Theorem decnncl2 12737

Description: Closure for a decimal integer (zero units place). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
decnncl2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl2	⊢ ;𝐴0 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12716	. 2 ⊢ ;𝐴0 = ((;10 · 𝐴) + 0)
2		10nn 12729	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
3		decnncl2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
4	2, 3	numnncl2 12736	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 0) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2831	1 ⊢ ;𝐴0 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139  ℕcn 12245  ;cdc 12713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-dec 12714

This theorem is referenced by:  43prm  17146  4001prm  17169  dpadd3  32891  dpmul  32892  dpmul4  32893  hgt750lem  34688  60gcd6e6  42022  60gcd7e1  42023  420gcd8e4  42024  12lcm5e60  42026  60lcm6e60  42027  60lcm7e420  42028  420lcm8e840  42029  lcmineqlem  42070  fmtno4nprmfac193  47555  tgoldbach  47798