Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpmul 32896
Description: Multiplication with one decimal point. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpmul.a 𝐴 ∈ ℕ0
dpmul.b 𝐵 ∈ ℕ0
dpmul.c 𝐶 ∈ ℕ0
dpmul.d 𝐷 ∈ ℕ0
dpmul.e 𝐸 ∈ ℕ0
dpmul.g 𝐺 ∈ ℕ0
dpmul.j 𝐽 ∈ ℕ0
dpmul.k 𝐾 ∈ ℕ0
dpmul.1 (𝐴 · 𝐶) = 𝐹
dpmul.2 (𝐴 · 𝐷) = 𝑀
dpmul.3 (𝐵 · 𝐶) = 𝐿
dpmul.4 (𝐵 · 𝐷) = 𝐸𝐾
dpmul.5 ((𝐿 + 𝑀) + 𝐸) = 𝐺𝐽
dpmul.6 (𝐹 + 𝐺) = 𝐼
Assertion
Ref Expression
dpmul ((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) = (𝐼.𝐽𝐾)

Proof of Theorem dpmul
StepHypRef Expression
1 dpmul.a . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
2 dpmul.b . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12750 . . . 4 𝐴𝐵 ∈ ℕ0
4 dpmul.c . . . 4 𝐶 ∈ ℕ0
5 dpmul.d . . . 4 𝐷 ∈ ℕ0
6 eqid 2736 . . . 4 𝐶𝐷 = 𝐶𝐷
7 dpmul.k . . . 4 𝐾 ∈ ℕ0
8 dpmul.2 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐷) = 𝑀
91, 5nn0mulcli 12566 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐷) ∈ ℕ0
108, 9eqeltrri 2837 . . . . 5 𝑀 ∈ ℕ0
11 dpmul.e . . . . 5 𝐸 ∈ ℕ0
1210, 11nn0addcli 12565 . . . 4 (𝑀 + 𝐸) ∈ ℕ0
13 eqid 2736 . . . . . . 7 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵
14 dpmul.1 . . . . . . 7 (𝐴 · 𝐶) = 𝐹
15 dpmul.3 . . . . . . 7 (𝐵 · 𝐶) = 𝐿
164, 1, 2, 13, 14, 15decmul1 12799 . . . . . 6 (𝐴𝐵 · 𝐶) = 𝐹𝐿
1716oveq1i 7442 . . . . 5 ((𝐴𝐵 · 𝐶) + (𝑀 + 𝐸)) = (𝐹𝐿 + (𝑀 + 𝐸))
18 dfdec10 12738 . . . . . 6 𝐹𝐿 = ((10 · 𝐹) + 𝐿)
1918oveq1i 7442 . . . . 5 (𝐹𝐿 + (𝑀 + 𝐸)) = (((10 · 𝐹) + 𝐿) + (𝑀 + 𝐸))
20 10nn0 12753 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℕ0
2120nn0cni 12540 . . . . . . . 8 10 ∈ ℂ
221, 4nn0mulcli 12566 . . . . . . . . . 10 (𝐴 · 𝐶) ∈ ℕ0
2314, 22eqeltrri 2837 . . . . . . . . 9 𝐹 ∈ ℕ0
2423nn0cni 12540 . . . . . . . 8 𝐹 ∈ ℂ
2521, 24mulcli 11269 . . . . . . 7 (10 · 𝐹) ∈ ℂ
262, 4nn0mulcli 12566 . . . . . . . . 9 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℕ0
2715, 26eqeltrri 2837 . . . . . . . 8 𝐿 ∈ ℕ0
2827nn0cni 12540 . . . . . . 7 𝐿 ∈ ℂ
2912nn0cni 12540 . . . . . . 7 (𝑀 + 𝐸) ∈ ℂ
3025, 28, 29addassi 11272 . . . . . 6 (((10 · 𝐹) + 𝐿) + (𝑀 + 𝐸)) = ((10 · 𝐹) + (𝐿 + (𝑀 + 𝐸)))
31 dpmul.5 . . . . . . . 8 ((𝐿 + 𝑀) + 𝐸) = 𝐺𝐽
3210nn0cni 12540 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ ℂ
3311nn0cni 12540 . . . . . . . . 9 𝐸 ∈ ℂ
3428, 32, 33addassi 11272 . . . . . . . 8 ((𝐿 + 𝑀) + 𝐸) = (𝐿 + (𝑀 + 𝐸))
35 dfdec10 12738 . . . . . . . 8 𝐺𝐽 = ((10 · 𝐺) + 𝐽)
3631, 34, 353eqtr3ri 2773 . . . . . . 7 ((10 · 𝐺) + 𝐽) = (𝐿 + (𝑀 + 𝐸))
3736oveq2i 7443 . . . . . 6 ((10 · 𝐹) + ((10 · 𝐺) + 𝐽)) = ((10 · 𝐹) + (𝐿 + (𝑀 + 𝐸)))
38 dfdec10 12738 . . . . . . 7 𝐼𝐽 = ((10 · 𝐼) + 𝐽)
39 dpmul.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 ∈ ℕ0
4039nn0cni 12540 . . . . . . . . . 10 𝐺 ∈ ℂ
4121, 24, 40adddii 11274 . . . . . . . . 9 (10 · (𝐹 + 𝐺)) = ((10 · 𝐹) + (10 · 𝐺))
42 dpmul.6 . . . . . . . . . 10 (𝐹 + 𝐺) = 𝐼
4342oveq2i 7443 . . . . . . . . 9 (10 · (𝐹 + 𝐺)) = (10 · 𝐼)
4441, 43eqtr3i 2766 . . . . . . . 8 ((10 · 𝐹) + (10 · 𝐺)) = (10 · 𝐼)
4544oveq1i 7442 . . . . . . 7 (((10 · 𝐹) + (10 · 𝐺)) + 𝐽) = ((10 · 𝐼) + 𝐽)
4621, 40mulcli 11269 . . . . . . . 8 (10 · 𝐺) ∈ ℂ
47 dpmul.j . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ ℕ0
4847nn0cni 12540 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ ℂ
4925, 46, 48addassi 11272 . . . . . . 7 (((10 · 𝐹) + (10 · 𝐺)) + 𝐽) = ((10 · 𝐹) + ((10 · 𝐺) + 𝐽))
5038, 45, 493eqtr2ri 2771 . . . . . 6 ((10 · 𝐹) + ((10 · 𝐺) + 𝐽)) = 𝐼𝐽
5130, 37, 503eqtr2i 2770 . . . . 5 (((10 · 𝐹) + 𝐿) + (𝑀 + 𝐸)) = 𝐼𝐽
5217, 19, 513eqtri 2768 . . . 4 ((𝐴𝐵 · 𝐶) + (𝑀 + 𝐸)) = 𝐼𝐽
538oveq1i 7442 . . . . 5 ((𝐴 · 𝐷) + 𝐸) = (𝑀 + 𝐸)
54 dpmul.4 . . . . 5 (𝐵 · 𝐷) = 𝐸𝐾
555, 1, 2, 13, 7, 11, 53, 54decmul1c 12800 . . . 4 (𝐴𝐵 · 𝐷) = (𝑀 + 𝐸)𝐾
563, 4, 5, 6, 7, 12, 52, 55decmul2c 12801 . . 3 (𝐴𝐵 · 𝐶𝐷) = 𝐼𝐽𝐾
572nn0rei 12539 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ
58 dpcl 32874 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) ∈ ℝ)
591, 57, 58mp2an 692 . . . . . 6 (𝐴.𝐵) ∈ ℝ
6059recni 11276 . . . . 5 (𝐴.𝐵) ∈ ℂ
615nn0rei 12539 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℝ
62 dpcl 32874 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶.𝐷) ∈ ℝ)
634, 61, 62mp2an 692 . . . . . 6 (𝐶.𝐷) ∈ ℝ
6463recni 11276 . . . . 5 (𝐶.𝐷) ∈ ℂ
6560, 64, 21, 21mul4i 11459 . . . 4 (((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · (10 · 10)) = (((𝐴.𝐵) · 10) · ((𝐶.𝐷) · 10))
6620dec0u 12756 . . . . 5 (10 · 10) = 100
6766oveq2i 7443 . . . 4 (((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · (10 · 10)) = (((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · 100)
681, 57dpmul10 32878 . . . . 5 ((𝐴.𝐵) · 10) = 𝐴𝐵
694, 61dpmul10 32878 . . . . 5 ((𝐶.𝐷) · 10) = 𝐶𝐷
7068, 69oveq12i 7444 . . . 4 (((𝐴.𝐵) · 10) · ((𝐶.𝐷) · 10)) = (𝐴𝐵 · 𝐶𝐷)
7165, 67, 703eqtr3i 2772 . . 3 (((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · 100) = (𝐴𝐵 · 𝐶𝐷)
7223, 39nn0addcli 12565 . . . . 5 (𝐹 + 𝐺) ∈ ℕ0
7342, 72eqeltrri 2837 . . . 4 𝐼 ∈ ℕ0
747nn0rei 12539 . . . 4 𝐾 ∈ ℝ
7573, 47, 74dpmul100 32880 . . 3 ((𝐼.𝐽𝐾) · 100) = 𝐼𝐽𝐾
7656, 71, 753eqtr4i 2774 . 2 (((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · 100) = ((𝐼.𝐽𝐾) · 100)
7760, 64mulcli 11269 . . 3 ((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) ∈ ℂ
7847nn0rei 12539 . . . . . 6 𝐽 ∈ ℝ
79 dp2cl 32863 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 𝐽𝐾 ∈ ℝ)
8078, 74, 79mp2an 692 . . . . 5 𝐽𝐾 ∈ ℝ
81 dpcl 32874 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐽𝐾 ∈ ℝ) → (𝐼.𝐽𝐾) ∈ ℝ)
8273, 80, 81mp2an 692 . . . 4 (𝐼.𝐽𝐾) ∈ ℝ
8382recni 11276 . . 3 (𝐼.𝐽𝐾) ∈ ℂ
84 10nn 12751 . . . . . 6 10 ∈ ℕ
8584decnncl2 12759 . . . . 5 100 ∈ ℕ
8685nncni 12277 . . . 4 100 ∈ ℂ
8785nnne0i 12307 . . . 4 100 ≠ 0
8886, 87pm3.2i 470 . . 3 (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)
89 mulcan2 11902 . . 3 ((((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) ∈ ℂ ∧ (𝐼.𝐽𝐾) ∈ ℂ ∧ (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)) → ((((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · 100) = ((𝐼.𝐽𝐾) · 100) ↔ ((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) = (𝐼.𝐽𝐾)))
9077, 83, 88, 89mp3an 1462 . 2 ((((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · 100) = ((𝐼.𝐽𝐾) · 100) ↔ ((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) = (𝐼.𝐽𝐾))
9176, 90mpbi 230 1 ((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) = (𝐼.𝐽𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  0cn0 12528  cdc 12735  cdp2 32854  .cdp 32871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-dec 12736  df-dp2 32855  df-dp 32872
This theorem is referenced by:  hgt750lem2  34668
  Copyright terms: Public domain W3C validator