Theorem 12lcm5e60 42626

Description: The lcm of 12 and 5 is 60. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12lcm5e60	⊢ (;12 lcm 5) = ;60

Proof of Theorem 12lcm5e60

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12498	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		2nn 12292	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12713	. 2 ⊢ ;12 ∈ ℕ
4		5nn 12305	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ
5		1nn 12222	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		6nn 12308	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
7	6	decnncl2 12718	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
8		12gcd5e1 42621	. 2 ⊢ (;12 gcd 5) = 1
9		6nn0 12503	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10		0nn0 12497	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12704	. . . 4 ⊢ ;60 ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 12494	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℂ
13	12	mullidi 11188	. 2 ⊢ (1 · ;60) = ;60
14		5nn0 12502	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15		2nn0 12499	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		eqid 2763	. . 3 ⊢ ;12 = ;12
17		5cn 12307	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
18	17	mullidi 11188	. . . . 5 ⊢ (1 · 5) = 5
19	18	oveq1i 7407	. . . 4 ⊢ ((1 · 5) + 1) = (5 + 1)
20		5p1e6 12365	. . . 4 ⊢ (5 + 1) = 6
21	19, 20	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ((1 · 5) + 1) = 6
22		2cn 12294	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		5t2e10 12794	. . . 4 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	17, 22, 23	mulcomli 11192	. . 3 ⊢ (2 · 5) = ;10
25	14, 1, 15, 16, 10, 1, 21, 24	decmul1c 12759	. 2 ⊢ (;12 · 5) = ;60
26	3, 4, 5, 7, 8, 13, 25	lcmeprodgcdi 42625	1 ⊢ (;12 lcm 5) = ;60

Syntax hints:   = wceq 1561  (class class class)co 7397  0cc0 11074  1c1 11075   + caddc 11077   · cmul 11079  2c2 12273  5c5 12276  6c6 12277  ;cdc 12689   lcm clcm 16623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-sup 9389  df-inf 9390  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-rp 12995  df-fz 13514  df-fl 13803  df-mod 13881  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129  df-sqrt 15263  df-abs 15264  df-dvds 16288  df-gcd 16530  df-lcm 16625  df-prm 16707

This theorem is referenced by:  lcm5un  42635