Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpmul 32572
Description: Multiplication with one decimal point. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpmul.a ๐ด โˆˆ โ„•0
dpmul.b ๐ต โˆˆ โ„•0
dpmul.c ๐ถ โˆˆ โ„•0
dpmul.d ๐ท โˆˆ โ„•0
dpmul.e ๐ธ โˆˆ โ„•0
dpmul.g ๐บ โˆˆ โ„•0
dpmul.j ๐ฝ โˆˆ โ„•0
dpmul.k ๐พ โˆˆ โ„•0
dpmul.1 (๐ด ยท ๐ถ) = ๐น
dpmul.2 (๐ด ยท ๐ท) = ๐‘€
dpmul.3 (๐ต ยท ๐ถ) = ๐ฟ
dpmul.4 (๐ต ยท ๐ท) = ๐ธ๐พ
dpmul.5 ((๐ฟ + ๐‘€) + ๐ธ) = ๐บ๐ฝ
dpmul.6 (๐น + ๐บ) = ๐ผ
Assertion
Ref Expression
dpmul ((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) = (๐ผ.๐ฝ๐พ)

Proof of Theorem dpmul
StepHypRef Expression
1 dpmul.a . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„•0
2 dpmul.b . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„•0
31, 2deccl 12691 . . . 4 ๐ด๐ต โˆˆ โ„•0
4 dpmul.c . . . 4 ๐ถ โˆˆ โ„•0
5 dpmul.d . . . 4 ๐ท โˆˆ โ„•0
6 eqid 2724 . . . 4 ๐ถ๐ท = ๐ถ๐ท
7 dpmul.k . . . 4 ๐พ โˆˆ โ„•0
8 dpmul.2 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐ท) = ๐‘€
91, 5nn0mulcli 12509 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„•0
108, 9eqeltrri 2822 . . . . 5 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
11 dpmul.e . . . . 5 ๐ธ โˆˆ โ„•0
1210, 11nn0addcli 12508 . . . 4 (๐‘€ + ๐ธ) โˆˆ โ„•0
13 eqid 2724 . . . . . . 7 ๐ด๐ต = ๐ด๐ต
14 dpmul.1 . . . . . . 7 (๐ด ยท ๐ถ) = ๐น
15 dpmul.3 . . . . . . 7 (๐ต ยท ๐ถ) = ๐ฟ
164, 1, 2, 13, 14, 15decmul1 12740 . . . . . 6 (๐ด๐ต ยท ๐ถ) = ๐น๐ฟ
1716oveq1i 7412 . . . . 5 ((๐ด๐ต ยท ๐ถ) + (๐‘€ + ๐ธ)) = (๐น๐ฟ + (๐‘€ + ๐ธ))
18 dfdec10 12679 . . . . . 6 ๐น๐ฟ = ((10 ยท ๐น) + ๐ฟ)
1918oveq1i 7412 . . . . 5 (๐น๐ฟ + (๐‘€ + ๐ธ)) = (((10 ยท ๐น) + ๐ฟ) + (๐‘€ + ๐ธ))
20 10nn0 12694 . . . . . . . . 9 10 โˆˆ โ„•0
2120nn0cni 12483 . . . . . . . 8 10 โˆˆ โ„‚
221, 4nn0mulcli 12509 . . . . . . . . . 10 (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„•0
2314, 22eqeltrri 2822 . . . . . . . . 9 ๐น โˆˆ โ„•0
2423nn0cni 12483 . . . . . . . 8 ๐น โˆˆ โ„‚
2521, 24mulcli 11220 . . . . . . 7 (10 ยท ๐น) โˆˆ โ„‚
262, 4nn0mulcli 12509 . . . . . . . . 9 (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„•0
2715, 26eqeltrri 2822 . . . . . . . 8 ๐ฟ โˆˆ โ„•0
2827nn0cni 12483 . . . . . . 7 ๐ฟ โˆˆ โ„‚
2912nn0cni 12483 . . . . . . 7 (๐‘€ + ๐ธ) โˆˆ โ„‚
3025, 28, 29addassi 11223 . . . . . 6 (((10 ยท ๐น) + ๐ฟ) + (๐‘€ + ๐ธ)) = ((10 ยท ๐น) + (๐ฟ + (๐‘€ + ๐ธ)))
31 dpmul.5 . . . . . . . 8 ((๐ฟ + ๐‘€) + ๐ธ) = ๐บ๐ฝ
3210nn0cni 12483 . . . . . . . . 9 ๐‘€ โˆˆ โ„‚
3311nn0cni 12483 . . . . . . . . 9 ๐ธ โˆˆ โ„‚
3428, 32, 33addassi 11223 . . . . . . . 8 ((๐ฟ + ๐‘€) + ๐ธ) = (๐ฟ + (๐‘€ + ๐ธ))
35 dfdec10 12679 . . . . . . . 8 ๐บ๐ฝ = ((10 ยท ๐บ) + ๐ฝ)
3631, 34, 353eqtr3ri 2761 . . . . . . 7 ((10 ยท ๐บ) + ๐ฝ) = (๐ฟ + (๐‘€ + ๐ธ))
3736oveq2i 7413 . . . . . 6 ((10 ยท ๐น) + ((10 ยท ๐บ) + ๐ฝ)) = ((10 ยท ๐น) + (๐ฟ + (๐‘€ + ๐ธ)))
38 dfdec10 12679 . . . . . . 7 ๐ผ๐ฝ = ((10 ยท ๐ผ) + ๐ฝ)
39 dpmul.g . . . . . . . . . . 11 ๐บ โˆˆ โ„•0
4039nn0cni 12483 . . . . . . . . . 10 ๐บ โˆˆ โ„‚
4121, 24, 40adddii 11225 . . . . . . . . 9 (10 ยท (๐น + ๐บ)) = ((10 ยท ๐น) + (10 ยท ๐บ))
42 dpmul.6 . . . . . . . . . 10 (๐น + ๐บ) = ๐ผ
4342oveq2i 7413 . . . . . . . . 9 (10 ยท (๐น + ๐บ)) = (10 ยท ๐ผ)
4441, 43eqtr3i 2754 . . . . . . . 8 ((10 ยท ๐น) + (10 ยท ๐บ)) = (10 ยท ๐ผ)
4544oveq1i 7412 . . . . . . 7 (((10 ยท ๐น) + (10 ยท ๐บ)) + ๐ฝ) = ((10 ยท ๐ผ) + ๐ฝ)
4621, 40mulcli 11220 . . . . . . . 8 (10 ยท ๐บ) โˆˆ โ„‚
47 dpmul.j . . . . . . . . 9 ๐ฝ โˆˆ โ„•0
4847nn0cni 12483 . . . . . . . 8 ๐ฝ โˆˆ โ„‚
4925, 46, 48addassi 11223 . . . . . . 7 (((10 ยท ๐น) + (10 ยท ๐บ)) + ๐ฝ) = ((10 ยท ๐น) + ((10 ยท ๐บ) + ๐ฝ))
5038, 45, 493eqtr2ri 2759 . . . . . 6 ((10 ยท ๐น) + ((10 ยท ๐บ) + ๐ฝ)) = ๐ผ๐ฝ
5130, 37, 503eqtr2i 2758 . . . . 5 (((10 ยท ๐น) + ๐ฟ) + (๐‘€ + ๐ธ)) = ๐ผ๐ฝ
5217, 19, 513eqtri 2756 . . . 4 ((๐ด๐ต ยท ๐ถ) + (๐‘€ + ๐ธ)) = ๐ผ๐ฝ
538oveq1i 7412 . . . . 5 ((๐ด ยท ๐ท) + ๐ธ) = (๐‘€ + ๐ธ)
54 dpmul.4 . . . . 5 (๐ต ยท ๐ท) = ๐ธ๐พ
555, 1, 2, 13, 7, 11, 53, 54decmul1c 12741 . . . 4 (๐ด๐ต ยท ๐ท) = (๐‘€ + ๐ธ)๐พ
563, 4, 5, 6, 7, 12, 52, 55decmul2c 12742 . . 3 (๐ด๐ต ยท ๐ถ๐ท) = ๐ผ๐ฝ๐พ
572nn0rei 12482 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ โ„
58 dpcl 32550 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด.๐ต) โˆˆ โ„)
591, 57, 58mp2an 689 . . . . . 6 (๐ด.๐ต) โˆˆ โ„
6059recni 11227 . . . . 5 (๐ด.๐ต) โˆˆ โ„‚
615nn0rei 12482 . . . . . . 7 ๐ท โˆˆ โ„
62 dpcl 32550 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ.๐ท) โˆˆ โ„)
634, 61, 62mp2an 689 . . . . . 6 (๐ถ.๐ท) โˆˆ โ„
6463recni 11227 . . . . 5 (๐ถ.๐ท) โˆˆ โ„‚
6560, 64, 21, 21mul4i 11410 . . . 4 (((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) ยท (10 ยท 10)) = (((๐ด.๐ต) ยท 10) ยท ((๐ถ.๐ท) ยท 10))
6620dec0u 12697 . . . . 5 (10 ยท 10) = 100
6766oveq2i 7413 . . . 4 (((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) ยท (10 ยท 10)) = (((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) ยท 100)
681, 57dpmul10 32554 . . . . 5 ((๐ด.๐ต) ยท 10) = ๐ด๐ต
694, 61dpmul10 32554 . . . . 5 ((๐ถ.๐ท) ยท 10) = ๐ถ๐ท
7068, 69oveq12i 7414 . . . 4 (((๐ด.๐ต) ยท 10) ยท ((๐ถ.๐ท) ยท 10)) = (๐ด๐ต ยท ๐ถ๐ท)
7165, 67, 703eqtr3i 2760 . . 3 (((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) ยท 100) = (๐ด๐ต ยท ๐ถ๐ท)
7223, 39nn0addcli 12508 . . . . 5 (๐น + ๐บ) โˆˆ โ„•0
7342, 72eqeltrri 2822 . . . 4 ๐ผ โˆˆ โ„•0
747nn0rei 12482 . . . 4 ๐พ โˆˆ โ„
7573, 47, 74dpmul100 32556 . . 3 ((๐ผ.๐ฝ๐พ) ยท 100) = ๐ผ๐ฝ๐พ
7656, 71, 753eqtr4i 2762 . 2 (((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) ยท 100) = ((๐ผ.๐ฝ๐พ) ยท 100)
7760, 64mulcli 11220 . . 3 ((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) โˆˆ โ„‚
7847nn0rei 12482 . . . . . 6 ๐ฝ โˆˆ โ„
79 dp2cl 32539 . . . . . 6 ((๐ฝ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ฝ๐พ โˆˆ โ„)
8078, 74, 79mp2an 689 . . . . 5 ๐ฝ๐พ โˆˆ โ„
81 dpcl 32550 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ๐พ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ผ.๐ฝ๐พ) โˆˆ โ„)
8273, 80, 81mp2an 689 . . . 4 (๐ผ.๐ฝ๐พ) โˆˆ โ„
8382recni 11227 . . 3 (๐ผ.๐ฝ๐พ) โˆˆ โ„‚
84 10nn 12692 . . . . . 6 10 โˆˆ โ„•
8584decnncl2 12700 . . . . 5 100 โˆˆ โ„•
8685nncni 12221 . . . 4 100 โˆˆ โ„‚
8785nnne0i 12251 . . . 4 100 โ‰  0
8886, 87pm3.2i 470 . . 3 (100 โˆˆ โ„‚ โˆง 100 โ‰  0)
89 mulcan2 11851 . . 3 ((((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ผ.๐ฝ๐พ) โˆˆ โ„‚ โˆง (100 โˆˆ โ„‚ โˆง 100 โ‰  0)) โ†’ ((((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) ยท 100) = ((๐ผ.๐ฝ๐พ) ยท 100) โ†” ((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) = (๐ผ.๐ฝ๐พ)))
9077, 83, 88, 89mp3an 1457 . 2 ((((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) ยท 100) = ((๐ผ.๐ฝ๐พ) ยท 100) โ†” ((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) = (๐ผ.๐ฝ๐พ))
9176, 90mpbi 229 1 ((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) = (๐ผ.๐ฝ๐พ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  โ„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112  โ„•0cn0 12471  cdc 12676  cdp2 32530  .cdp 32547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-dec 12677  df-dp2 32531  df-dp 32548
This theorem is referenced by:  hgt750lem2  34183
  Copyright terms: Public domain W3C validator