Theorem 12lcm5e60 40321

Description: The lcm of 12 and 5 is 60. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12lcm5e60	⊢ (;12 lcm 5) = ;60

Proof of Theorem 12lcm5e60

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12354	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		2nn 12151	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12562	. 2 ⊢ ;12 ∈ ℕ
4		5nn 12164	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ
5		1nn 12089	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		6nn 12167	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
7	6	decnncl2 12566	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
8		12gcd5e1 40316	. 2 ⊢ (;12 gcd 5) = 1
9		6nn0 12359	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10		0nn0 12353	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12557	. . . 4 ⊢ ;60 ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 12350	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℂ
13	12	mulid2i 11085	. 2 ⊢ (1 · ;60) = ;60
14		5nn0 12358	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15		2nn0 12355	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		eqid 2737	. . 3 ⊢ ;12 = ;12
17		5cn 12166	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
18	17	mulid2i 11085	. . . . 5 ⊢ (1 · 5) = 5
19	18	oveq1i 7351	. . . 4 ⊢ ((1 · 5) + 1) = (5 + 1)
20		5p1e6 12225	. . . 4 ⊢ (5 + 1) = 6
21	19, 20	eqtri 2765	. . 3 ⊢ ((1 · 5) + 1) = 6
22		2cn 12153	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		5t2e10 12642	. . . 4 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	17, 22, 23	mulcomli 11089	. . 3 ⊢ (2 · 5) = ;10
25	14, 1, 15, 16, 10, 1, 21, 24	decmul1c 12607	. 2 ⊢ (;12 · 5) = ;60
26	3, 4, 5, 7, 8, 13, 25	lcmeprodgcdi 40320	1 ⊢ (;12 lcm 5) = ;60

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7341  0cc0 10976  1c1 10977   + caddc 10979   · cmul 10981  2c2 12133  5c5 12136  6c6 12137  ;cdc 12542   lcm clcm 16390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-2o 8372  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-sup 9303  df-inf 9304  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-5 12144  df-6 12145  df-7 12146  df-8 12147  df-9 12148  df-n0 12339  df-z 12425  df-dec 12543  df-uz 12688  df-rp 12836  df-fz 13345  df-fl 13617  df-mod 13695  df-seq 13827  df-exp 13888  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-dvds 16063  df-gcd 16301  df-lcm 16392  df-prm 16474

This theorem is referenced by:  lcm5un  40330