Theorem cycsubmcmn 19004

Description: The set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 of a monoid forms a commutative monoid. (Contributed by AV, 20-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubmcmn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubmcmn.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubmcmn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubmcmn.c	⊢ 𝐶 = ran 𝐹

Assertion

Ref	Expression
cycsubmcmn	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ CMnd)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐺   𝑥, ·

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cycsubmcmn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubmcmn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		cycsubmcmn.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		cycsubmcmn.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
4		cycsubmcmn.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ran 𝐹
5	1, 2, 3, 4	cycsubm 18341	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))
6		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
7		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐶) = (𝐺 ↾s 𝐶)
8	1, 6, 7	issubm2 17965	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ∧ (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ Mnd)))
9	8	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ∧ (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ Mnd)))
10		simp3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ∧ (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ Mnd) → (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ Mnd)
11	9, 10	syl6bi 255	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ Mnd))
12	5, 11	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ Mnd)
13	7	submbas 17975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐶 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)))
14	5, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)))
15	14	eqcomd 2826	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)) = 𝐶)
16	15	eleq2d 2897	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ 𝐶))
17	15	eleq2d 2897	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)) ↔ 𝑦 ∈ 𝐶))
18	16, 17	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))
19		eqid 2820	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
20	1, 2, 3, 4, 19	cycsubmcom 18343	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
21	5	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))
22	7, 19	ressplusg 16608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘(𝐺 ↾s 𝐶)))
23	22	eqcomd 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g‘(𝐺 ↾s 𝐶)) = (+g‘𝐺))
24	23	oveqd 7170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
25	23	oveqd 7170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
26	24, 25	eqeq12d 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → ((𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥) ↔ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
27	21, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → ((𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥) ↔ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
28	20, 27	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥))
29	28	ex 415	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥)))
30	18, 29	sylbid 242	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶))) → (𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥)))
31	30	ralrimivv 3189	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶))(𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥))
32		eqid 2820	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶))
33		eqid 2820	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐺 ↾s 𝐶)) = (+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))
34	32, 33	iscmn 18910	. 2 ⊢ ((𝐺 ↾s 𝐶) ∈ CMnd ↔ ((𝐺 ↾s 𝐶) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶))(𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥)))
35	12, 31, 34	sylanbrc 585	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3137   ⊆ wss 3933   ↦ cmpt 5143  ran crn 5553  ‘cfv 6352  (class class class)co 7153  ℕ₀cn0 11895  Basecbs 16479   ↾_s cress 16480  +_gcplusg 16561  0_gc0g 16709  Mndcmnd 17907  SubMndcsubmnd 17951  ._gcmg 18220  CMndccmn 18902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458  ax-cnex 10590  ax-resscn 10591  ax-1cn 10592  ax-icn 10593  ax-addcl 10594  ax-addrcl 10595  ax-mulcl 10596  ax-mulrcl 10597  ax-mulcom 10598  ax-addass 10599  ax-mulass 10600  ax-distr 10601  ax-i2m1 10602  ax-1ne0 10603  ax-1rid 10604  ax-rnegex 10605  ax-rrecex 10606  ax-cnre 10607  ax-pre-lttri 10608  ax-pre-lttrn 10609  ax-pre-ltadd 10610  ax-pre-mulgt0 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4836  df-iun 4918  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5457  df-eprel 5462  df-po 5471  df-so 5472  df-fr 5511  df-we 5513  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7111  df-ov 7156  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-om 7578  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-pnf 10674  df-mnf 10675  df-xr 10676  df-ltxr 10677  df-le 10678  df-sub 10869  df-neg 10870  df-nn 11636  df-2 11698  df-n0 11896  df-z 11980  df-uz 12242  df-fz 12891  df-seq 13368  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cmn 18904

This theorem is referenced by: (None)