Theorem 12lcm5e60 42877

Description: The lcm of 12 and 5 is 60. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12lcm5e60	⊢ (;12 lcm 5) = ;60

Proof of Theorem 12lcm5e60

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12547	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		2nn 12341	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12763	. 2 ⊢ ;12 ∈ ℕ
4		5nn 12354	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ
5		1nn 12271	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		6nn 12357	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
7	6	decnncl2 12768	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
8		12gcd5e1 42872	. 2 ⊢ (;12 gcd 5) = 1
9		6nn0 12552	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10		0nn0 12546	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12754	. . . 4 ⊢ ;60 ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 12543	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℂ
13	12	mullidi 11241	. 2 ⊢ (1 · ;60) = ;60
14		5nn0 12551	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15		2nn0 12548	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		eqid 2760	. . 3 ⊢ ;12 = ;12
17		5cn 12356	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
18	17	mullidi 11241	. . . . 5 ⊢ (1 · 5) = 5
19	18	oveq1i 7424	. . . 4 ⊢ ((1 · 5) + 1) = (5 + 1)
20		5p1e6 12414	. . . 4 ⊢ (5 + 1) = 6
21	19, 20	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ((1 · 5) + 1) = 6
22		2cn 12343	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		5t2e10 12844	. . . 4 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	17, 22, 23	mulcomli 11245	. . 3 ⊢ (2 · 5) = ;10
25	14, 1, 15, 16, 10, 1, 21, 24	decmul1c 12809	. 2 ⊢ (;12 · 5) = ;60
26	3, 4, 5, 7, 8, 13, 25	lcmeprodgcdi 42876	1 ⊢ (;12 lcm 5) = ;60

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7414  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132  2c2 12322  5c5 12325  6c6 12326  ;cdc 12739   lcm clcm 16681

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-rp 13046  df-fz 13565  df-fl 13856  df-mod 13934  df-seq 14069  df-exp 14129  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-dvds 16346  df-gcd 16588  df-lcm 16683  df-prm 16765

This theorem is used by:  lcm5un  42886