Theorem cycsubmcmn 19801

Description: The set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 of a monoid forms a commutative monoid. (Contributed by AV, 20-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubmcmn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubmcmn.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubmcmn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubmcmn.c	⊢ 𝐶 = ran 𝐹

Assertion

Ref	Expression
cycsubmcmn	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ CMnd)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐺   𝑥, ·

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cycsubmcmn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubmcmn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		cycsubmcmn.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		cycsubmcmn.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
4		cycsubmcmn.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ran 𝐹
5	1, 2, 3, 4	cycsubm 19114	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))
6		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
7		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐶) = (𝐺 ↾s 𝐶)
8	1, 6, 7	issubm2 18712	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ∧ (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ Mnd)))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ∧ (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ Mnd)))
10		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ∧ (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ Mnd) → (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ Mnd)
11	9, 10	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ Mnd))
12	5, 11	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ Mnd)
13	7	submbas 18722	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐶 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)))
14	5, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)))
15	14	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)) = 𝐶)
16	15	eleq2d 2817	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ 𝐶))
17	15	eleq2d 2817	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)) ↔ 𝑦 ∈ 𝐶))
18	16, 17	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))
19		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
20	1, 2, 3, 4, 19	cycsubmcom 19116	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
21	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))
22	7, 19	ressplusg 17195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘(𝐺 ↾s 𝐶)))
23	22	eqcomd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g‘(𝐺 ↾s 𝐶)) = (+g‘𝐺))
24	23	oveqd 7363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
25	23	oveqd 7363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
26	24, 25	eqeq12d 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) → ((𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥) ↔ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
27	21, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → ((𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥) ↔ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
28	20, 27	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥))
29	28	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥)))
30	18, 29	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶))) → (𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥)))
31	30	ralrimivv 3173	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶))(𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥))
32		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶))
33		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐺 ↾s 𝐶)) = (+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))
34	32, 33	iscmn 19701	. 2 ⊢ ((𝐺 ↾s 𝐶) ∈ CMnd ↔ ((𝐺 ↾s 𝐶) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐶))(𝑥(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑦) = (𝑦(+g‘(𝐺 ↾s 𝐶))𝑥)))
35	12, 31, 34	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐺 ↾s 𝐶) ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ⊆ wss 3897   ↦ cmpt 5170  ran crn 5615  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℕ₀cn0 12381  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  +_gcplusg 17161  0_gc0g 17343  Mndcmnd 18642  SubMndcsubmnd 18690  ._gcmg 18980  CMndccmn 19692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-seq 13909  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cmn 19694

This theorem is referenced by: (None)