MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubmcmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubmcmn 19809
Description: The set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 of a monoid forms a commutative monoid. (Contributed by AV, 20-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubmcmn.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
cycsubmcmn.t Β· = (.gβ€˜πΊ)
cycsubmcmn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ Β· 𝐴))
cycsubmcmn.c 𝐢 = ran 𝐹
Assertion
Ref Expression
cycsubmcmn ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 β†Ύs 𝐢) ∈ CMnd)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐺   π‘₯, Β·
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem cycsubmcmn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycsubmcmn.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 cycsubmcmn.t . . . 4 Β· = (.gβ€˜πΊ)
3 cycsubmcmn.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ Β· 𝐴))
4 cycsubmcmn.c . . . 4 𝐢 = ran 𝐹
51, 2, 3, 4cycsubm 19128 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
6 eqid 2726 . . . . . 6 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
7 eqid 2726 . . . . . 6 (𝐺 β†Ύs 𝐢) = (𝐺 β†Ύs 𝐢)
81, 6, 7issubm2 18729 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (𝐢 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ (𝐢 βŠ† 𝐡 ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐢 ∧ (𝐺 β†Ύs 𝐢) ∈ Mnd)))
98adantr 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (𝐢 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ (𝐢 βŠ† 𝐡 ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐢 ∧ (𝐺 β†Ύs 𝐢) ∈ Mnd)))
10 simp3 1135 . . . 4 ((𝐢 βŠ† 𝐡 ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐢 ∧ (𝐺 β†Ύs 𝐢) ∈ Mnd) β†’ (𝐺 β†Ύs 𝐢) ∈ Mnd)
119, 10biimtrdi 252 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (𝐢 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 β†Ύs 𝐢) ∈ Mnd))
125, 11mpd 15 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 β†Ύs 𝐢) ∈ Mnd)
137submbas 18739 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝐢 = (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢)))
145, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 = (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢)))
1514eqcomd 2732 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢)) = 𝐢)
1615eleq2d 2813 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢)) ↔ π‘₯ ∈ 𝐢))
1715eleq2d 2813 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢)) ↔ 𝑦 ∈ 𝐢))
1816, 17anbi12d 630 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐢 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢)))
19 eqid 2726 . . . . . . 7 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
201, 2, 3, 4, 19cycsubmcom 19130 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐢 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
215adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐢 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢)) β†’ 𝐢 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
227, 19ressplusg 17244 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢)))
2322eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 (𝐢 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (+gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢)) = (+gβ€˜πΊ))
2423oveqd 7422 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦))
2523oveqd 7422 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (𝑦(+gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))π‘₯) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
2624, 25eqeq12d 2742 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))𝑦) = (𝑦(+gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))π‘₯) ↔ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)))
2721, 26syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐢 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))𝑦) = (𝑦(+gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))π‘₯) ↔ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)))
2820, 27mpbird 257 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐢 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))𝑦) = (𝑦(+gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))π‘₯))
2928ex 412 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐢 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))𝑦) = (𝑦(+gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))π‘₯)))
3018, 29sylbid 239 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))𝑦) = (𝑦(+gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))π‘₯)))
3130ralrimivv 3192 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))(π‘₯(+gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))𝑦) = (𝑦(+gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))π‘₯))
32 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢)) = (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))
33 eqid 2726 . . 3 (+gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢)) = (+gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))
3432, 33iscmn 19709 . 2 ((𝐺 β†Ύs 𝐢) ∈ CMnd ↔ ((𝐺 β†Ύs 𝐢) ∈ Mnd ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))(π‘₯(+gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))𝑦) = (𝑦(+gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝐢))π‘₯)))
3512, 31, 34sylanbrc 582 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 β†Ύs 𝐢) ∈ CMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„•0cn0 12476  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  +gcplusg 17206  0gc0g 17394  Mndcmnd 18667  SubMndcsubmnd 18712  .gcmg 18995  CMndccmn 19700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cmn 19702
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator