Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpmul 31811
Description: Multiplication with one decimal point. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpmul.a ๐ด โˆˆ โ„•0
dpmul.b ๐ต โˆˆ โ„•0
dpmul.c ๐ถ โˆˆ โ„•0
dpmul.d ๐ท โˆˆ โ„•0
dpmul.e ๐ธ โˆˆ โ„•0
dpmul.g ๐บ โˆˆ โ„•0
dpmul.j ๐ฝ โˆˆ โ„•0
dpmul.k ๐พ โˆˆ โ„•0
dpmul.1 (๐ด ยท ๐ถ) = ๐น
dpmul.2 (๐ด ยท ๐ท) = ๐‘€
dpmul.3 (๐ต ยท ๐ถ) = ๐ฟ
dpmul.4 (๐ต ยท ๐ท) = ๐ธ๐พ
dpmul.5 ((๐ฟ + ๐‘€) + ๐ธ) = ๐บ๐ฝ
dpmul.6 (๐น + ๐บ) = ๐ผ
Assertion
Ref Expression
dpmul ((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) = (๐ผ.๐ฝ๐พ)

Proof of Theorem dpmul
StepHypRef Expression
1 dpmul.a . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„•0
2 dpmul.b . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„•0
31, 2deccl 12640 . . . 4 ๐ด๐ต โˆˆ โ„•0
4 dpmul.c . . . 4 ๐ถ โˆˆ โ„•0
5 dpmul.d . . . 4 ๐ท โˆˆ โ„•0
6 eqid 2737 . . . 4 ๐ถ๐ท = ๐ถ๐ท
7 dpmul.k . . . 4 ๐พ โˆˆ โ„•0
8 dpmul.2 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐ท) = ๐‘€
91, 5nn0mulcli 12458 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„•0
108, 9eqeltrri 2835 . . . . 5 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
11 dpmul.e . . . . 5 ๐ธ โˆˆ โ„•0
1210, 11nn0addcli 12457 . . . 4 (๐‘€ + ๐ธ) โˆˆ โ„•0
13 eqid 2737 . . . . . . 7 ๐ด๐ต = ๐ด๐ต
14 dpmul.1 . . . . . . 7 (๐ด ยท ๐ถ) = ๐น
15 dpmul.3 . . . . . . 7 (๐ต ยท ๐ถ) = ๐ฟ
164, 1, 2, 13, 14, 15decmul1 12689 . . . . . 6 (๐ด๐ต ยท ๐ถ) = ๐น๐ฟ
1716oveq1i 7372 . . . . 5 ((๐ด๐ต ยท ๐ถ) + (๐‘€ + ๐ธ)) = (๐น๐ฟ + (๐‘€ + ๐ธ))
18 dfdec10 12628 . . . . . 6 ๐น๐ฟ = ((10 ยท ๐น) + ๐ฟ)
1918oveq1i 7372 . . . . 5 (๐น๐ฟ + (๐‘€ + ๐ธ)) = (((10 ยท ๐น) + ๐ฟ) + (๐‘€ + ๐ธ))
20 10nn0 12643 . . . . . . . . 9 10 โˆˆ โ„•0
2120nn0cni 12432 . . . . . . . 8 10 โˆˆ โ„‚
221, 4nn0mulcli 12458 . . . . . . . . . 10 (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„•0
2314, 22eqeltrri 2835 . . . . . . . . 9 ๐น โˆˆ โ„•0
2423nn0cni 12432 . . . . . . . 8 ๐น โˆˆ โ„‚
2521, 24mulcli 11169 . . . . . . 7 (10 ยท ๐น) โˆˆ โ„‚
262, 4nn0mulcli 12458 . . . . . . . . 9 (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„•0
2715, 26eqeltrri 2835 . . . . . . . 8 ๐ฟ โˆˆ โ„•0
2827nn0cni 12432 . . . . . . 7 ๐ฟ โˆˆ โ„‚
2912nn0cni 12432 . . . . . . 7 (๐‘€ + ๐ธ) โˆˆ โ„‚
3025, 28, 29addassi 11172 . . . . . 6 (((10 ยท ๐น) + ๐ฟ) + (๐‘€ + ๐ธ)) = ((10 ยท ๐น) + (๐ฟ + (๐‘€ + ๐ธ)))
31 dpmul.5 . . . . . . . 8 ((๐ฟ + ๐‘€) + ๐ธ) = ๐บ๐ฝ
3210nn0cni 12432 . . . . . . . . 9 ๐‘€ โˆˆ โ„‚
3311nn0cni 12432 . . . . . . . . 9 ๐ธ โˆˆ โ„‚
3428, 32, 33addassi 11172 . . . . . . . 8 ((๐ฟ + ๐‘€) + ๐ธ) = (๐ฟ + (๐‘€ + ๐ธ))
35 dfdec10 12628 . . . . . . . 8 ๐บ๐ฝ = ((10 ยท ๐บ) + ๐ฝ)
3631, 34, 353eqtr3ri 2774 . . . . . . 7 ((10 ยท ๐บ) + ๐ฝ) = (๐ฟ + (๐‘€ + ๐ธ))
3736oveq2i 7373 . . . . . 6 ((10 ยท ๐น) + ((10 ยท ๐บ) + ๐ฝ)) = ((10 ยท ๐น) + (๐ฟ + (๐‘€ + ๐ธ)))
38 dfdec10 12628 . . . . . . 7 ๐ผ๐ฝ = ((10 ยท ๐ผ) + ๐ฝ)
39 dpmul.g . . . . . . . . . . 11 ๐บ โˆˆ โ„•0
4039nn0cni 12432 . . . . . . . . . 10 ๐บ โˆˆ โ„‚
4121, 24, 40adddii 11174 . . . . . . . . 9 (10 ยท (๐น + ๐บ)) = ((10 ยท ๐น) + (10 ยท ๐บ))
42 dpmul.6 . . . . . . . . . 10 (๐น + ๐บ) = ๐ผ
4342oveq2i 7373 . . . . . . . . 9 (10 ยท (๐น + ๐บ)) = (10 ยท ๐ผ)
4441, 43eqtr3i 2767 . . . . . . . 8 ((10 ยท ๐น) + (10 ยท ๐บ)) = (10 ยท ๐ผ)
4544oveq1i 7372 . . . . . . 7 (((10 ยท ๐น) + (10 ยท ๐บ)) + ๐ฝ) = ((10 ยท ๐ผ) + ๐ฝ)
4621, 40mulcli 11169 . . . . . . . 8 (10 ยท ๐บ) โˆˆ โ„‚
47 dpmul.j . . . . . . . . 9 ๐ฝ โˆˆ โ„•0
4847nn0cni 12432 . . . . . . . 8 ๐ฝ โˆˆ โ„‚
4925, 46, 48addassi 11172 . . . . . . 7 (((10 ยท ๐น) + (10 ยท ๐บ)) + ๐ฝ) = ((10 ยท ๐น) + ((10 ยท ๐บ) + ๐ฝ))
5038, 45, 493eqtr2ri 2772 . . . . . 6 ((10 ยท ๐น) + ((10 ยท ๐บ) + ๐ฝ)) = ๐ผ๐ฝ
5130, 37, 503eqtr2i 2771 . . . . 5 (((10 ยท ๐น) + ๐ฟ) + (๐‘€ + ๐ธ)) = ๐ผ๐ฝ
5217, 19, 513eqtri 2769 . . . 4 ((๐ด๐ต ยท ๐ถ) + (๐‘€ + ๐ธ)) = ๐ผ๐ฝ
538oveq1i 7372 . . . . 5 ((๐ด ยท ๐ท) + ๐ธ) = (๐‘€ + ๐ธ)
54 dpmul.4 . . . . 5 (๐ต ยท ๐ท) = ๐ธ๐พ
555, 1, 2, 13, 7, 11, 53, 54decmul1c 12690 . . . 4 (๐ด๐ต ยท ๐ท) = (๐‘€ + ๐ธ)๐พ
563, 4, 5, 6, 7, 12, 52, 55decmul2c 12691 . . 3 (๐ด๐ต ยท ๐ถ๐ท) = ๐ผ๐ฝ๐พ
572nn0rei 12431 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ โ„
58 dpcl 31789 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด.๐ต) โˆˆ โ„)
591, 57, 58mp2an 691 . . . . . 6 (๐ด.๐ต) โˆˆ โ„
6059recni 11176 . . . . 5 (๐ด.๐ต) โˆˆ โ„‚
615nn0rei 12431 . . . . . . 7 ๐ท โˆˆ โ„
62 dpcl 31789 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ.๐ท) โˆˆ โ„)
634, 61, 62mp2an 691 . . . . . 6 (๐ถ.๐ท) โˆˆ โ„
6463recni 11176 . . . . 5 (๐ถ.๐ท) โˆˆ โ„‚
6560, 64, 21, 21mul4i 11359 . . . 4 (((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) ยท (10 ยท 10)) = (((๐ด.๐ต) ยท 10) ยท ((๐ถ.๐ท) ยท 10))
6620dec0u 12646 . . . . 5 (10 ยท 10) = 100
6766oveq2i 7373 . . . 4 (((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) ยท (10 ยท 10)) = (((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) ยท 100)
681, 57dpmul10 31793 . . . . 5 ((๐ด.๐ต) ยท 10) = ๐ด๐ต
694, 61dpmul10 31793 . . . . 5 ((๐ถ.๐ท) ยท 10) = ๐ถ๐ท
7068, 69oveq12i 7374 . . . 4 (((๐ด.๐ต) ยท 10) ยท ((๐ถ.๐ท) ยท 10)) = (๐ด๐ต ยท ๐ถ๐ท)
7165, 67, 703eqtr3i 2773 . . 3 (((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) ยท 100) = (๐ด๐ต ยท ๐ถ๐ท)
7223, 39nn0addcli 12457 . . . . 5 (๐น + ๐บ) โˆˆ โ„•0
7342, 72eqeltrri 2835 . . . 4 ๐ผ โˆˆ โ„•0
747nn0rei 12431 . . . 4 ๐พ โˆˆ โ„
7573, 47, 74dpmul100 31795 . . 3 ((๐ผ.๐ฝ๐พ) ยท 100) = ๐ผ๐ฝ๐พ
7656, 71, 753eqtr4i 2775 . 2 (((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) ยท 100) = ((๐ผ.๐ฝ๐พ) ยท 100)
7760, 64mulcli 11169 . . 3 ((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) โˆˆ โ„‚
7847nn0rei 12431 . . . . . 6 ๐ฝ โˆˆ โ„
79 dp2cl 31778 . . . . . 6 ((๐ฝ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ฝ๐พ โˆˆ โ„)
8078, 74, 79mp2an 691 . . . . 5 ๐ฝ๐พ โˆˆ โ„
81 dpcl 31789 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ๐พ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ผ.๐ฝ๐พ) โˆˆ โ„)
8273, 80, 81mp2an 691 . . . 4 (๐ผ.๐ฝ๐พ) โˆˆ โ„
8382recni 11176 . . 3 (๐ผ.๐ฝ๐พ) โˆˆ โ„‚
84 10nn 12641 . . . . . 6 10 โˆˆ โ„•
8584decnncl2 12649 . . . . 5 100 โˆˆ โ„•
8685nncni 12170 . . . 4 100 โˆˆ โ„‚
8785nnne0i 12200 . . . 4 100 โ‰  0
8886, 87pm3.2i 472 . . 3 (100 โˆˆ โ„‚ โˆง 100 โ‰  0)
89 mulcan2 11800 . . 3 ((((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ผ.๐ฝ๐พ) โˆˆ โ„‚ โˆง (100 โˆˆ โ„‚ โˆง 100 โ‰  0)) โ†’ ((((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) ยท 100) = ((๐ผ.๐ฝ๐พ) ยท 100) โ†” ((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) = (๐ผ.๐ฝ๐พ)))
9077, 83, 88, 89mp3an 1462 . 2 ((((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) ยท 100) = ((๐ผ.๐ฝ๐พ) ยท 100) โ†” ((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) = (๐ผ.๐ฝ๐พ))
9176, 90mpbi 229 1 ((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) = (๐ผ.๐ฝ๐พ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063  โ„•0cn0 12420  cdc 12625  cdp2 31769  .cdp 31786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-dec 12626  df-dp2 31770  df-dp 31787
This theorem is referenced by:  hgt750lem2  33305
  Copyright terms: Public domain W3C validator