, 4	cycsubgcl 19118	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐹))
12		eleq2 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ran 𝐹 → (𝐴 ∈ 𝑠 ↔ 𝐴 ∈ ran 𝐹))
13	12	elrab 3642	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 ∈ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠} ↔ (ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐹))
14	11, 13	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ran 𝐹 ∈ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠})
15		intss1 4911	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ∈ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠} → ∩ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠} ⊆ ran 𝐹)
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ∩ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠} ⊆ ran 𝐹)
17	10, 16	eqssd 3947	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ran 𝐹 = ∩ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709  {crab 3395   ⊆ wss 3897  ∩ cint 4895   ↦ cmpt 5170  ran crn 5615  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℤcz 12468  Basecbs 17120  Grpcgrp 18846  ._gcmg 18980  SubGrpcsubg 19033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-seq 13909  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-mulg 18981  df-subg 19036

This theorem is referenced by:  cycsubg2  19122