Theorem 12lcm5e60 42837

Description: The lcm of 12 and 5 is 60. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12lcm5e60	⊢ (;12 lcm 5) = ;60

Proof of Theorem 12lcm5e60

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12539	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		2nn 12333	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12755	. 2 ⊢ ;12 ∈ ℕ
4		5nn 12346	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ
5		1nn 12263	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		6nn 12349	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
7	6	decnncl2 12760	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
8		12gcd5e1 42832	. 2 ⊢ (;12 gcd 5) = 1
9		6nn0 12544	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10		0nn0 12538	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12746	. . . 4 ⊢ ;60 ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 12535	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℂ
13	12	mullidi 11233	. 2 ⊢ (1 · ;60) = ;60
14		5nn0 12543	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15		2nn0 12540	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		eqid 2765	. . 3 ⊢ ;12 = ;12
17		5cn 12348	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
18	17	mullidi 11233	. . . . 5 ⊢ (1 · 5) = 5
19	18	oveq1i 7429	. . . 4 ⊢ ((1 · 5) + 1) = (5 + 1)
20		5p1e6 12406	. . . 4 ⊢ (5 + 1) = 6
21	19, 20	eqtri 2788	. . 3 ⊢ ((1 · 5) + 1) = 6
22		2cn 12335	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		5t2e10 12836	. . . 4 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	17, 22, 23	mulcomli 11237	. . 3 ⊢ (2 · 5) = ;10
25	14, 1, 15, 16, 10, 1, 21, 24	decmul1c 12801	. 2 ⊢ (;12 · 5) = ;60
26	3, 4, 5, 7, 8, 13, 25	lcmeprodgcdi 42836	1 ⊢ (;12 lcm 5) = ;60

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7419  0cc0 11119  1c1 11120   + caddc 11122   · cmul 11124  2c2 12314  5c5 12317  6c6 12318  ;cdc 12731   lcm clcm 16672

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-rp 13037  df-fz 13556  df-fl 13847  df-mod 13925  df-seq 14060  df-exp 14120  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315  df-dvds 16337  df-gcd 16579  df-lcm 16674  df-prm 16756

This theorem is used by:  lcm5un  42846