Theorem cycsubg 19423

Description: The cyclic group generated by 𝐴 is the smallest subgroup containing 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubg.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cycsubg.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubg.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
cycsubg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ran 𝐹 = ∩ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝐴   𝐺,𝑠,𝑥   𝑥, ·   𝑥,𝑋   𝐹,𝑠

Allowed substitution hints:   · (𝑠)   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem cycsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintab 4925	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ∩ {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠)} ↔ ∀𝑠((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) → ran 𝐹 ⊆ 𝑠))
2		cycsubg.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		cycsubg.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		cycsubg.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
5	2, 3, 4	cycsubgss 19422	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) → ran 𝐹 ⊆ 𝑠)
6	1, 5	mpgbir 1832	. . . 4 ⊢ ran 𝐹 ⊆ ∩ {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠)}
7		df-rab 3414	. . . . 5 ⊢ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠} = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠)}
8	7	inteqi 4911	. . . 4 ⊢ ∩ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠} = ∩ {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠)}
9	6, 8	sseqtrri 3980	. . 3 ⊢ ran 𝐹 ⊆ ∩ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠}
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ran 𝐹 ⊆ ∩ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠})
11	2, 3, 4	cycsubgcl 19421	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐹))
12		eleq2 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ran 𝐹 → (𝐴 ∈ 𝑠 ↔ 𝐴 ∈ ran 𝐹))
13	12	elrab 3645	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 ∈ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠} ↔ (ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐹))
14	11, 13	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ran 𝐹 ∈ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠})
15		intss1 4923	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ∈ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠} → ∩ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠} ⊆ ran 𝐹)
16	14, 15	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ∩ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠} ⊆ ran 𝐹)
17	10, 16	eqssd 3948	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ran 𝐹 = ∩ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑠})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739  {crab 3413   ⊆ wss 3899  ∩ cint 4907   ↦ cmpt 5186  ran crn 5652  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℤcz 12693  Basecbs 17387  Grpcgrp 19144  ._gcmg 19277  SubGrpcsubg 19330

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-seq 14145  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-mulg 19278  df-subg 19333

This theorem is used by:  cycsubg2  19425