MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubg 19002
Description: The cyclic group generated by ๐ด is the smallest subgroup containing ๐ด. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubg.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
cycsubg.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
cycsubg.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))
Assertion
Ref Expression
cycsubg ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ran ๐น = โˆฉ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ })
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ ,๐ด   ๐บ,๐‘ ,๐‘ฅ   ๐‘ฅ, ยท   ๐‘ฅ,๐‘‹   ๐น,๐‘ 
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ )   ๐น(๐‘ฅ)   ๐‘‹(๐‘ )

Proof of Theorem cycsubg
StepHypRef Expression
1 ssintab 4927 . . . . 5 (ran ๐น โŠ† โˆฉ {๐‘  โˆฃ (๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ )} โ†” โˆ€๐‘ ((๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ ) โ†’ ran ๐น โŠ† ๐‘ ))
2 cycsubg.x . . . . . 6 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
3 cycsubg.t . . . . . 6 ยท = (.gโ€˜๐บ)
4 cycsubg.f . . . . . 6 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))
52, 3, 4cycsubgss 19001 . . . . 5 ((๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ ) โ†’ ran ๐น โŠ† ๐‘ )
61, 5mpgbir 1802 . . . 4 ran ๐น โŠ† โˆฉ {๐‘  โˆฃ (๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ )}
7 df-rab 3409 . . . . 5 {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ } = {๐‘  โˆฃ (๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ )}
87inteqi 4912 . . . 4 โˆฉ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ } = โˆฉ {๐‘  โˆฃ (๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ )}
96, 8sseqtrri 3982 . . 3 ran ๐น โŠ† โˆฉ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ }
109a1i 11 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ran ๐น โŠ† โˆฉ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ })
112, 3, 4cycsubgcl 19000 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (ran ๐น โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ran ๐น))
12 eleq2 2827 . . . . 5 (๐‘  = ran ๐น โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘  โ†” ๐ด โˆˆ ran ๐น))
1312elrab 3646 . . . 4 (ran ๐น โˆˆ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ } โ†” (ran ๐น โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ran ๐น))
1411, 13sylibr 233 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ran ๐น โˆˆ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ })
15 intss1 4925 . . 3 (ran ๐น โˆˆ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ } โ†’ โˆฉ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ } โŠ† ran ๐น)
1614, 15syl 17 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โˆฉ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ } โŠ† ran ๐น)
1710, 16eqssd 3962 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ran ๐น = โˆฉ {๐‘  โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆฃ ๐ด โˆˆ ๐‘ })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2714  {crab 3408   โŠ† wss 3911  โˆฉ cint 4908   โ†ฆ cmpt 5189  ran crn 5635  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„คcz 12500  Basecbs 17084  Grpcgrp 18749  .gcmg 18873  SubGrpcsubg 18923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-seq 13908  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-0g 17324  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-mulg 18874  df-subg 18926
This theorem is referenced by:  cycsubg2  19004
  Copyright terms: Public domain W3C validator