Theorem cycsubmcmn 19859

Description: The set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 of a monoid forms a commutative monoid. (Contributed by AV, 20-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubmcmn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubmcmn.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubmcmn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubmcmn.c	⊢ 𝐶 = ran 𝐹

Assertion

Ref	Expression
cycsubmcmn	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ CMnd)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐺   𝑥, ·

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cycsubmcmn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubmcmn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		cycsubmcmn.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		cycsubmcmn.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
4		cycsubmcmn.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ran 𝐹
5	1, 2, 3, 4	cycsubm 19172	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))
6		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
7		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐶) = (𝐺 ↾s 𝐶)
8	1, 6, 7	issubm2 18767	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ∧ (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ Mnd)))
9	8	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ∧ (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ Mnd)))
10		simp3 1145	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ∧ (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ Mnd) → (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ Mnd)
11	9, 10	biimtrdi 255	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ Mnd))
12	5, 11	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ Mnd)
13	7	submbas 18777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐶 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)))
14	5, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)))
15	14	eqcomd 2747	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)) = 𝐶)
16	15	eleq2d 2827	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ 𝐶))
17	15	eleq2d 2827	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)) ↔ 𝑦 ∈ 𝐶))
18	16, 17	anbi12d 639	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))
19		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
20	1, 2, 3, 4, 19	cycsubmcom 19174	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
21	5	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))
22	7, 19	ressplusg 17249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘(𝐺 ↾s 𝐶)))
23	22	eqcomd 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g‘(𝐺 ↾s 𝐶)) = (+g‘𝐺))
24	23	oveqd 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
25	23	oveqd 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
26	24, 25	eqeq12d 2757	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → ((𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥) ↔ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
27	21, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → ((𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥) ↔ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
28	20, 27	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥))
29	28	ex 414	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥)))
30	18, 29	sylbid 242	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶))) → (𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥)))
31	30	ralrimivv 3182	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶))(𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥))
32		eqid 2741	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶))
33		eqid 2741	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐺 ↾s 𝐶)) = (+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))
34	32, 33	iscmn 19759	. 2 ⊢ ((𝐺 ↾s 𝐶) ∈ CMnd ↔ ((𝐺 ↾s 𝐶) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶))(𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥)))
35	12, 31, 34	sylanbrc 590	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055   ⊆ wss 3885   ↦ cmpt 5156  ran crn 5622  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℕ₀cn0 12432  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195  +_gcplusg 17215  0_gc0g 17397  Mndcmnd 18697  SubMndcsubmnd 18745  ._gcmg 19038  CMndccmn 19750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-seq 13959  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cmn 19752

This theorem is referenced by: (None)