MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubmcmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubmcmn 19922
Description: The set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 of a monoid forms a commutative monoid. (Contributed by AV, 20-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubmcmn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubmcmn.t · = (.g𝐺)
cycsubmcmn.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubmcmn.c 𝐶 = ran 𝐹
Assertion
Ref Expression
cycsubmcmn ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (𝐺s 𝐶) ∈ CMnd)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐺   𝑥, ·
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cycsubmcmn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycsubmcmn.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 cycsubmcmn.t . . . 4 · = (.g𝐺)
3 cycsubmcmn.f . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
4 cycsubmcmn.c . . . 4 𝐶 = ran 𝐹
51, 2, 3, 4cycsubm 19233 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))
6 eqid 2735 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
7 eqid 2735 . . . . . 6 (𝐺s 𝐶) = (𝐺s 𝐶)
81, 6, 7issubm2 18830 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐶 ∧ (𝐺s 𝐶) ∈ Mnd)))
98adantr 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐶 ∧ (𝐺s 𝐶) ∈ Mnd)))
10 simp3 1137 . . . 4 ((𝐶𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐶 ∧ (𝐺s 𝐶) ∈ Mnd) → (𝐺s 𝐶) ∈ Mnd)
119, 10biimtrdi 253 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺s 𝐶) ∈ Mnd))
125, 11mpd 15 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (𝐺s 𝐶) ∈ Mnd)
137submbas 18840 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐶 = (Base‘(𝐺s 𝐶)))
145, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 = (Base‘(𝐺s 𝐶)))
1514eqcomd 2741 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (Base‘(𝐺s 𝐶)) = 𝐶)
1615eleq2d 2825 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶)) ↔ 𝑥𝐶))
1715eleq2d 2825 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶)) ↔ 𝑦𝐶))
1816, 17anbi12d 632 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶))) ↔ (𝑥𝐶𝑦𝐶)))
19 eqid 2735 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
201, 2, 3, 4, 19cycsubmcom 19235 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
215adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))
227, 19ressplusg 17336 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g𝐺) = (+g‘(𝐺s 𝐶)))
2322eqcomd 2741 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g‘(𝐺s 𝐶)) = (+g𝐺))
2423oveqd 7448 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
2523oveqd 7448 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
2624, 25eqeq12d 2751 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → ((𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥) ↔ (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
2721, 26syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → ((𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥) ↔ (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
2820, 27mpbird 257 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥))
2928ex 412 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥𝐶𝑦𝐶) → (𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥)))
3018, 29sylbid 240 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶))) → (𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥)))
3130ralrimivv 3198 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶))(𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥))
32 eqid 2735 . . 3 (Base‘(𝐺s 𝐶)) = (Base‘(𝐺s 𝐶))
33 eqid 2735 . . 3 (+g‘(𝐺s 𝐶)) = (+g‘(𝐺s 𝐶))
3432, 33iscmn 19822 . 2 ((𝐺s 𝐶) ∈ CMnd ↔ ((𝐺s 𝐶) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐶))(𝑥(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺s 𝐶))𝑥)))
3512, 31, 34sylanbrc 583 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (𝐺s 𝐶) ∈ CMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wss 3963  cmpt 5231  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cn0 12524  Basecbs 17245  s cress 17274  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  Mndcmnd 18760  SubMndcsubmnd 18808  .gcmg 19098  CMndccmn 19813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cmn 19815
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator