Theorem 12lcm5e60 42699

Description: The lcm of 12 and 5 is 60. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12lcm5e60	⊢ (;12 lcm 5) = ;60

Proof of Theorem 12lcm5e60

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12520	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		2nn 12314	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12735	. 2 ⊢ ;12 ∈ ℕ
4		5nn 12327	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ
5		1nn 12244	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		6nn 12330	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
7	6	decnncl2 12740	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
8		12gcd5e1 42694	. 2 ⊢ (;12 gcd 5) = 1
9		6nn0 12525	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10		0nn0 12519	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12726	. . . 4 ⊢ ;60 ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 12516	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℂ
13	12	mullidi 11214	. 2 ⊢ (1 · ;60) = ;60
14		5nn0 12524	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15		2nn0 12521	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		eqid 2769	. . 3 ⊢ ;12 = ;12
17		5cn 12329	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
18	17	mullidi 11214	. . . . 5 ⊢ (1 · 5) = 5
19	18	oveq1i 7421	. . . 4 ⊢ ((1 · 5) + 1) = (5 + 1)
20		5p1e6 12387	. . . 4 ⊢ (5 + 1) = 6
21	19, 20	eqtri 2792	. . 3 ⊢ ((1 · 5) + 1) = 6
22		2cn 12316	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		5t2e10 12816	. . . 4 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	17, 22, 23	mulcomli 11218	. . 3 ⊢ (2 · 5) = ;10
25	14, 1, 15, 16, 10, 1, 21, 24	decmul1c 12781	. 2 ⊢ (;12 · 5) = ;60
26	3, 4, 5, 7, 8, 13, 25	lcmeprodgcdi 42698	1 ⊢ (;12 lcm 5) = ;60

Syntax hints:   = wceq 1567  (class class class)co 7411  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105  2c2 12295  5c5 12298  6c6 12299  ;cdc 12711   lcm clcm 16646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16311  df-gcd 16553  df-lcm 16648  df-prm 16730

This theorem is referenced by:  lcm5un  42708