Theorem 12lcm5e60 41507

Description: The lcm of 12 and 5 is 60. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12lcm5e60	⊢ (;12 lcm 5) = ;60

Proof of Theorem 12lcm5e60

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12516	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		2nn 12313	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12725	. 2 ⊢ ;12 ∈ ℕ
4		5nn 12326	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ
5		1nn 12251	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		6nn 12329	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
7	6	decnncl2 12729	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
8		12gcd5e1 41502	. 2 ⊢ (;12 gcd 5) = 1
9		6nn0 12521	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10		0nn0 12515	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12720	. . . 4 ⊢ ;60 ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 12512	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℂ
13	12	mullidi 11247	. 2 ⊢ (1 · ;60) = ;60
14		5nn0 12520	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15		2nn0 12517	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		eqid 2725	. . 3 ⊢ ;12 = ;12
17		5cn 12328	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
18	17	mullidi 11247	. . . . 5 ⊢ (1 · 5) = 5
19	18	oveq1i 7424	. . . 4 ⊢ ((1 · 5) + 1) = (5 + 1)
20		5p1e6 12387	. . . 4 ⊢ (5 + 1) = 6
21	19, 20	eqtri 2753	. . 3 ⊢ ((1 · 5) + 1) = 6
22		2cn 12315	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		5t2e10 12805	. . . 4 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	17, 22, 23	mulcomli 11251	. . 3 ⊢ (2 · 5) = ;10
25	14, 1, 15, 16, 10, 1, 21, 24	decmul1c 12770	. 2 ⊢ (;12 · 5) = ;60
26	3, 4, 5, 7, 8, 13, 25	lcmeprodgcdi 41506	1 ⊢ (;12 lcm 5) = ;60

Syntax hints:   = wceq 1533  (class class class)co 7414  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   · cmul 11141  2c2 12295  5c5 12298  6c6 12299  ;cdc 12705   lcm clcm 16556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-dvds 16229  df-gcd 16467  df-lcm 16558  df-prm 16640

This theorem is referenced by:  lcm5un  41516