MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubmcmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubmcmn 19907
Description: The set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 of a monoid forms a commutative monoid. (Contributed by AV, 20-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubmcmn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubmcmn.t · = (.g𝐺)
cycsubmcmn.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubmcmn.c 𝐶 = ran 𝐹
Assertion
Ref Expression
cycsubmcmn ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (𝐺s 𝐶) ∈ CMnd)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐺   𝑥, ·
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cycsubmcmn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycsubmcmn.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 cycsubmcmn.t . . . 4 · = (.g𝐺)
3 cycsubmcmn.f . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
4 cycsubmcmn.c . . . 4 𝐶 = ran 𝐹
51, 2, 3, 4cycsubm 19220 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))
6 eqid 2737 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
7 eqid 2737 . . . . . 6 (𝐺s 𝐶) = (𝐺s 𝐶)
81, 6, 7issubm2 18817 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐶 ∧ (𝐺s 𝐶) ∈ Mnd)))
98adantr 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐶 ∧ (𝐺s 𝐶) ∈ Mnd)))
10 simp3 1139 . . . 4 ((𝐶𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐶 ∧ (𝐺s 𝐶) ∈ Mnd) → (𝐺s 𝐶) ∈ Mnd)
119, 10biimtrdi 253 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺s 𝐶) ∈ Mnd))
125, 11mpd 15 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (𝐺s 𝐶) ∈ Mnd)
137submbas 18827 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐶 = (Base‘(𝐺s 𝐶)))
145, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 = (Base‘(𝐺s 𝐶)))
1514eqcomd 2743 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (Base‘(𝐺s 𝐶)) = 𝐶)
1615eleq2d 2827 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶)) ↔ 𝑥𝐶))
1715eleq2d 2827 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶)) ↔ 𝑦𝐶))
1816, 17anbi12d 632 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶))) ↔ (𝑥𝐶𝑦𝐶)))
19 eqid 2737 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
201, 2, 3, 4, 19cycsubmcom 19222 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
215adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))
227, 19ressplusg 17334 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g𝐺) = (+g‘(𝐺s 𝐶)))
2322eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g‘(𝐺s 𝐶)) = (+g𝐺))
2423oveqd 7448 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
2523oveqd 7448 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
2624, 25eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → ((𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥) ↔ (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
2721, 26syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → ((𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥) ↔ (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
2820, 27mpbird 257 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥))
2928ex 412 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥𝐶𝑦𝐶) → (𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥)))
3018, 29sylbid 240 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶))) → (𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥)))
3130ralrimivv 3200 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶))(𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥))
32 eqid 2737 . . 3 (Base‘(𝐺s 𝐶)) = (Base‘(𝐺s 𝐶))
33 eqid 2737 . . 3 (+g‘(𝐺s 𝐶)) = (+g‘(𝐺s 𝐶))
3432, 33iscmn 19807 . 2 ((𝐺s 𝐶) ∈ CMnd ↔ ((𝐺s 𝐶) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶))(𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥)))
3512, 31, 34sylanbrc 583 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (𝐺s 𝐶) ∈ CMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wss 3951  cmpt 5225  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cn0 12526  Basecbs 17247  s cress 17274  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  Mndcmnd 18747  SubMndcsubmnd 18795  .gcmg 19085  CMndccmn 19798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cmn 19800
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator