Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpmul 31187
Description: Multiplication with one decimal point. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpmul.a 𝐴 ∈ ℕ0
dpmul.b 𝐵 ∈ ℕ0
dpmul.c 𝐶 ∈ ℕ0
dpmul.d 𝐷 ∈ ℕ0
dpmul.e 𝐸 ∈ ℕ0
dpmul.g 𝐺 ∈ ℕ0
dpmul.j 𝐽 ∈ ℕ0
dpmul.k 𝐾 ∈ ℕ0
dpmul.1 (𝐴 · 𝐶) = 𝐹
dpmul.2 (𝐴 · 𝐷) = 𝑀
dpmul.3 (𝐵 · 𝐶) = 𝐿
dpmul.4 (𝐵 · 𝐷) = 𝐸𝐾
dpmul.5 ((𝐿 + 𝑀) + 𝐸) = 𝐺𝐽
dpmul.6 (𝐹 + 𝐺) = 𝐼
Assertion
Ref Expression
dpmul ((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) = (𝐼.𝐽𝐾)

Proof of Theorem dpmul
StepHypRef Expression
1 dpmul.a . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
2 dpmul.b . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12452 . . . 4 𝐴𝐵 ∈ ℕ0
4 dpmul.c . . . 4 𝐶 ∈ ℕ0
5 dpmul.d . . . 4 𝐷 ∈ ℕ0
6 eqid 2738 . . . 4 𝐶𝐷 = 𝐶𝐷
7 dpmul.k . . . 4 𝐾 ∈ ℕ0
8 dpmul.2 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐷) = 𝑀
91, 5nn0mulcli 12271 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐷) ∈ ℕ0
108, 9eqeltrri 2836 . . . . 5 𝑀 ∈ ℕ0
11 dpmul.e . . . . 5 𝐸 ∈ ℕ0
1210, 11nn0addcli 12270 . . . 4 (𝑀 + 𝐸) ∈ ℕ0
13 eqid 2738 . . . . . . 7 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵
14 dpmul.1 . . . . . . 7 (𝐴 · 𝐶) = 𝐹
15 dpmul.3 . . . . . . 7 (𝐵 · 𝐶) = 𝐿
164, 1, 2, 13, 14, 15decmul1 12501 . . . . . 6 (𝐴𝐵 · 𝐶) = 𝐹𝐿
1716oveq1i 7285 . . . . 5 ((𝐴𝐵 · 𝐶) + (𝑀 + 𝐸)) = (𝐹𝐿 + (𝑀 + 𝐸))
18 dfdec10 12440 . . . . . 6 𝐹𝐿 = ((10 · 𝐹) + 𝐿)
1918oveq1i 7285 . . . . 5 (𝐹𝐿 + (𝑀 + 𝐸)) = (((10 · 𝐹) + 𝐿) + (𝑀 + 𝐸))
20 10nn0 12455 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℕ0
2120nn0cni 12245 . . . . . . . 8 10 ∈ ℂ
221, 4nn0mulcli 12271 . . . . . . . . . 10 (𝐴 · 𝐶) ∈ ℕ0
2314, 22eqeltrri 2836 . . . . . . . . 9 𝐹 ∈ ℕ0
2423nn0cni 12245 . . . . . . . 8 𝐹 ∈ ℂ
2521, 24mulcli 10982 . . . . . . 7 (10 · 𝐹) ∈ ℂ
262, 4nn0mulcli 12271 . . . . . . . . 9 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℕ0
2715, 26eqeltrri 2836 . . . . . . . 8 𝐿 ∈ ℕ0
2827nn0cni 12245 . . . . . . 7 𝐿 ∈ ℂ
2912nn0cni 12245 . . . . . . 7 (𝑀 + 𝐸) ∈ ℂ
3025, 28, 29addassi 10985 . . . . . 6 (((10 · 𝐹) + 𝐿) + (𝑀 + 𝐸)) = ((10 · 𝐹) + (𝐿 + (𝑀 + 𝐸)))
31 dpmul.5 . . . . . . . 8 ((𝐿 + 𝑀) + 𝐸) = 𝐺𝐽
3210nn0cni 12245 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ ℂ
3311nn0cni 12245 . . . . . . . . 9 𝐸 ∈ ℂ
3428, 32, 33addassi 10985 . . . . . . . 8 ((𝐿 + 𝑀) + 𝐸) = (𝐿 + (𝑀 + 𝐸))
35 dfdec10 12440 . . . . . . . 8 𝐺𝐽 = ((10 · 𝐺) + 𝐽)
3631, 34, 353eqtr3ri 2775 . . . . . . 7 ((10 · 𝐺) + 𝐽) = (𝐿 + (𝑀 + 𝐸))
3736oveq2i 7286 . . . . . 6 ((10 · 𝐹) + ((10 · 𝐺) + 𝐽)) = ((10 · 𝐹) + (𝐿 + (𝑀 + 𝐸)))
38 dfdec10 12440 . . . . . . 7 𝐼𝐽 = ((10 · 𝐼) + 𝐽)
39 dpmul.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 ∈ ℕ0
4039nn0cni 12245 . . . . . . . . . 10 𝐺 ∈ ℂ
4121, 24, 40adddii 10987 . . . . . . . . 9 (10 · (𝐹 + 𝐺)) = ((10 · 𝐹) + (10 · 𝐺))
42 dpmul.6 . . . . . . . . . 10 (𝐹 + 𝐺) = 𝐼
4342oveq2i 7286 . . . . . . . . 9 (10 · (𝐹 + 𝐺)) = (10 · 𝐼)
4441, 43eqtr3i 2768 . . . . . . . 8 ((10 · 𝐹) + (10 · 𝐺)) = (10 · 𝐼)
4544oveq1i 7285 . . . . . . 7 (((10 · 𝐹) + (10 · 𝐺)) + 𝐽) = ((10 · 𝐼) + 𝐽)
4621, 40mulcli 10982 . . . . . . . 8 (10 · 𝐺) ∈ ℂ
47 dpmul.j . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ ℕ0
4847nn0cni 12245 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ ℂ
4925, 46, 48addassi 10985 . . . . . . 7 (((10 · 𝐹) + (10 · 𝐺)) + 𝐽) = ((10 · 𝐹) + ((10 · 𝐺) + 𝐽))
5038, 45, 493eqtr2ri 2773 . . . . . 6 ((10 · 𝐹) + ((10 · 𝐺) + 𝐽)) = 𝐼𝐽
5130, 37, 503eqtr2i 2772 . . . . 5 (((10 · 𝐹) + 𝐿) + (𝑀 + 𝐸)) = 𝐼𝐽
5217, 19, 513eqtri 2770 . . . 4 ((𝐴𝐵 · 𝐶) + (𝑀 + 𝐸)) = 𝐼𝐽
538oveq1i 7285 . . . . 5 ((𝐴 · 𝐷) + 𝐸) = (𝑀 + 𝐸)
54 dpmul.4 . . . . 5 (𝐵 · 𝐷) = 𝐸𝐾
555, 1, 2, 13, 7, 11, 53, 54decmul1c 12502 . . . 4 (𝐴𝐵 · 𝐷) = (𝑀 + 𝐸)𝐾
563, 4, 5, 6, 7, 12, 52, 55decmul2c 12503 . . 3 (𝐴𝐵 · 𝐶𝐷) = 𝐼𝐽𝐾
572nn0rei 12244 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ
58 dpcl 31165 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) ∈ ℝ)
591, 57, 58mp2an 689 . . . . . 6 (𝐴.𝐵) ∈ ℝ
6059recni 10989 . . . . 5 (𝐴.𝐵) ∈ ℂ
615nn0rei 12244 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℝ
62 dpcl 31165 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶.𝐷) ∈ ℝ)
634, 61, 62mp2an 689 . . . . . 6 (𝐶.𝐷) ∈ ℝ
6463recni 10989 . . . . 5 (𝐶.𝐷) ∈ ℂ
6560, 64, 21, 21mul4i 11172 . . . 4 (((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · (10 · 10)) = (((𝐴.𝐵) · 10) · ((𝐶.𝐷) · 10))
6620dec0u 12458 . . . . 5 (10 · 10) = 100
6766oveq2i 7286 . . . 4 (((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · (10 · 10)) = (((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · 100)
681, 57dpmul10 31169 . . . . 5 ((𝐴.𝐵) · 10) = 𝐴𝐵
694, 61dpmul10 31169 . . . . 5 ((𝐶.𝐷) · 10) = 𝐶𝐷
7068, 69oveq12i 7287 . . . 4 (((𝐴.𝐵) · 10) · ((𝐶.𝐷) · 10)) = (𝐴𝐵 · 𝐶𝐷)
7165, 67, 703eqtr3i 2774 . . 3 (((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · 100) = (𝐴𝐵 · 𝐶𝐷)
7223, 39nn0addcli 12270 . . . . 5 (𝐹 + 𝐺) ∈ ℕ0
7342, 72eqeltrri 2836 . . . 4 𝐼 ∈ ℕ0
747nn0rei 12244 . . . 4 𝐾 ∈ ℝ
7573, 47, 74dpmul100 31171 . . 3 ((𝐼.𝐽𝐾) · 100) = 𝐼𝐽𝐾
7656, 71, 753eqtr4i 2776 . 2 (((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · 100) = ((𝐼.𝐽𝐾) · 100)
7760, 64mulcli 10982 . . 3 ((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) ∈ ℂ
7847nn0rei 12244 . . . . . 6 𝐽 ∈ ℝ
79 dp2cl 31154 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 𝐽𝐾 ∈ ℝ)
8078, 74, 79mp2an 689 . . . . 5 𝐽𝐾 ∈ ℝ
81 dpcl 31165 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐽𝐾 ∈ ℝ) → (𝐼.𝐽𝐾) ∈ ℝ)
8273, 80, 81mp2an 689 . . . 4 (𝐼.𝐽𝐾) ∈ ℝ
8382recni 10989 . . 3 (𝐼.𝐽𝐾) ∈ ℂ
84 10nn 12453 . . . . . 6 10 ∈ ℕ
8584decnncl2 12461 . . . . 5 100 ∈ ℕ
8685nncni 11983 . . . 4 100 ∈ ℂ
8785nnne0i 12013 . . . 4 100 ≠ 0
8886, 87pm3.2i 471 . . 3 (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)
89 mulcan2 11613 . . 3 ((((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) ∈ ℂ ∧ (𝐼.𝐽𝐾) ∈ ℂ ∧ (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)) → ((((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · 100) = ((𝐼.𝐽𝐾) · 100) ↔ ((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) = (𝐼.𝐽𝐾)))
9077, 83, 88, 89mp3an 1460 . 2 ((((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · 100) = ((𝐼.𝐽𝐾) · 100) ↔ ((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) = (𝐼.𝐽𝐾))
9176, 90mpbi 229 1 ((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) = (𝐼.𝐽𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  0cn0 12233  cdc 12437  cdp2 31145  .cdp 31162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-dec 12438  df-dp2 31146  df-dp 31163
This theorem is referenced by:  hgt750lem2  32632
  Copyright terms: Public domain W3C validator