Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubmcmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubmcmn 19090
 Description: The set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 of a monoid forms a commutative monoid. (Contributed by AV, 20-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubmcmn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubmcmn.t · = (.g𝐺)
cycsubmcmn.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubmcmn.c 𝐶 = ran 𝐹
Assertion
Ref Expression
cycsubmcmn ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (𝐺s 𝐶) ∈ CMnd)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐺   𝑥, ·
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cycsubmcmn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycsubmcmn.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 cycsubmcmn.t . . . 4 · = (.g𝐺)
3 cycsubmcmn.f . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
4 cycsubmcmn.c . . . 4 𝐶 = ran 𝐹
51, 2, 3, 4cycsubm 18426 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))
6 eqid 2758 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
7 eqid 2758 . . . . . 6 (𝐺s 𝐶) = (𝐺s 𝐶)
81, 6, 7issubm2 18049 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐶 ∧ (𝐺s 𝐶) ∈ Mnd)))
98adantr 484 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐶 ∧ (𝐺s 𝐶) ∈ Mnd)))
10 simp3 1135 . . . 4 ((𝐶𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐶 ∧ (𝐺s 𝐶) ∈ Mnd) → (𝐺s 𝐶) ∈ Mnd)
119, 10syl6bi 256 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺s 𝐶) ∈ Mnd))
125, 11mpd 15 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (𝐺s 𝐶) ∈ Mnd)
137submbas 18059 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐶 = (Base‘(𝐺s 𝐶)))
145, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 = (Base‘(𝐺s 𝐶)))
1514eqcomd 2764 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (Base‘(𝐺s 𝐶)) = 𝐶)
1615eleq2d 2837 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶)) ↔ 𝑥𝐶))
1715eleq2d 2837 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶)) ↔ 𝑦𝐶))
1816, 17anbi12d 633 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶))) ↔ (𝑥𝐶𝑦𝐶)))
19 eqid 2758 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
201, 2, 3, 4, 19cycsubmcom 18428 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
215adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))
227, 19ressplusg 16684 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g𝐺) = (+g‘(𝐺s 𝐶)))
2322eqcomd 2764 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g‘(𝐺s 𝐶)) = (+g𝐺))
2423oveqd 7173 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
2523oveqd 7173 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
2624, 25eqeq12d 2774 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → ((𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥) ↔ (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
2721, 26syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → ((𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥) ↔ (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
2820, 27mpbird 260 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥))
2928ex 416 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥𝐶𝑦𝐶) → (𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥)))
3018, 29sylbid 243 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶))) → (𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥)))
3130ralrimivv 3119 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶))(𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥))
32 eqid 2758 . . 3 (Base‘(𝐺s 𝐶)) = (Base‘(𝐺s 𝐶))
33 eqid 2758 . . 3 (+g‘(𝐺s 𝐶)) = (+g‘(𝐺s 𝐶))
3432, 33iscmn 18995 . 2 ((𝐺s 𝐶) ∈ CMnd ↔ ((𝐺s 𝐶) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶))(𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥)))
3512, 31, 34sylanbrc 586 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (𝐺s 𝐶) ∈ CMnd)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070   ⊆ wss 3860   ↦ cmpt 5116  ran crn 5529  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℕ0cn0 11947  Basecbs 16555   ↾s cress 16556  +gcplusg 16637  0gc0g 16785  Mndcmnd 17991  SubMndcsubmnd 18035  .gcmg 18305  CMndccmn 18987 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-seq 13432  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-0g 16787  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-submnd 18037  df-mulg 18306  df-cmn 18989 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator