Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpmul 32880
Description: Multiplication with one decimal point. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpmul.a 𝐴 ∈ ℕ0
dpmul.b 𝐵 ∈ ℕ0
dpmul.c 𝐶 ∈ ℕ0
dpmul.d 𝐷 ∈ ℕ0
dpmul.e 𝐸 ∈ ℕ0
dpmul.g 𝐺 ∈ ℕ0
dpmul.j 𝐽 ∈ ℕ0
dpmul.k 𝐾 ∈ ℕ0
dpmul.1 (𝐴 · 𝐶) = 𝐹
dpmul.2 (𝐴 · 𝐷) = 𝑀
dpmul.3 (𝐵 · 𝐶) = 𝐿
dpmul.4 (𝐵 · 𝐷) = 𝐸𝐾
dpmul.5 ((𝐿 + 𝑀) + 𝐸) = 𝐺𝐽
dpmul.6 (𝐹 + 𝐺) = 𝐼
Assertion
Ref Expression
dpmul ((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) = (𝐼.𝐽𝐾)

Proof of Theorem dpmul
StepHypRef Expression
1 dpmul.a . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
2 dpmul.b . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12746 . . . 4 𝐴𝐵 ∈ ℕ0
4 dpmul.c . . . 4 𝐶 ∈ ℕ0
5 dpmul.d . . . 4 𝐷 ∈ ℕ0
6 eqid 2735 . . . 4 𝐶𝐷 = 𝐶𝐷
7 dpmul.k . . . 4 𝐾 ∈ ℕ0
8 dpmul.2 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐷) = 𝑀
91, 5nn0mulcli 12562 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐷) ∈ ℕ0
108, 9eqeltrri 2836 . . . . 5 𝑀 ∈ ℕ0
11 dpmul.e . . . . 5 𝐸 ∈ ℕ0
1210, 11nn0addcli 12561 . . . 4 (𝑀 + 𝐸) ∈ ℕ0
13 eqid 2735 . . . . . . 7 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵
14 dpmul.1 . . . . . . 7 (𝐴 · 𝐶) = 𝐹
15 dpmul.3 . . . . . . 7 (𝐵 · 𝐶) = 𝐿
164, 1, 2, 13, 14, 15decmul1 12795 . . . . . 6 (𝐴𝐵 · 𝐶) = 𝐹𝐿
1716oveq1i 7441 . . . . 5 ((𝐴𝐵 · 𝐶) + (𝑀 + 𝐸)) = (𝐹𝐿 + (𝑀 + 𝐸))
18 dfdec10 12734 . . . . . 6 𝐹𝐿 = ((10 · 𝐹) + 𝐿)
1918oveq1i 7441 . . . . 5 (𝐹𝐿 + (𝑀 + 𝐸)) = (((10 · 𝐹) + 𝐿) + (𝑀 + 𝐸))
20 10nn0 12749 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℕ0
2120nn0cni 12536 . . . . . . . 8 10 ∈ ℂ
221, 4nn0mulcli 12562 . . . . . . . . . 10 (𝐴 · 𝐶) ∈ ℕ0
2314, 22eqeltrri 2836 . . . . . . . . 9 𝐹 ∈ ℕ0
2423nn0cni 12536 . . . . . . . 8 𝐹 ∈ ℂ
2521, 24mulcli 11266 . . . . . . 7 (10 · 𝐹) ∈ ℂ
262, 4nn0mulcli 12562 . . . . . . . . 9 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℕ0
2715, 26eqeltrri 2836 . . . . . . . 8 𝐿 ∈ ℕ0
2827nn0cni 12536 . . . . . . 7 𝐿 ∈ ℂ
2912nn0cni 12536 . . . . . . 7 (𝑀 + 𝐸) ∈ ℂ
3025, 28, 29addassi 11269 . . . . . 6 (((10 · 𝐹) + 𝐿) + (𝑀 + 𝐸)) = ((10 · 𝐹) + (𝐿 + (𝑀 + 𝐸)))
31 dpmul.5 . . . . . . . 8 ((𝐿 + 𝑀) + 𝐸) = 𝐺𝐽
3210nn0cni 12536 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ ℂ
3311nn0cni 12536 . . . . . . . . 9 𝐸 ∈ ℂ
3428, 32, 33addassi 11269 . . . . . . . 8 ((𝐿 + 𝑀) + 𝐸) = (𝐿 + (𝑀 + 𝐸))
35 dfdec10 12734 . . . . . . . 8 𝐺𝐽 = ((10 · 𝐺) + 𝐽)
3631, 34, 353eqtr3ri 2772 . . . . . . 7 ((10 · 𝐺) + 𝐽) = (𝐿 + (𝑀 + 𝐸))
3736oveq2i 7442 . . . . . 6 ((10 · 𝐹) + ((10 · 𝐺) + 𝐽)) = ((10 · 𝐹) + (𝐿 + (𝑀 + 𝐸)))
38 dfdec10 12734 . . . . . . 7 𝐼𝐽 = ((10 · 𝐼) + 𝐽)
39 dpmul.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 ∈ ℕ0
4039nn0cni 12536 . . . . . . . . . 10 𝐺 ∈ ℂ
4121, 24, 40adddii 11271 . . . . . . . . 9 (10 · (𝐹 + 𝐺)) = ((10 · 𝐹) + (10 · 𝐺))
42 dpmul.6 . . . . . . . . . 10 (𝐹 + 𝐺) = 𝐼
4342oveq2i 7442 . . . . . . . . 9 (10 · (𝐹 + 𝐺)) = (10 · 𝐼)
4441, 43eqtr3i 2765 . . . . . . . 8 ((10 · 𝐹) + (10 · 𝐺)) = (10 · 𝐼)
4544oveq1i 7441 . . . . . . 7 (((10 · 𝐹) + (10 · 𝐺)) + 𝐽) = ((10 · 𝐼) + 𝐽)
4621, 40mulcli 11266 . . . . . . . 8 (10 · 𝐺) ∈ ℂ
47 dpmul.j . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ ℕ0
4847nn0cni 12536 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ ℂ
4925, 46, 48addassi 11269 . . . . . . 7 (((10 · 𝐹) + (10 · 𝐺)) + 𝐽) = ((10 · 𝐹) + ((10 · 𝐺) + 𝐽))
5038, 45, 493eqtr2ri 2770 . . . . . 6 ((10 · 𝐹) + ((10 · 𝐺) + 𝐽)) = 𝐼𝐽
5130, 37, 503eqtr2i 2769 . . . . 5 (((10 · 𝐹) + 𝐿) + (𝑀 + 𝐸)) = 𝐼𝐽
5217, 19, 513eqtri 2767 . . . 4 ((𝐴𝐵 · 𝐶) + (𝑀 + 𝐸)) = 𝐼𝐽
538oveq1i 7441 . . . . 5 ((𝐴 · 𝐷) + 𝐸) = (𝑀 + 𝐸)
54 dpmul.4 . . . . 5 (𝐵 · 𝐷) = 𝐸𝐾
555, 1, 2, 13, 7, 11, 53, 54decmul1c 12796 . . . 4 (𝐴𝐵 · 𝐷) = (𝑀 + 𝐸)𝐾
563, 4, 5, 6, 7, 12, 52, 55decmul2c 12797 . . 3 (𝐴𝐵 · 𝐶𝐷) = 𝐼𝐽𝐾
572nn0rei 12535 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ
58 dpcl 32858 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) ∈ ℝ)
591, 57, 58mp2an 692 . . . . . 6 (𝐴.𝐵) ∈ ℝ
6059recni 11273 . . . . 5 (𝐴.𝐵) ∈ ℂ
615nn0rei 12535 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℝ
62 dpcl 32858 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶.𝐷) ∈ ℝ)
634, 61, 62mp2an 692 . . . . . 6 (𝐶.𝐷) ∈ ℝ
6463recni 11273 . . . . 5 (𝐶.𝐷) ∈ ℂ
6560, 64, 21, 21mul4i 11456 . . . 4 (((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · (10 · 10)) = (((𝐴.𝐵) · 10) · ((𝐶.𝐷) · 10))
6620dec0u 12752 . . . . 5 (10 · 10) = 100
6766oveq2i 7442 . . . 4 (((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · (10 · 10)) = (((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · 100)
681, 57dpmul10 32862 . . . . 5 ((𝐴.𝐵) · 10) = 𝐴𝐵
694, 61dpmul10 32862 . . . . 5 ((𝐶.𝐷) · 10) = 𝐶𝐷
7068, 69oveq12i 7443 . . . 4 (((𝐴.𝐵) · 10) · ((𝐶.𝐷) · 10)) = (𝐴𝐵 · 𝐶𝐷)
7165, 67, 703eqtr3i 2771 . . 3 (((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · 100) = (𝐴𝐵 · 𝐶𝐷)
7223, 39nn0addcli 12561 . . . . 5 (𝐹 + 𝐺) ∈ ℕ0
7342, 72eqeltrri 2836 . . . 4 𝐼 ∈ ℕ0
747nn0rei 12535 . . . 4 𝐾 ∈ ℝ
7573, 47, 74dpmul100 32864 . . 3 ((𝐼.𝐽𝐾) · 100) = 𝐼𝐽𝐾
7656, 71, 753eqtr4i 2773 . 2 (((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · 100) = ((𝐼.𝐽𝐾) · 100)
7760, 64mulcli 11266 . . 3 ((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) ∈ ℂ
7847nn0rei 12535 . . . . . 6 𝐽 ∈ ℝ
79 dp2cl 32847 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 𝐽𝐾 ∈ ℝ)
8078, 74, 79mp2an 692 . . . . 5 𝐽𝐾 ∈ ℝ
81 dpcl 32858 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐽𝐾 ∈ ℝ) → (𝐼.𝐽𝐾) ∈ ℝ)
8273, 80, 81mp2an 692 . . . 4 (𝐼.𝐽𝐾) ∈ ℝ
8382recni 11273 . . 3 (𝐼.𝐽𝐾) ∈ ℂ
84 10nn 12747 . . . . . 6 10 ∈ ℕ
8584decnncl2 12755 . . . . 5 100 ∈ ℕ
8685nncni 12274 . . . 4 100 ∈ ℂ
8785nnne0i 12304 . . . 4 100 ≠ 0
8886, 87pm3.2i 470 . . 3 (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)
89 mulcan2 11899 . . 3 ((((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) ∈ ℂ ∧ (𝐼.𝐽𝐾) ∈ ℂ ∧ (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)) → ((((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · 100) = ((𝐼.𝐽𝐾) · 100) ↔ ((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) = (𝐼.𝐽𝐾)))
9077, 83, 88, 89mp3an 1460 . 2 ((((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · 100) = ((𝐼.𝐽𝐾) · 100) ↔ ((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) = (𝐼.𝐽𝐾))
9176, 90mpbi 230 1 ((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) = (𝐼.𝐽𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  0cn0 12524  cdc 12731  cdp2 32838  .cdp 32855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-dec 12732  df-dp2 32839  df-dp 32856
This theorem is referenced by:  hgt750lem2  34646
  Copyright terms: Public domain W3C validator