Theorem 12lcm5e60 42458

Description: The lcm of 12 and 5 is 60. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12lcm5e60	⊢ (;12 lcm 5) = ;60

Proof of Theorem 12lcm5e60

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12442	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		2nn 12243	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12653	. 2 ⊢ ;12 ∈ ℕ
4		5nn 12256	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ
5		1nn 12174	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		6nn 12259	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
7	6	decnncl2 12657	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
8		12gcd5e1 42453	. 2 ⊢ (;12 gcd 5) = 1
9		6nn0 12447	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10		0nn0 12441	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12648	. . . 4 ⊢ ;60 ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 12438	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℂ
13	12	mullidi 11139	. 2 ⊢ (1 · ;60) = ;60
14		5nn0 12446	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15		2nn0 12443	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		eqid 2737	. . 3 ⊢ ;12 = ;12
17		5cn 12258	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
18	17	mullidi 11139	. . . . 5 ⊢ (1 · 5) = 5
19	18	oveq1i 7368	. . . 4 ⊢ ((1 · 5) + 1) = (5 + 1)
20		5p1e6 12312	. . . 4 ⊢ (5 + 1) = 6
21	19, 20	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ((1 · 5) + 1) = 6
22		2cn 12245	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		5t2e10 12733	. . . 4 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	17, 22, 23	mulcomli 11143	. . 3 ⊢ (2 · 5) = ;10
25	14, 1, 15, 16, 10, 1, 21, 24	decmul1c 12698	. 2 ⊢ (;12 · 5) = ;60
26	3, 4, 5, 7, 8, 13, 25	lcmeprodgcdi 42457	1 ⊢ (;12 lcm 5) = ;60

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7358  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032  2c2 12225  5c5 12228  6c6 12229  ;cdc 12633   lcm clcm 16546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fl 13740  df-mod 13818  df-seq 13953  df-exp 14013  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16211  df-gcd 16453  df-lcm 16548  df-prm 16630

This theorem is referenced by:  lcm5un  42467